三角形の９点円が内接円，傍接円に接するという フォイエルバッハの定理の証明 で反転を利用しました．反転を利用すると，簡単に解決する問題がたくさんあります． ここでは，反転の定義，基本的性質を説明し，反転を用いた例を紹介します． 中心が点Ｏの円を円Ｏと表します．同心円のように，半径で円を区別する場合も必要で，中心が点Ｏ，半径が ｒの円を円Ｏ（ｒ）と表します．また，Ｏを中心とする点Ａを通る円は半径ＯＡですからＯ（ＯＡ）と表すこともあります． このように，特別の事情がない限り，円の名前は円の中心の名前を用います． まず，反転の定義から始めましょう． 
（反転の定義）中心がＯ，半径ｒの円Ｏ（ｒ）とＯと異なる点Ｐが与えられている． このとき，半直線ＯＰ上の点Ｐ’を ＯＰ・ＯＰ’＝ｒ２ によって定める． Ｐを与えればＰ’はただ一つに決まるから，Ｏを除く平面上の点ＰにＯを除く平面上の点Ｐ’を対応させる 変換が定義できる．この変換を反転変換，点Ｏを反転の中心， ｒ２を反転のべき（または方べき）,ｒを反転半径といいます． ここでは，反転の中心がＯ，反転のべきがｒ２ の反転変換をＩ（Ｏ，ｒ２）で表し，反転のべきを明記する必要がないときはＩ（Ｏ）または たんにＩと表します． 反転変換をＩ（Ｏ，ｒ2）よりＩ（Ｏ，ｒ）と表してはと思うかもしれませんが，べきは負になることもあるので Ｉ（Ｏ，ｒ2と表します． さらに，円Ｏ（ｒ）をこの反転変換の反転円，この反転による点Ｐの像Ｐ’をＰの 逆点といいます． なお，Ｐ’がＰの逆点のとき，ＰはＰ’の逆点になります． まず，Ｐが与えられたとき，円Ｏが反転円である反転変換の逆点Ｐ’ がどのような点であるか調べましょう． 点Ｐが円Ｏの内部にあるとき．Ｐを通り半直線ＯＰと垂直な直線と 円Ｏとの交点の片方をＡとし，Ａにおける円Ｏの接線と半直線ＯＰとの交点をＰ’とすれば この点Ｐ’が点Ｐの逆点です． 実際△ＯＰＡ∽△ＯＡＰ’より ＯＰ・ＯＰ’＝ＯＡ２＝ｒ２ となります． |
Ｐをドラッグするとその反転Ｐ’が分かります
Ｐが円の外部にあるときも同様です．すなわち，Ｐから円への接線を引き接点をＡとし，Ａから半直線 ＯＰに下ろした垂線の足がＰ’です． それぞれの図形で点Ｐを動かせば 逆点である点Ｐ’が求まります. |
Ｐをドラッグするとその逆点Ｐ’が分かります
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反転で，直線，円がどのような図形に写るか調べましょう． なお，反転により，図形Ｃが図形Ｃ’にうつるとき，Ｃ’を反転によるＣの反形といいます． 当然Ｃ’がＣの反形のとき，ＣはＣ’の反形です． 結果をまとめると次のようになります． 命題 反転円が円Ｏである反転変換で， （１）Ｏを通る直線は同じ直線に写る． （２）Ｏを通らない直線はＯを通る円に写る． （３）Ｏを通る円はＯを通らない直線に写る． （４）Ｏを通らない円はＯを通らない円に写る． 
証明（１）は明らかです． （２），（３）は右の図を見てください． 点ＡはＯから与えられた直線に下ろした垂線の足で，Ａの逆点がＡ’，およびＯＡ’が直径の円が書いてあります． Ｐが直線上の点で，ＯＰと円とのＯ以外の交点をＰ’としたとき △ＯＡＰ∽△ＯＰ’Ａ’より ＯＰ・ＯＰ’＝ＯＡ・ＯＡ’＝（円Ｏの半径）２ が成り立ちます． したがって（２）が成り立ちます （３）与えられた円の直径をＯＡ’とし，Ａ’の逆点をＡとし，Ａを通りＯＡに垂直な直線を書く．Ｐ’が 与えられた円上の点で，直線ＯＰ’と直線との交点をＰとすれば，（２）と同様に ＯＰ・ＯＰ’＝ＯＡ・ＯＡ’＝（円Ｏの半径）２ が成り立つので（３）が成り立ちます． 
（４）は少し面倒です．その原因は反転で円は円にうつりますが，中心は中心にはうつらないからです．
ここでは，少し工夫して証明します．円Ｏ（ｒ１），Ｏ（ｒ２）は中心Ｏの同心円です． 反転変換Ｉ（Ｏ，ｒ12）による点Ｐの逆点をＱ， さらに反転変換Ｉ（Ｏ，ｒ22）による点Ｑの逆点をＲとします． すなわち Ｉ（Ｏ，ｒ12)：Ｐ→Ｑ Ｉ（Ｏ，ｒ22)：Ｑ→Ｒ です．このとき ＯＰ・ＯＱ＝ｒ１２ ・・・@ ＯＱ・ＯＲ＝ｒ２２ ・・・A ここでA÷@より ＯＲ／ＯＰ＝ｒ２２／ｒ１２＝（一定）・・・B したがって，２つの同心円に関する反転の合成はＯを中心とする相似変換で相似比はBで与えられます． ここでは２つの変換ｆ，ｇの合成を（合成）を用いて ｇ(合成)ｆ と表すことにします． 点Ｏを中心とするｒ倍の相似変換をＳ（Ｏ，ｒ）と表すと Ｉ（Ｏ，ｒ22)（合成）Ｉ（Ｏ，ｒ12) ＝Ｓ（Ｏ，ｒ２２／ｒ１２） この関係式は重要で，後で命題の形で述べます． 
以上の性質を利用して（４）を証明いたします．反転変換Ｉ（Ｏ，ｒ2)による円Ｏ１（右図の小さい太円）の反形を求めます． Ｏから円Ｏ1に引いた接線をＯＡとする（接線が引けないときは後で扱う）． 円Ｏ（ＯＡ）と円Ｏ1は直交するするから 反転変換Ｉ（Ｏ，ＯＡ2）による円Ｏ1の反形はＯ1自身である（証明が性質（５）で扱う）． すなわち Ｉ（Ｏ，ＯＡ2)：Ｏ１→Ｏ１ ここで２つの同心円に関する反転の合成は相似変換であることをもちいて Ｉ（Ｏ，r2)(O1) ＝Ｉ（Ｏ，r2)(合成)Ｉ（Ｏ，ＯＡ2)(O1) ＝Ｓ（Ｏ，ｒ2/OA2）(O1) すなわち，Ｏを中心としてｒ2/OA2）倍拡大した円であることが証明されました． ここで少し注意が必要です．上の証明で，点Ｏから円Ｏ１に接線を引いて考えましたが， 点Ｏが円Ｏ１に含まれるときは接線ＯＡが引けません． したがって，点Ｏが円Ｏ１に含まれるときを証明しなければ，証明が終了したとはいえません． この場合の説明のために，まず，円の方べき（べき）を説明します．詳しくは ポンスレの閉形定理（第３節根軸と共軸円系）をご覧ください． 
平面上に点Ｐと円Ｏが与えられたとき，点Ｐを通る直線と円Ｏとの交点をＡ，Ｂとすると
ＰＡ・ＰＢは一定です．この値を点Ｐの円Ｏに関する方べきといいいます．この値は，Ｐが円の外部にあるとき，Ｐから円Ｏに引いた接線の長さですから，円Ｏの中心をＯ半径をＲとすると ＰＯ２−Ｒ２ ・・・@ です． @の値は，点Ｐが円の周上なら０ですし，円の内部なら負になります． 点Ｐが円の内部のとき@は −（Ｒ−ＰＯ）（Ｒ＋ＰＯ） となります．ＰＡ・ＰＢは向きが反対なので向きも考えれば，方冪が負になることはとても自然なことです． すなわち，方冪ＰＡ・ＰＢは向きまで考え，次のように定義します． ＰＡ，ＰＢが同じ向きのときＰＡ・ＰＢ＝｜ＰＡ｜・｜ＰＢ｜ ＰＡ，ＰＢが反対向きのときＰＡ・ＰＢ＝ー｜ＰＡ｜・｜ＰＢ｜ ＰＡ，ＰＢのいずれかが０のときＰＡ・ＰＢ＝０ 反転の定義を新しくしましょう． 定義 平面上の点Ｏと定数ｋ（≠０）が与えられている． 平面上の点Ｏと異なる点Ｐに対して，直線ＯＰ上の点Ｑを ＯＰ・ＯＱ＝ｋ によって定義する． ただし，ＯＰ・ＯＱは2つの線分同じ向きの時は正，反対向くの時は負とする． この点Ｐに点Ｑを対応させるＲ２−｛Ｏ｝→Ｒ２−｛Ｏ｝の変換を反転変換という． 点Ｏをこの変換の反転の中心，ｋをこの変換のべきという．なお，ｋ＜０のときは反転円は存在しない． 
以上の準備の下で，反転変換Ｉ（Ｏ，Ｒ２）による円Ｃの反形を求めます．当然ここでは点Ｏが円Ｃに含まれる場合を考えます． 円Ｃに関する点Ｏの方べきは負ですからここではその値をーｋ２ とおきます． 方べきの定理より,反転変換Ｉ（Ｏ，−ｋ２）による円Ｃの反形はＣであり, Ｉ（Ｏ，Ｒ２）(合成)Ｉ（Ｏ，−ｋ２）＝Ｓ（Ｏ，Ｒ２／−ｋ２） より，反転変換Ｉ（Ｏ，Ｒ２）による円Ｃの反形は円でＯを通らない円であることが証明された． （右の図で説明します．円Ｏ（ピンクの円）が反転円です． ＯＰ・ＯＱ＝ＯＰ’・ＯＱ’ より反転変換Ｉ（Ｏ，−ｋ２）で円Ｃは円Ｃにうつる． つぎに，Ｉ（Ｏ，Ｒ）によりＰの逆点はＳですが，Ｒとしても集合としてはかわらず，ＰにＲを対応させる変換は 相似変換であるので，円の反形は円であるという証明です） 証明で使った性質を命題の形で述べます． 命題 反転の中心が同じＯの反転変換Ｉ（Ｏ，ｋ），Ｉ（Ｏ，ｍ）の合成は相似変換で相似比はｍ／ｋである．すなわち Ｉ（Ｏ，ｍ）（合成）Ｉ（Ｏ，ｋ）＝Ｓ（Ｏ，ｍ／ｋ） が成り立つ． さらに，同じ反転変換の合成は恒等変換であるから Ｉ（Ｏ，ｍ）＝Ｓ（Ｏ，ｍ／ｋ）（合成）Ｉ（Ｏ，ｋ） Ｉ（Ｏ，ｋ）＝Ｉ（Ｏ，ｋ）（合成）Ｓ（Ｏ，ｍ／ｋ） が成り立つ． 以上で，円，直線の像が分かりました． 次の性質は，反転に関する不動円についてです． なお，この性質は（４）の証明で用いています． 
（５）円Ｏが反転円である反転変換Ｉ（Ｏ）で，Ｏに直交（交点における接線が直交する）する円の像は，
その円自身である．これは，右図と方べきの定理(ＯＰ・ＯＰ’＝ＯＴ２）より成り立ちます． これから反転を利用して問題を解いていきます．まずよく使う性質についてまとめておきましょう． 
性質１２円Ｃ１，Ｃ２が点Ｏで内接または外接するとき， 円Ｏを反転円とする反転変換Ｉ（Ｏ）によるＣ１，Ｃ２の反形はともに，Ｃ１，Ｃ２の共通接線と平行な直線である． 証明 円Ｃ１の直径ＯＰ，円Ｃ２の直径ＯＱであるように点Ｐ，Ｑをとる． 円Ｏが反転円である反転変換による，点Ｐ，Ｑの逆点をそれぞれＰ’，Ｑ’とすれば， 円Ｃ１の反形はＰ’を通りＯＰ’に垂直な直線であり，円Ｃ２の反形は Ｑ’を通りＯＱ’に垂直な直線である． 2円Ｃ１，Ｃ２の共通接線はＯを通りＯＰに垂直な直線であるから性質１が成り立つ． 
性質２円Ｏの半径をｒとする．点Ａ，Ｂの反転変換Ｉ（Ｏ，ｒ2）による逆点をそれぞれＡ’，Ｂ’とすると Ａ’Ｂ’＝ｒ２ＡＢ／ＯＡ・ＯＢ である． 証明 図で△ＯＡＢ∽△ＯＢ’Ａ’です． 相似比はＯＢ’／ＯＡ 一方， ＯＢ・ＯＢ’＝ｒ２ より ＯＢ’＝ｒ２／ＯＢ ∴ＯＢ’／ＯＡ＝ｒ２／ＯＡ・ＯＢ ・・・@ 相似比が@であるから性質２が成り立ちます． 以上で，問題を解く準備は終了しました．問題を解く前に，反転の重要性質を学びましょう． 
性質3 反転は円に関しての対称移動と考えられる．すなわち，反転は直線に関しての対象移動と深い関係があります． 実際，半径Ｒの円が反転円である反転変換の点Ｐの逆転をＰ’とし，線分ＰＰ’と円との交点 をＡとします． このとき， ＯＰ・ＯＰ’＝Ｒ２ ですから （Ｒ−ＡＰ）（Ｒ＋ＡＰ’）＝Ｒ２， したがって， ＡＰ’＝Ｒ・ＡＰ／（Ｒ−ＡＰ）＝ＡＰ／（１−ＡＰ／Ｒ） よりＲ→∞のときＡＰ’→ＡＰとなります．すなわち半径が∞の円すなわち直線に関する反転は直線に関する対称移動です． もう一つは，反転は角を保つ変換だということです．２曲線が交わるとき，その２直線のなす角は その点における接線のなす角です．角を保つ変換であることをきちんと書くと次のようになります． 性質4 反転変換で，曲線Ｃ，Ｄがそれぞれ曲線Ｃ’，Ｄ’にうつるとする． Ｃ，Ｄは点Ｐで交わり，Ｐの逆点をＳとする． このとき，点Ｐにおける２曲線Ｃ，Ｄのなす角と，点Ｓにおける２曲線Ｃ’，Ｄ’のなす角は等しい． 
証明 反転円Ｏの反転変換Ｉ（Ｏ）で考えます． 上の図で，曲線Ｃ，Ｄの像がＣ’，Ｄ’になっています．Ｏを通る直線（Ｑ，Ｒ，Ｕ，Ｔ の載っている直線）をＯの周りに回転して直線ＯＰＳに近づけたとき∠ＱＰＲ，∠ＴＳＵはそれぞれ， ２直線のなす角に近づく． 一方△ＯＰＲ∽△ＯＵＳ，△ＯＰＱ∽△ＯＴＳより ∠ＯＰＲ＝∠ＯＵＳ，∠ＯＰＱ＝∠ＯＴＳ ∴∠ＱＰＲ＝∠ＯＰＲ−∠ＯＰＱ＝∠ＯＵＳ−∠ＯＴＳ＝∠ＴＳＵ このように，つねに∠ＱＰＲ＝∠ＴＳＵが成り立つのでＣ，Ｄのなす角とＣ’，Ｄ’のなす角は一致します． 性質４より，反転変換では角が保たれることが分かりました． 他の保たれる性質を見つけましょう．変換で保たれる性質が何かに注目することは， クラインが提唱した重要な幾何学の研究態度です． 
結論からいうと複比も保たれます．複比の説明をします． 直線ＡＢ上に点Ｐがあるとき ＡＰ：ＰＢ が定義できます．ＡＰ：ＰＢはＡＰ÷ＰＢすなわちＡＰ／ＰＢと同じことです．ＡＰ／ＰＢを名前を変えて比の値といったりしま うがまったく同じことです． 複比とは比の比のことです． すなわち，直線ＡＢ上に２点Ｃ，Ｄがあるとき （ＡＣ：ＣＢ）：（ＡＤ：ＤＢ）＝（ＡＣ／ＣＢ）÷（ＡＤ／ＤＢ） ＝（ＡＣ・ＤＢ）／（ＣＢ・ＡＤ） を複比といい通常〔Ａ，Ｂ；Ｃ，Ｄ〕と表す． 数直線上の４点では，有向線分ととして符号まで考えます． 複比は直線上の４点だけでなく，平面上の４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄでも 〔Ａ，Ｂ；Ｃ，Ｄ〕＝（ＡＣ・ＤＢ）／（ＣＢ・ＡＤ） によって定義します．ただし，ここでは線分は符号を考えません． 反転で複比が保たれることを証明します． 性質５ 反転で複比が保たれる． <証明> 反転変換Ｉ（Ｏ，ｒ２）によるＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄのは逆転をそれぞれＡ’，Ｂ’，Ｃ’，Ｄ’ とすると， A'C'=r2AC/OA・OC，C'B'=r2CB/OC・OB, A'D'=r2AD/OA・OD,D'B'=r2DB/OD・OB より，複比が保たれることが分かる． 注意 複比で線分で向きを考えるなら，複素平面で考える必要がある． A(z1),B(z2),C(z3),D(z4)と複素数をおき， 〔Ａ，Ｂ；Ｃ，Ｄ〕＝（(z3-z1)・(z2-z4)）／（(z2- z3)・(z4-z1)） で定義する． 複素平面の知識を用いれば，原点を中心とする半径１の円を反転円とする反転変換ｆ（原点を中心とする半径がｒの円 が反転円の反転変換はｆとＯを中心とする相似変換の合成）は 
これから反転を用いて問題を解いていきます．これからの解答を通じて， 反転変換がいかにすばらしい変換であるかを感じ取ってください． 
定理１（オイラー）△ＡＢＣの外接円の半径Ｒ，内接円の半径ｒ，外心，内心２点間の距離をｄとする． このとき ｄ２＝Ｒ２−２Ｒｒ が成り立つ． ＜証明＞ 図形を見ながら証明しましょう．太い円は△ＡＢＣの内接円で，Ｄ，Ｅ，Ｆは接点です． この内接円を反転円とする反転変換による３点Ａ，Ｂ，Ｃの逆点をそれぞれＬ，Ｍ，Ｎとすると， ＬはＥＦの中点， ＭはＦＤの中点，ＮはＤＥの中点です（証明は最後にやります）． まず，３点Ｌ，Ｍ，Ｎを通る円は△ＤＥＦの9点円ですから，半径はｒ／２です． また，太い円を反転円とする反転変換で，△ＡＢＣ の外接円は3点Ｌ，Ｍ，Ｎを通る円にうつります． 直線ＯＩと△ＡＢＣの外接円，△ＬＭＮの外接円との交点を 
図のようにＨ，Ｇ，Ｋ，Ｊとすればｒ＝ＧＫ (∵ ｒが９点円の直径であることは右図で∠ＧＰＩ＝∠ＱＨＩ，∠ＩＰＫ＝∠ＱＪＩ) ＝ＩＧ＋ＩＫ＝ｒ２／ＩＨ＋ｒ２／ＩＪ （∵太円が反転円である反転変換による△ＡＢＣの外接円の反形が△ＬＭＮの外接円より ＩＧ・ＩＨ＝ＩＫ・ＩＪ＝ｒ２） ＝ｒ２／（Ｒ＋ｄ）＋ｒ２／（Ｒ−ｄ） （∵ＩＨ＝Ｒ＋ｄ，ＩＪ＝Ｒ−ｄ） ＝２Ｒｒ２／（Ｒ２−ｄ２） ∴Ｒ２−ｄ２＝２Ｒｒ 
残りは
上の図でＰが線分ＤＥの中点になることですが，これは反転の定義より成り立つことが分かります．
実際，点Ａの円Ｉを反転円とする反転変換による逆点は，Ａから円Ｉに引いた2本の接線の接点を
Ｄ，ＥとするればＤＥとＡＩの交点Ｐによって得られる．
定理２（トレミー）四角形ＡＢＣＤで ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ≧ＡＣ・ＢＤ がなりたつ． また，等号が成り立つのは 四角形ＡＢＣＤが円に内接するときである． 証明はあっさりしています． Ｄを中心とする半径ｒの円が反転円である反転変換による点Ａ，Ｂ，Ｃの逆点をそれぞれ Ａ’，Ｂ’，Ｃ’とします． まず，4点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上にあれば，3点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’は直線上にあり， 4点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上になければ，3点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’は円周上にあるので， 同一直線上にはありません． 上の図で，上述の性質２より， Ａ’Ｂ’＝r２ＡＢ／ＤＡ・ＤＢ， Ｂ’Ｃ’＝r２ＢＣ／ＤＢ・ＤＣ， Ａ’Ｃ’＝r２ＡＣ／ＤＡ・ＤＣ Ａ’，Ｂ’，Ｃ’が同一直線上にないとき（4点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上にないとき） Ａ’Ｂ’＋Ｂ’Ｃ’＞Ａ’Ｃ’（4点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上にあるときは等号になる） より r２ＡＢ／ＤＡ・ＤＢ＋r２ＢＣ／ＤＢ・ＤＣ＞r２ＡＣ／ＤＡ・ＤＣ 両辺をr２で割り，分母を払えば ＡＢ・ＤＣ＋ＢＣ・ＤＡ＞ＡＣ・ＤＢ を得ます． 同様に，4点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上にあるとき，等号が成り立つことがわかります． 次はアポロニウスの問題です．円の方程式を持ち出すと，解の存在はわかりますが， 解を具体的に求めることは困難です． 反転を用いると具体的に解を求めることも含め比較的簡単に解決します． 
アポロニウスの問題平面上に任意に３円与えられている．このとき，３円の全てに接する第４円を求めよ． 円Ｏ１，Ｏ２，Ｏ３が与えられた円とします． ここでは，どの円も他の2円の外側にある3円に内接する円または外接する円を求めよう． 3つの円を同じだけ半径を大きくし，2つの円が外接 するようにします（もしＯ１，Ｏ２に内接しＯ３に外接する円を求めるな ら，同じだけＯ１，Ｏ２は半径を大きくしＯ３は半径を小さくして考える） この場合に条件を満たす円を求めれば， 同じ中心で，半径だけ変えれば（外接は増やし内接は減らす）求める円が求まります． 
反転を使うとき，2円を内接，または外接させ，接点を中心とする円を反転円とする反転変換を
用いると思わぬ効果が期待できます．3つの円の半径を同じだけ大きくし，2円Ｏ１，Ｏ２が点Ｏで外接したとします． Ｏを中心とする円が反転円Ｃ（青太円）である反転変換を考えましょう． この反転変換による円Ｏ１，Ｏ２の反形を直線ｌ１，ｌ２， 円Ｏ３の反形を円Ｏ４とします． ｌ１，ｌ２，Ｏ４に接する円を求めそれらを反転すれば求めるものです． 以上内容がちょっと難しくなってしまいました．肩のこらない例題を数題扱いましょう． 
例題 正三角形ＡＢＣの外接円のＡを含まない弧ＢＣ上に点Ｐをとる．このとき，
ＰＡ＝ＰＢ＋ＰＣ
が成り立ちます．
＜証明＞ Ａを中心とする半径Ｒの円が反転円である反転変換の点Ｂ，Ｃ，Ｐの逆点をそれぞれ Ｂ’，Ｃ’，Ｐ’とします． このとき，△ＡＢＣの1辺の長さをａとすると Ｂ’Ｐ’＝Ｒ２ＢＰ／ＡＢ・ＡＰ ＝Ｒ２ＢＰ／ａＡＰ・・・@ Ｃ’Ｐ’＝Ｒ２ＣＰ／ＡＣ・ＡＰ ＝Ｒ２ＣＰ／ａＡＰ・・・A Ｂ’Ｃ’＝Ｒ２ＢＣ／ＡＢ・ＡＣ ＝Ｒ２／ａ・・・・・B @＋A＝BよりＡＰ＝ＢＰ＋ＣＰ 
回転を使っても次のように証明できます．この証明もなかなか優れています．
△ＢＰＣをＢの周りに６０°回転したものを△ＢＰ’Ａとします．このとき∠ＢＰ’Ａ＝１２０°，∠ＢＰ’Ｐ＝６０°ですから，Ａ，Ｐ’，Ｐは直線上にあり， ＡＰ’＝ＰＣ，ＢＰ’＝ＢＰより成り立ちます． 例題 線分ＯＡ上の1点をＢとするとき，ＯＡ，ＯＢ，ＡＢを直径とする半円を同じ側に 描いて，それらに接してお互いに外接する円を順次描いていくと，ｎ番目の円の中心からＡＢ に下ろした垂線の長さは，その円の直径のｎ倍に等しい． 
この問題はPappsによるもので「靴屋のナイフ」の問題と言います（岩田至康著 幾何学辞典第1巻359番）．
この辞典の中で，「近代の数学者は反転の理論を用いてこの問題を明快に解いた．
われわれは気品のある芸術品として大いに鑑賞すべきである」と書いています．まったく同感です．
時間があれば，この辞典を眺めることを勧めます．何題か反転を利用した問題もあります．
右図を見ましょう． Ｏを中心とし，半径ＯＥである円を反転円とする反転変換Ｉ（Ｏ，ＯＥ）で，ＡＢを直径とする円は 不動円です． Ａの逆点はＢですから，ＯＢを直径とする円の反形はＡを通りＯＡに垂直な直線， 同様にＯＡを直径とする円の反形はＢを通りＯＢに垂直な直線です．この２直線に接し円Ｐより 上に互いに外接するように書いたのが円Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，・・・です 反転変換Ｉ（Ｏ，ＯＥ）による円Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，・・の反形がここで問題にしている ＯＡを直径とする円に内接し，ＯＢを直径とする円に外接しさらに互いに外接する円です． さらに，求めたそれらの円を，Ｏを中心とする，円Ｑｎ（図では円Ｑ３） が不動円となる円を反転円とする反転変換による反形を求めると，反転中心が同じである２つの反転変換の 合成は相似変換ですから， それぞれ図の円Ｑ１，Ｑ２，Ｑ３，・・・ となります． Ｑ１，Ｑ２，・・・は半径が等しいから 問題が証明できました． 上の例題を利用して次の問題を解いてみましょう． 
問題ＡＢ上に点Ｃがあり，ＡＣ＝４，ＣＢ＝２である．ＡＢを直径とする円に内接し，ＡＣ，ＢＣを直径とする円に外接する 円の半径を求めよ． ＜解答＞ △Ｏ１Ｏ２Ｏ３でＯ３より ＡＢに下ろした垂線の足をＨとしましょう．円Ｏ３の半径をｒ，Ｏ１Ｈ＝ｔ とすると，Ｏ３Ｈ＝２ｒですから（上で証明してある） （２＋ｒ）２＝ｔ２＋４ｒ２ （１＋ｒ）２＝（３−ｔ）２＋４ｒ２ ∴ ｒ＝６／７ Steiner Chain と反転距離 反転を用いると簡単に証明できる内容に 定理 交わらない２円はある反転変換で同心円に変換することができる があります．ここではこの定理を証明し，この定理をいくつかの問題に応用します. この定理を証明するには，２円の根軸と共軸円系の知識が必要なので，その解説からはじめます． 同心円でない２円Ｏ，Ｏ’が与えられたとき，２円Ｏ，Ｏ’に関する方べきが等しい点Ｐの軌跡を２円Ｏ，Ｏ’ の根軸という． まず，この根軸を求めよう．２円Ｏ，Ｏ’が同心円出ないとき，直線ＯＯ’をｘ軸とする座標軸を導入して考える． 同心でない2円Ｏ，Ｏ’について，直線ＯＯ’をｘ軸とする座標軸を導入して考える． 2円の中心Ｏ，Ｏ’はｘ軸上にあるから， 円Ｏは ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ ・・・@ 円Ｏ’は ｘ２＋ｙ２−２ａ’ｘ＋ｂ’＝０ ・・・A と表せる． 2円Ｏ，Ｏ’の根軸は方べきの等しい点の軌跡であるから @−Aより ２（ａ’−ａ）ｘ＝ｂ’−ｂ ここで，２円Ｏ，Ｏ’は同心でないからａ’≠ａ. したがって，２円Ｏ，Ｏ’の根軸がｙ軸になるための条件は ｂ＝ｂ’ 逆に，ｂは定数とし ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ （ｂは定数）・・・B と表せる円の集合を考えると，この集合に属する任意の２円の根軸はｙ軸である． Bの円の集合のように，どの２つの円の根軸も一致する円の集合を共軸円系をなすという． ｙ軸が根軸である共軸円系の集合 ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ （ｂは定数）・・・@ をもう少し調べよう． （T）定数ｂが負のとき. ｂを新しく−ｂ２とおけば 円@と根軸であるｙ軸との交点は（０，ｂ），（０．−ｂ）であるから， 円@か必ず根軸上の点（０，ｂ），（０．−ｂ）を通る． 逆に（０，ｂ），（０．−ｂ）を通る円は ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ＝０ と表せる． （U）定数ｂが０のとき． 円@は原点を通り，円の中心がｘ軸上より，円はｙ軸に接する． このときは，全ての円はお互いに原点で接する円である． 逆に原点でｙ軸に接する円は ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＝０ と表せる． （V）定数ｂが正のとき． ｂを新しくｂ２とおくと，すなわち ｘ２＋ｙ２−２ａｘ＋ｂ２＝０ （ｂは定数）・・・A のとき，円Aは （ｘ−ａ）２＋ｙ２＝ａ２−ｂ２ したがって，−ｂ＜ａ＜ｂのときは@を満たす図形は存在しない． ａ＝ｂ，−ｂのときは点（ｂ，０），（−ｂ，０）． ａ＜−ｂ，ｂ＜ａのとき ａ２−ｂ２−（ａ−ｂ）２＝２（ａ−ｂ）ｂ＞０ より，円Aは（ｂ，０），（−ｂ，０）のいずれかを含む円の集合であり（Aの左辺にｘ＝ｂ，ｙ＝０または ｘ＝−ｂ，ｙ＝０を代入し負になることを示しても良い），この ２点（ｂ，０），（−ｂ，０）をこの共軸円系の円の限点という．  さて，ここで扱うのは２円が交わらない場合，すなわち（V）の場合です． ２円Ｏ，Ｏ’の根軸上の点Ｃを取り，Ｃから２円Ｏ，Ｏ’に接線ＣＰ，ＣＰ’を引けば， ＣＰ＝ＣＰ’ が成り立ちます． Ｃを中心に半径ＣＰの円は円Ｏ，Ｏ’と直交します．さらに円Ｃと直線Ｏ，Ｏ’との交点（２円Ｏ，Ｏ’の限点）をＡ，Ｂとします． 以上で 定理 交わらない２円はある反転変換で同心円に変換することができる  を証明する準備が整いました． 証明 交わらない２円Ｏ，Ｏ’の限点をＡ，Ｂとし，２円Ｏ，Ｏ’の根軸上に点Ｃ，Ｃ’をとる．Ｃ，Ｃ’を中心とする限点Ａを通る円は それぞれＯ，Ｏ’に直交することに注意する． 点Ｂを中心とする円Ｂを反転円とする反転変換Ｉ（Ｂ）による，点Ｂの逆点をＢ’とすれば， Ｉ（Ｂ）による円Ｃ，Ｃ’の反形はそれぞれＡ’を通る直線であり．それをｍ，ｍ’とする． 一方，円Ｏ，Ｏ’はそれぞれ円Ｃ，Ｃ’に 直交するから，円Ｏ，Ｏ’の反形はそれぞれｍ，ｍ’に直交する円である，したがって，２円Ｏ，Ｏ’の反形の中心は２直線 ｍ，ｍ’上にあるから点Ａ’である．したがって，２円Ｏ，Ｏ’の反形は同心円である． 以上で定理の証明が終了しました．ここで，１つだけ注意しなければならないことは，反転円Ｂの半径を変えたときです． それは，反転の中心が同じＢの反転変換Ｉ（Ｏ，ｋ2），Ｉ（Ｏ，ｍ2）の合成は 相似変換で相似比はｍ2／ｋ2である．すなわち Ｉ（Ｏ，ｍ2）（合成）Ｉ（Ｏ，ｋ2）＝Ｓ（Ｏ，ｍ2／ｋ2） が成り立つ． これは Ｉ（Ｏ，ｍ2）＝Ｓ（Ｏ，ｍ2／ｋ2）合成）Ｉ（Ｏ，ｋ2 と書くこともできる．すなわち，反転円の大きさのが異なるときの反形は相似変換よる違いだけである．すなわち， ２円Ｏ，Ｏ’の反形は半径の比は変わらないということです．このことは，交わらない２円Ｏ，Ｏ’に対して，ある反転変換により 同心円に同心円にうつるが，２つの同心円の半径の比は，２円Ｏ，Ｏ’の固有な値である．この内容は後で扱われます．  以上反転変換を用いていろいろな問題を解いてきました．以上の内容はすでに多くの先人が扱ったものです． もし反転に興味を持ったら，日本の算額（和算家が自分の発見した数学の問題や解法を書いて神社などに 奉納した絵馬）に目を向けることを勧めます．算額には円に関する問題が多く，反転を用いると簡単に解けるものが 少なくありません．日本では反転はそれほど普及していないので，皆さんが反転を用いて解いたなら， それは 世界で唯一の解答かもしれません．なお，現在私は算額の中での反転の痕跡を探しています．気が付いたことがあれば 教えてください． |