§2.測地線

まず,測地線の復習をしよう.
測地線の定義は
曲面$S$上の曲線で測地曲率$0$の曲線を曲面$S$上の測地線という
である.この定義より次の性質が成り立つことがわかる.

命題1
曲面$S$上の曲線が測地線になるのは,曲率$0$すなわち直線かまたは 曲線の曲率ベクトルが曲面の法ベクトルになるときであり,かつそのときに限る.

質点が曲面を運動するとき次の性質が成り立つ.
命題2
曲面$S$上を運動する質点$P$が曲面からだけの力を受ける(ほかの外力は考えない)とき,この点$P$ の軌跡は測地線である.
証明
質点$P$の軌跡を$f(t)$とする.$s$を$f(t)$の弧長.
軌跡$f(t)$の加速度は
$\dfrac{d^2f}{d^2t}=\dfrac{d}{dt}(\dfrac{df}{ds} \dfrac{ds}{dt})$
$=\dfrac{d^2f}{ds^2} (\dfrac{ds}{dt})^2+\dfrac{df}{ds}(\dfrac{d^2s}{dt^2})$
$\therefore \dfrac{d^2f}{dt^2} =\dfrac{d^2f}{ds^2} (\dfrac{ds}{dt})^2+\dfrac{df}{ds}(\dfrac{d^2s}{dt^2})\cdots (\sharp)$
一方質点の受ける力$F$は曲面からの垂直方向であり,質点の質量を$m$とすると,
$F=m\cdot \dfrac{d^2f}{dt^2}$
であるから
$\dfrac{d^2f}{ds^2}\parallel n$
ここで,$n$は曲面の法ベクトル.
$(\sharp)$を見てみよう.左辺は$n$と平行であり,
$\dfrac{df}{ds}\perp n,\dfrac{df}{ds}\perp \dfrac{d^2f}{ds^2}$
であるから
$\dfrac{d^2s}{dt^2}=0$
$\therefore \dfrac{d^2f}{ds^2}\parallel n$
したがって,点$P$の軌跡の曲率ベクトルと曲面の法ベクトルが平行であるから.測地線である.

曲面の測地線を具体的に求めること,すなわち微分方程式を解くことは簡単でない, ここでは回転面の測地線を求めよう.

例題 回転面$(u\cos v,u\sin v,f(u))$の測地線を求めよう.

なお計算の中で, 測地線が経線となす角についての定理
測地線と経線($u$線)となす角を$\theta$とすると
$u\sin \theta =(\text{定数})$
が証明される(クレローの定理)
(大槻富之助 微分幾何学演習 朝倉書店 p.75 例題1)
ここではLiouvilleの公式を用いて測地線を求める.
回転面$(u\cos v,u\sin v,f(u))$の第1基本形式は
$I=(1+f'(u)^2)du^2+u^2dv^2$
より直交座標系であり,Liouvilleの公式を用いることができる.
$E=1+f'(u)^2,G=u^2$
より
$\dfrac{du}{ds}=\dfrac{\cos \theta}{\sqrt{E}}=\dfrac{\cos \theta}{\sqrt{1+f'(u)^2}}\cdots (1)$
$\dfrac{dv}{ds}=\dfrac{\sin \theta}{\sqrt{G}}=\dfrac{\sin \theta}{u}\cdots (2)$
測地曲率$0$より
$\dfrac{d\theta}{ds} =-\dfrac{\sin \theta}{u\sqrt{1+f'(u)^2}}\cdots (3) \ \ (\because \dfrac{\partial E}{\partial v}=0)$
まず$(1),(3)$より
$\dfrac{d\theta}{du} =-\dfrac{\tan \theta}{u}$
$\log u+\log \sin \theta =C$
$\therefore u\sin \theta =C$
これはクレローの定理である.
さらに,
$\cos \theta =\sqrt{1-\dfrac{C^2}{u^2}}$
より
$\tan \theta =\dfrac{C}{\sqrt{u^2-C^2}}\cdots (4)$
一方$(1),(2),(4)$より
$\dfrac{dv}{du}=\dfrac{\sqrt{1+f'(u)^2}}{u}\tan \theta =\dfrac{C\sqrt{1+f'(u)^2}}{u\sqrt{u^2-C^2}}$
したがって,
$\displaystyle v=\int \dfrac{C\sqrt{1+f'(u)^2}}{u\sqrt{u^2-C^2}}du$
この式より,$C=0$とおけば$u$線($v$が定数)が測地線であることがわかる.これは例題1の証明にもなっている

ここで,測地線の微分方程式を見直そう.測地曲率$0$より得られる微分方程式は
$\begin{cases} \dfrac{d^2u^1}{ds^2}+\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=0 \\ \dfrac{d^2u^2}{ds^2}+\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=0 \end{cases}$
まず注意することは,曲線は$(u(s),v(s))$としていることで曲面$f(u,v)$の形は考えていません.説明を付け加えると, 曲面の内在幾何では,第1基本形式を定義した$(u^1,u^2)$ 平面として扱います.これを抽象曲面といいます.測地線の方程式で曲面の式$f(x,y)$がないことに注目しましょう.測地線だけでなく, 面積や長さ,測地曲率等は第1基本量だけが関係し曲面の形は関係ありません.通常これを曲面が本来持っている量というのですがこの 意味がすっきりするのではないでしょうか.これは,外部から曲面を見るのではなく,曲面本来持っている量を 対象にするといったりします.この研究法を内在幾何学(Intrinsic Geometry またはRiemann Geometry)といいます.
なお,$(u_1,u_2)$の各点に第1基本形式, 第2基本形式両方定めればこれは通常の曲面です(曲面論の基本定理)
さらに,この抽象曲面の考え方が多様体の定義につながっているのです.多様体の定義を見直しましょう, 局所的にユークリッド空間で,各点に第1基本形式を定義する.これがリーマン幾何における 多様体の定義です.多様体の概念が難しいと聞くことがありますが, 多様体が難しいのではなく,多様体を学ぶだけの基礎知識が身についていないだけなのではないでしょうか. 内在幾何を知らないで多様体を理解するのはたとえば極限の知識がないのに微分の計算をしているようなもので. どうしても表面的な理解になると思います.

次に測地線の微分方程式を見てみましょう.$s$は弧長です.
測地線は,曲面上の点とその点における接ベクトルを与えれば局所的にただ一つ定まるのですが, 議論の流れからいけば,扱う曲線は弧長変数だけですから,初期条件は
$(u^1(0),u^2(0))=(u^1_0,u^2_0),((u^1)'(0),(u^2)'(0))=(v^1_0,v^2_0)$
ただし,
$|(v^1_0,v^2_0)|^2=E(v^1_0)^2+2Fv^1_0v^2_0+G(0v^2_0)^2=1$
としなければなりません.
もちろんこれでも問題ないのですが,実際は変数$s$は弧長とは限らない一般の変数で,
$\begin{cases} \dfrac{d^2u^1}{dt^2}+\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^i}{dt}\dfrac{du^j}{dt}=0 \\ \dfrac{d^2u^2}{dt^2}+\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^i}{dt}\dfrac{du^j}{dt}=0 \end{cases}$
初期条件
$(u^1(0),u^2(0))=(u^1_0,u^2_0),((u^1)'(0),(u^2)'(0))=(v^1_0,v^2_0)$
としたい.すなわち初期条件の接ベクトルは単位ベクトルとは限らないとしたい.この方が一般的です.
これを示すには,曲面の内在幾何の知識を利用した測地線の定義の方がわかりやすい.

定義
曲面$S:f(u^1,u^2)$上の曲線$C:f(u^1(t),u^2(t)),t\in (a,b)$について, ベクトル値関数
$X:(a,b)\longrightarrow \mathbb{R}^3$
が任意の$t$で
$t\mapsto X(t)\in T_{f(t)}(S)$
をみたすとき,$X$を曲線$C$に沿ったベクトル場という.

ここで記号の注意をする.
曲面$f(u^1,u^2)$とは
$f:U(\subset \mathbb{R}^2)\longrightarrow \mathbb{R}^3$
であるベクトル値関数であり
$\overrightarrow{f}(u^1,u^2)=(f^1(u^1,u^2),f^2(u^1,u^2),f^3(u^1,u^2))$
のようにベクトル表記するか,$f$のように太文字で書くべきであるが, ここではそのまま関数の記号を用いる.
$\dfrac{\partial f}{\partial u^i}=f_i$
$\dfrac{\partial^2 f}{\partial u^iu^j}=f_{ij}$
と表す.当然$f_i$はベクトル値関数で,
$f_i(u^1,u^2)=(\dfrac{\partial f^1}{\partial u^i},\dfrac{\partial f^2}{\partial u^i}, \dfrac{\partial f^3}{\partial u^i})$
$f_{ij}(u^1,u^2)=(\dfrac{\partial ^2f^1}{\partial u^i\partial u^j}, \dfrac{\partial ^2f^2}{\partial u^i\partial u^j}, \dfrac{\partial ^2f^3}{\partial u^i\partial u^j})$
のことである.

曲線$C$に沿ったベクトル場$X(t)$は
$X(t)=X^1(t)f_1+X^2(t)f_2=X^i(t)f_i$
と表せる.なお,以後微分幾何の通例に従いアインシュタイン規約に従う.
$\dfrac{dX(t)}{dt}=\dfrac{dX^i}{dt}f_i+X^if_{ij}\dfrac{du^j}{dt}$
$=(\dfrac{dX^k}{dt}+\Gamma _{ij}^kX^i\dfrac{du^j}{dt})f_k+h_{ij}X^i\dfrac{du^j}{dt}n$
となる.ここで,$n$は曲面の法線ベクトル,$h_{ij}$は曲面の第2基本量.
最後の式の変形は内在幾何の土台です.わからなければ 曲面の第1基本形式と第2基本形式の関係を参考にしてください.

$\dfrac{dX(t)}{dt}$の曲面$S$への正射影を$\dfrac{DX(t)}{dt}$とすると
$\dfrac{DX(t)}{dt}=(\dfrac{dX^k}{dt}+\Gamma _{ij}^kX^i\dfrac{du^j}{dt})f_k$
$\dfrac{DX(t)}{dt}$を曲線$C$に沿ったベクトル場$X(t)$の共変微分という. 式からわかるように共変微分は第1基本量だけで決まる.
曲面上の共変微分はユークリッド空間$\mathbb{R}^3$における ベクトルの方向微分の接平面への正射影である.

次に曲線$C$に沿ったベクトル場$X(t),Y(t)$に対して$X(t),Y(t)$の内積$X(t)\cdot Y(t)$を $t$で微分しよう.
曲面$S$のベクトル空間の内積は$\mathbb{R}^3$より誘導されたものであるから,
$\dfrac{d}{dt}(X(t)\cdot Y(t))=(\dfrac{dX(t)}{dt})\cdot Y(t)+X(t)\cdot (\dfrac{dY(t)}{dt})$
$=(\dfrac{DX(t)}{dt})\cdot Y(t)+X(t)\cdot (\dfrac{DY(t)}{dt})$
2つ目の等号は$X(t),Y(t)$は$S$の接ベクトルより,法線ベクトル方向は無視してよい.
さて,共変微分は $\dfrac{d}{dt}(X(t)\cdot Y(t)) =(\dfrac{DX(t)}{dt})\cdot Y(t)+X(t)\cdot (\dfrac{DY(t)}{dt})\cdots (\sharp)$
は成り立ちます.
また,
$\dfrac{\partial ^2f}{\partial u^i \partial u^j} =\dfrac{\partial ^2f}{\partial u^j \partial u^i}$
が成り立つので,
$\Gamma _{ij}^k=\Gamma_{ji}^k\cdots (\flat)$
一方$\Gamma_{ij}^k$を任意に与えれば曲面の共変微分は定義できますが,$(\sharp),(\flat)$を 満たす共変微分すなわち$\Gamma_{ij}^k$はただ一つに決まるというのがリーマン幾何の基本定理で レビ・チビタ(Levi-Civita)の共変微分という.この共変微分が方向微分の接平面への正射影と一致する.うまくいっているのです.

話を進めましょう.
曲面上の曲線に沿ったベクトル場の微分が定義できました,これで,曲線に沿ったベクトルの平行性 が定義できます.
ユークリッ平面$\mathbb{R}^2$上の曲線に沿ったベクトル場$X(t)$が平行とは$X(t)$が定ベクトル ですから
$\dfrac{dX(t)}{dt}=0$
が成り立ちます.ベクトルが平行であるの定義にこの性質を採用します.

定義
曲線$C$に沿ったベクトル場$X(t)$が$\dfrac{DX(t)}{dt}=0$を満たすとき,$X(t)$を曲線$C$ に沿った平行ベクトル場という.

曲線$C(t)$に沿ったベクトル場$X(t)=X^i(t)f_i$が平行ベクトル場であるための条件は,
$\dfrac{DX}{dt}=(\dfrac{dX^k}{dt}+\Gamma _{ij}^kX^i\dfrac{du^j}{dt})f_k$
であるから
$\begin{cases} \dfrac{dX^1}{dt}+\Gamma _{ij}^1X^i\dfrac{du^j}{dt}=0 \\ \dfrac{dX^2}{dt}+\Gamma _{ij}^2X^i\dfrac{du^j}{dt}=0 \end{cases}$

定義
曲面$S:f(u^1,u^2)$上の曲線$C:f(u(t),v(t))$($t$は弧長とは限らない)の接ベクトル
$\dfrac{du^i(t)}{dt}f_i$
が平行ベクトル場のとき,曲線$C$を曲面$S$上の測地線という,

測地線の方程式は$X^i$を$\frac{du^i}{dt}$で置き換えたものであるから
$\begin{cases} \dfrac{d^2u^1}{dt^2}+\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^i}{dt}\dfrac{du^j}{dt}=0 \\ \dfrac{d^2u^2}{dt^2}+\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^i}{dt}\dfrac{du^j}{dt}=0 \end{cases}$
である.
したがって,測地線は弧長変数に限る必要がないことがわかる.

もとに戻って,測地線は,弧長変数の曲線で
$\begin{cases} \dfrac{d^2u^1}{ds^2}+\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=0 \\ \dfrac{d^2u^2}{ds^2}+\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=0 \end{cases} \ \ \ \cdots (\sharp)$
を満たすものとしよう.もちろん初期条件として与えるベクトルは単位ベクトルである.
曲線$u^1(t),u^2(t)$がこの微分方程式をを満たすとき,$s$は弧長でなくとも接ベクトル
$X(t)=((u^1)'(t),(u^2)'(t))$は
$\dfrac{DX(t)}{dt}=0$
である.したがって
$\dfrac{d}{dt}(X(t)\cdot X(t))=2(\dfrac{dX(t)}{dt}\cdot X(t))=2(\dfrac{DX(t)}{dt}\cdot X(t))=0$
これより,測地線の速度ベクトルの大きさは一定であることがわかる.たとえば,初期条件で与えるベクトルが単位ベクトルなら, 解の全範囲で速度ベクトルは単位ベクトルすなわち弧長変数である.
曲面$S$上の点$P$を固定し,$P$における接ベクトル$v(|v|=1)$を与えれば弧長変数の測地線が定まり,その式を$r(s;v)$とします.
$a$を正の定数として,
$\bar{r}(t)=r(at)=r(at;v)$
で定義した曲線を考えます.
もちろん$r(t),\bar{r}(t)$は同じ曲線です.違いは,曲線上を動く速さです.
一方,
$\bar{r}'(t)=ar'(at),\bar{r}"(t)=a^2r(at)$
より$\bar{r}(t)$は$(\sharp)$の解である.さらに
$\bar{r}'(0)=av$
であり,微分方程式の解の一意性より
$\bar{r}(t)=r(at;v)=r(t;av)$
が成り立つ.
微分方程式$(\sharp)$は,微分方程式の定理より
$\epsilon _1,\epsilon _2$>$0$が存在して$|v|$<$\epsilon _1$(ただし$v\in T_P(S)$) に対して
$r(0)=P,r'(0)=v$
を満たす測地線
$r(t):(-\epsilon _2,\epsilon _2)\longrightarrow S$
が存在する.

$r(t)=r(t;v),-\epsilon \text{<}t\text{<}\epsilon$
とすると
曲線$\bar{r}(t)=r(t,av)=r(at,v)$
より定義域は $-\epsilon \text{<}at\text{<}\epsilon$
より
$-\dfrac{\epsilon }{a}\text{<}t\text{<}\dfrac{\epsilon }{a}$
すなわち,$a$を小さくとればいくらでも定義域を伸ばすことができる.
これを数学的に言い直すと次のようになる.
すでに述べた,
$\epsilon _1,\epsilon _2$>$0$が存在して$|v|$<$\epsilon _1$(ただし$v\in T_P(S)$) に対して
$r(0)=P,r'(0)=v$
を満たす測地線
$r(t):(-\epsilon _2,\epsilon _2)\longrightarrow S$
存在する.
より,$\epsilon =\dfrac{\epsilon _1\epsilon _2}{2}$とおくと
$\epsilon $>$0$が存在して$|v|$<$\epsilon $(ただし$v\in T_P(S)$) に対して
$r(0)=P,r'(0)=v$
を満たす測地線
$r(t):(-2$<$t$<$2)\longrightarrow S$
がただ一つ存在する.

曲面$S$の点$P$における接ベクトルの大きさを小さくとれば測地線$r(t,v)$が$(-2,2)$の範囲で定義できるから, $T_P(S)$の原点を含む十分小さな開集合$U$が存在し
$\exp _P :U(\subset T_P(S))\longrightarrow S;v\mapsto r(1;v)$
が定義できる.この$\exp _P$を指数写像という.
指数関数がどのような写像かはわかりやすい.
$v$と同じ向きの単位ベクトルを$v_0$とすると$v=|v|v_0$より,
$\exp _P(v)=r(1;v)=r(1;|v|v_0)=r(|v|;v_0)$
$r(t;v_0)$は弧長変数の測地線であるから,$\exp _P(v)$は$v$で決まる測地線の$P$からの距離が $|v|$の点である.

次に指数写像
$\exp_P:U \longrightarrow S$
の微分$d\exp _P$を調べよう.写像の微分の定義に戻って考えるとわかりやすい.
$M.N$が多様体のとき,$v\in T_P(M)$に対して,$df(v)$は,$M$上の点$P$を通る曲線$r(t)$で
$\dfrac{dr(t)}{dt}|_{t=0}=v$
を考え,
$df(v)=\dfrac{d(f\circ r(t))}{dt}|_{t=0}$
である.したがって,
$d\exp _p(v)=\dfrac{\exp _P(tv)}{dt}|_{t=0}=\dfrac{dr(t;v)}{dt}|_{t=0}=v$
任意の$v$で
$d\exp_P(v)=v$
が成り立つから
$d\exp _P=\mathrm{id}$(恒等変換)
である.

3.測地座標


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