$\S15.$カタラン曲面(1) 例2 $xy$平面上の放物線$y^2=4x,z=0$すなわち$(t^2,2t,0)$を測地線とする極小曲面をもとめよう． 解答 測地線の曲率ベクトルが求める極小曲面の法線ベクトルである．放物線の接ベクトルは $(2t,2,0)$ とり，単位法線ベクトルは $\boldsymbol{n}=\dfrac{(-1,t,0)}{\sqrt{t^2+1}}$ シュワルツの公式より $\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(t) =(t^2,2t,0)+i\int (2t,2,0)\times \boldsymbol{n}dt$ $\displaystyle =(t^2,2t,0)+i\int (0,0,2\sqrt{t^2+1})dt$ $t=i\sin \theta$とおけば $=(-\sin ^2\theta ,2i\sin \theta ,-\dfrac{2\theta +\sin 2\theta}{2})$ $x$軸方向に平行移動し $=(\dfrac{\cos 2\theta}{2},2i\sin \theta ,-\dfrac{2\theta +\sin 2\theta}{2})$ $t=u+iv$とおいて計算すると $\boldsymbol{\Phi}(u+iv)=$ $(\dfrac{\cos 2u\cosh 2v-i\sin 2u\sinh 2v}{2}, 2i(\sin u\cosh v +i\cos u\sinh v,$ $-\dfrac{2u+i2v+\sin 2u\cosh 2v+i\cos 2u\sinh 2v}{2})$ 実部は $\boldsymbol{p}=(\dfrac{\cos 2u\cosh 2v}{2}, -2\cos u\sinh v,-u-\dfrac{\sin 2u\cosh2v}{2})$ この曲面はカタラン曲面と呼ばれている． 虚部は $\boldsymbol{q}=(-\dfrac{\sin 2u\sinh 2v}{2}, 2\sin u\cosh v,-v-\dfrac{\cos 2u\sinh2v}{2})$ カタラン曲面は通常エンネパーの公式で $\phi (z)=\dfrac{i}{z}-\dfrac{i}{z^3}$ より得られる曲面と定義されている．エンネパーの公式で定義された曲面と一致することを 確認しよう． $\displaystyle F(z)=\int (1-z^2)\phi (z)dz,$ $\displaystyle G(z)=\int (1+z^2)\phi (z)dz,$ $\displaystyle H(z)=2\int z\phi (z)dz$ より， $F(z)=2\log z+\dfrac{1}{2z^2}-\dfrac{z^2}{2}$ $G(z)=-\dfrac{z^2}{2}-\dfrac{1}{2z^2}$ $H(z)=2i(z+\dfrac{1}{z})$ $z=e^r(\cos \theta +i\sin \theta)$を代入． $F(z)=i\left(2r+2i\theta +\dfrac{1}{2}(e^{-2r}(\cos 2\theta -i\sin 2\theta)-e^{2r}(\cos 2\theta +i\sin 2\theta))\right)$ $G(z)=-\dfrac{1}{2}\left(e^{2r}(\cos 2\theta +i\sin 2\theta)+ e^{-2r}(\cos 2\theta -i\sin 2\theta)\right)$ $H(z)=2i\left(e^{r}(\cos \theta +i\sin \theta)+e^{-r}(\cos \theta -i\sin \theta)\right)$ 実部をとると $\boldsymbol{p}=(-2\theta +\sin 2\theta \cosh 2r, -\cos 2\theta \cosh 2r,-4\sin \theta\sinh r)$ 虚部をとると $\boldsymbol{q}=(2r-\cos 2\theta \sinh 2r,-\sin 2\theta \sinh 2r,4\cos \theta \cosh r)$ 実部がカタラン曲面で，虚部がその共役曲面である． シュワルツの公式より得られた曲面と一致することは，$r=v,\theta=\frac{\pi}{2}$と変換し， 対称移動と平行移動により一致することがわかる. 続く 微分幾何