測地曲率を具体的に計算するのは一般に簡単ではありません． ここでは，比較的簡単に求められる測地曲率を計算します． 
曲面上の曲線$f(u(s),v(s))$($s$は弧長)の測地曲率ベクトルとは，曲線の曲率ベクトル$\dfrac{d^2f(u(s),v(s))}{ds^2}$ の接平面への正射影ベクトルのことです． 曲面の単位法線ベクトルを$n$,さらに$\dfrac{df(u(s),v(s))}{ds}=e_1,n\times e_1=e_2$とすると， 測地曲率ベクトルは$e_2$と平行であるから，点$f(u(s),v(s))$における測地曲率$k_g$を $k_g=\dfrac{d^2f(u(s),v(s))}{ds^2}\cdot e_2$ により定義する．この定義から，測地曲率は曲面の法線ベクトルの向きを反対に取れば符号が変わる． 曲線の法曲率$k_n$を思い出そう．これは曲率ベクトルの法線ベクトルへの正射影であった．したがって， 曲線の曲率$k$,法曲率$k_n$,測地曲率$k_g$の間には $k^2=k_n^2+k_g^2$ の関係がある． 例題１ 回転曲面 $F(u,v)=(u\cos v,u\sin v,f(u))$ の座標曲線の測地曲率を求めよう． 回転曲面では$u$座標曲線を経線，$v$座標曲線を緯線という．緯線を平行円ということも多い． 解答 まず経線の測地曲率を求めよう． 考える経線と回転軸を含む平面$\alpha$を考える．経線は平面$\alpha$に含まれる平面曲線である． 経線の法線は回転軸を向いているから緯線とも直交している． したがって，経線の曲率ベクトルは曲面の法線ベクトルでもあるから経線の測地曲率は $k_g(u-line)=0$ である． 
緯線は半径$u$の円であるから曲率は$\frac{1}{u}$.緯線の曲率ベクトルと接平面のなす角を$\theta$
とすると$\cos \theta =\dfrac{1}{\sqrt{1+f'(u)^2}}$ であるから，緯線の測地曲率は $k_g(v-line)=\dfrac{1}{u\sqrt{1+f'(u)^2}}$ である． 例題１から，球面では大円が測地曲率$0$の曲線すなわち測地線であることがわかる．また，球面上の各点の どの方向を与えても大円が存在し，測地線の存在の一意性より球面の測地線は大円に限ることがわかる． 曲面$S$上の曲線$C$の曲率ベクトルが曲面の法線ベクトルと平行なら曲線$C$の測地曲率$0$である． すなわち測地線である． この性質はよく用いられる． たとえば，放物線を測地線に持つ極小曲面を見つけるときに用いた． カタラン曲面 測地曲率と法曲率の関係に注目すると次の性質がわかる． 例題２ 曲線$C$は曲面$S$上の曲線．$C$上の点$P$における曲面$S$の接平面を$T$とする． 曲線$C$の接平面$T$への正射影により得られる曲線を$C'$とする．このとき曲線$C$の点$P$における 測地曲率の絶対値は曲線$C'$の点$P$における曲率と等しい． 
解答曲線$C$の点$P$における単位接ベクトルを$\overrightarrow{e_1}$, 曲面$S$の単位法線ベクトルを$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{n} \times \overrightarrow{e_1}$で定義する. 曲線$C$の点$P$における曲率ベクトルを$k\overrightarrow{\beta}$とすると， $C$の点$P$における測地曲率$k_g$は $k_g=k\overrightarrow{\beta}\cdot \overrightarrow{e_2}$ 一方，曲線$C$の各点から平面$T$へ下した垂線の作る曲面$S'$上の曲線として $k\overrightarrow{\beta}\cdot \overrightarrow{e_2}$ を見てみよう． $\overrightarrow{n},\overrightarrow{e_1}$は曲面$S'$上のベクトルであるから， $\overrightarrow{e_2}$ は曲面$S'$の法線ベクトルである． したがって， $k\overrightarrow{\beta}\cdot \overrightarrow{e_2}$ は曲面$S'$における曲線$C$の点$P$における法曲率である． さらに平面$T$は$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ を含む平面であるから，平面$T$は曲面$S'$の$\overrightarrow{e_1}$方向の直截面である． したがって，法曲率 $k\overrightarrow{\beta}\cdot \overrightarrow{e_2}$ は，曲線$C'$の点$P$における曲率と一致する． 次に測地曲率のLiouvilleの公式を振り返ってみよう． 測地曲率のLiouville の公式 $(u,v)$を曲面$S$の直交座標系とする．すなわち第１基本形式が $I=Edu^2+Gdv^2$ のとき． 曲面$S$上の弧長変数の曲線$(u(s),v(s))$が$u$曲線となす角が$\theta$のとき，この曲線の測地曲率$k_g$は $k_g=\dfrac{d\theta }{ds}-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \log E}{\partial v}\cos \theta +\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \log G}{\partial u}\sin \theta$ 式が複雑で，この式のすごさが見落とされそうです．少し説明します． まず，$u$座標曲線，$v$座標曲線の測地曲率がすぐわかります． $u$座標曲線は$\theta =0$であるから， $k_g(u-line)=-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \log E}{\partial v}$ $v$座標曲線は$\theta =\dfrac{\pi}{2}$であるから， $k_g(v-line)=\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \log G}{\partial u}$ です． もし，$u$座標曲線，$v$座標曲線が測地線(測地曲率$0$)なら測地曲率は $k_g=\dfrac{d\theta (s)}{ds}$ これは平面上の曲線の曲率と一致する． 一般の曲線の測地曲率は $k_g=\dfrac{d\theta (s)}{ds}+k_g(u-line)\cos \theta +k_g(v-line)\sin \theta$ こう見ると，Liouvilleの公式はとても自然な式に見えませんか．これらを理解した上で， ガウス・ボンネの定理の証明を見ると理解が深まると思います． さて，ここで内在幾何を振り返りましょう．曲面は第１基本形式と第２基本形式で完全に決まります． ガウスが提唱してリーマンが高次元に拡張した内在幾何とは，曲面を第１基本形式だけで議論することです． ですから，この幾何学は平面，円柱面，円錐面の区別はできません． 内在幾何学で扱える内容を確認しましょう． ２点間の距離，なす角，領域の面積は当然扱えます．それだけではありません． なんと曲面の曲率も内在幾何の対象だというのがガウスが驚いた(Egregium Theorem)内容です． さらに，ここで学んだ測地曲率が$0$の曲線である測地線も内在幾何の対象です． なお，平均曲率や法曲率は内在幾何の対象ではありません．当然法曲率によって定義される 曲率線や漸近曲線も内在幾何の対象ではありません． さて，曲面上にいる人はその曲面の曲率をどのように求めたらいいのでしょうか．それは，一般には ミルナー著 モース理論 吉岡書店 111ページ をご覧ください． 球面なら，ガウスが計測したホーヘハーゲン，ブロッケン，インゼルスベルグを３頂点 とする三角形の内角の和の$180^{\circ}$ とのずれでもよいが(なお，この計測は，球面であることを補正した上で，非ユークリド幾何的であることを期待していたのではないかと言われている)， 定曲率曲面なら三角形の辺の長さに注目した方が手っ取り早い． 直角を挟む２辺の長さがそれぞれ$t$である直角二等辺三角形 の斜辺の長さを$x$とする．球面幾何および双曲幾何の三角法より 曲率$0$なら３平方の定理より$x=\sqrt{2}t=f(t)$ 曲率$1$なら$\cos x=\cos ^2t$より$x=\arccos (\cos ^2t)=g(t)$ 曲率$-1$なら$\cosh x=\cosh ^2t$より$x=\mathrm{areacosh}(\cosh ^2t)=h(t)$ 
である．$0\leqq t\leqq \pi$でグラフを書くと右図上から$h(t),f(t),g(t)$となる． $t$が増えるとき，平面の場合と比べて曲率が正なら近づいていき， 曲率が負なら離れいる． 後で，点の周りの円周の長さが曲率によってどう変わるかを計算する． 内在幾何において曲面を決定するのは曲率である．というのは言い過ぎかもしれないが，少なくても， 定曲率曲面においては曲面を決定するのは曲率である， 曲率が曲面にどのように影響を与えるかは当然興味深い内容である． 2.測地線 微分幾何の目次 全体の目次 |