§3.測地座標

曲面を扱うとき,曲面の座標系をいかに扱いやすくとるかは重要な問題である.
特に内在幾何,すなわち第1基本形式だけを用いるときは,第1基本量$E,F,G$ を簡単にする座標系が求められる.
ここでは,測地線を利用した3つの座標系を紹介する.なお,ここで考えている座標系は局所的にすなわち十分小さな 開集合$U$で作った座標系である.
一つは,測地平行座標系である.これは本文ですでに述べた.この座標系は測地標準座標系ということもある.
残りは測地法座標系と測地極座標系で,この2つは指数写像を用いて定義される.

まず,測地平行座標系を復習しよう.
次のように作った 座標系である.
1.曲線$C$を定める.
2.$C$上の各点で$C$と直交する測地線を引く($u$線).
3.2の測地線族に垂直に交わる直線族を作る($v$線). ここで作った$u$線,$v$線よる座標系を半測地座標系という.
$u$線$v$線は直交するから,第1基本形式は
$I=E(u,v)du^2+G(u,v)dv^2$
4.$u$線は測地線であるからLiouvilleの公式より
$-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \log E}{\partial v}=0$
したがって
$\dfrac{\partial E}{\partial v}=0$
したがって
$\dfrac{d\bar{u}}{du}=\sqrt{E}$
すなわち,$\bar{u}$は$u$線の弧長にとり $\bar{u}$を$u$に置き換えれば
$I=du^2+G(u,v)dv^2$
である.
本文ではここまでであるが,もう少し調べよう.
最初に与える曲線$C$を弧長変数の測地線として与えれば,
$G(0,v)=1$
さらに,Liouvilleの公式より
$\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial G}{\partial u}|_{u=0}=0$.
したがって,
$G_u(0,v)=0$
以上より,測地平行座標系は次のようにまとめることができる.

測地平行座標系
曲面$S$の任意の点$P$に対して,$P$を含む十分小さな開集合$U$が存在して, $U$における次の条件を満たす座標系$(u,v)$が存在する.
1.$P$の座標は$u=0,v=0$.
2.第1基本形式は
$I=du^2+G(u,v)dv^2$
さらに,任意の$v$で
$G(0,v)=1,\dfrac{\partial G}{\partial u}(0,v)=0$

この座標系は最初に与えた弧長変数の測地線$C$上では
$I=du^2+dv^2$
である.したがって,次のことがわかる.
命題
曲面$S$の任意の各点でその点においては第1基本形式が $I=du^2+dv^2$
となる座標系$(u,v)$が存在する.

測地平行座標がわかると,等長同型2で証明した
定理
定曲率曲面に限れば,ガウス曲率が等しければ等長同型である.

が容易に理解できます.なお,この内容は測地極座標系を用いても証明する.

話を進めましょう.

$T_P(S)$の原点を含む十分小さな開集合を$V$とし,$U$を
$\exp_P(V)=U$
で定める.
この$U$に新しい座標系を導入する.
曲面$S$上の点$P$における接ベクトル空間$T_P(S)$の正規直交基底を$e_1,e_2$とする.
$v\in V$に対して
$v=v^1e_1+v^2e_2$
のとき
$(P;U)$における座標系を
$f(v^1,v^2)=\exp_P(v^1e_1+v^2e_2)$
で定義する.この座標系を$P$における測地法座標系という.
定義より
$f(0.0)=P$
法座標系の第1基本形式
$I=E(u,v)du^2+2F(u,v)dudv+G(u,v)Dv^2$
を調べよう.
$d\exp _P|_{(0,0)}=\mathrm{id}$
であるから
$E(0,0)=e_1\cdot e_1=1,G(0,0)==e_1\cdot e_2=0,F(0,0)=e_2\cdot e_2=1$
が成り立つ.
次に,単位ベクトル$v=v^1_0e_1+v^2_0e_2\in T_P(S)$を用いると,曲線
$r(s)=\exp_P(sv)=(v^1(s),v^2(s))$
$T_P(S)$上で考えれば
$v^1(s),v^2(s))=(v^1_0s,v^2_0s)$
であり測地線である.
測地線の満たす方程式より
$\dfrac{d^2v^i}{ds^2}+\Gamma _{jk}^i\dfrac{dv^j}{ds}\dfrac{dv^k}{ds}=0$
さらに,$P=(0,0)$において
$\dfrac{dv^i}{ds}=v^i_0,\dfrac{d^2v^i}{ds^2}=0$
より
$\Gamma _{jk}^i(0,0)v^j_0v^k_0=0$
したがって,
$\Gamma _{jk}^i=\Gamma _{kj}^i$
より
$\Gamma _{jk}^i(0,0)=0 \ (\forall i,j,k)$
さらに
$\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial v^k}=g_{il} \Gamma _{jk}^l+g_{jl}\Gamma _{ik}^l \ \ (\forall i,j,k)$
であるから
$\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial v^k}(P)=0 \ \ (\forall i,j,k)$

以上より,測地法座標系は次のようにまとめることができる.

測地法座標系
曲面$S$の任意の点$P$に対して,$P$を含む十分小さな開集合$U$が存在して, $U$における次の条件を満たす座標系$(v^1,v^2)$が存在する.
1.$P$の座標は$v^1=0,v^2=0$.
2.第1基本形式
$I=g_{11}(dv^1)^2+2g_{12}dv^1dv^2+g_{22}(dv^2)^2$

$g_{11}(0,0)=1,g_{12}(0,0)=0,g_{22}(0,0)=1,$
$\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial v^k}(P)=0 \ \ (\forall i,j,k)$ を満たす.

ここで,測地法座標系では使っている事項は
$d\exp_P|_{(0,0)}=\mathrm{id}$
および測地線の性質だけである.したがって,3次元以上の一般の多様体でも成り立つことである.
なお,測地平行座標系や次に説明する測地極座標系ではそうはいかない.
もう一つ.測地法座標系は点$P$では簡単に表せるが,$P$以外では一般には何もわからない.もちろん $P$以外では$v^1$座標曲線と$v^2$座標曲線が直交するかどうかもわからない.

次に学ぶのは測地極座標系である.
指数写像$\exp_P$を利用する.
曲面$S$上の点$P$における接ベクトル空間$T_P(S)$の正規直交基底を$e_1,e_2$とする.
$ue_1+ve_2\in V$に対して極座標$(r,\theta)$を
$ue_1+ve_2=r\cos \theta e_1+r\sin \theta e_2$
によって定義する.
極座標の定義からわかるように,$P$を通る1つの測地線は定義域からのぞかなければならない.
ここでは$\theta =\pi$を除き,$\theta$の範囲は$-\pi$<$\theta$<$\pi$とする.
$f(r,\theta )=\exp_P(r\cos \theta e_1+r\sin \theta e_2)$
によって定義される座標系を$P$を極とする測地極座標系という.
$\theta$を固定した$r$座標曲線は
$|\cos \theta e_1+\sin \theta e_2|=1$
であるから弧長変数の測地線である.
$r$を固定すると,任意の$\theta$で
$|r(\cos \theta e_1+\sin \theta e_2)|=r$
したがって,$r=r_0$の軌跡は,$P$から測地線ではかった距離$r_0$の点よりなる軌跡である.この軌跡を 点$P$を中心とする半径$r_0$の測地円という.

定理(ガウスの補題)
$P$から出ている測地線と$P$を中心とする測地円は直交する.

証明
$f(r,\theta) \ (0\leqq r\leqq a)$
を測地線$f(r,0)$の変分とみて第1変分を行う($\theta $で微分する).
$\displaystyle L(\theta )=\int_0^a|\dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial r}|dr$
とすると,
$|\dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial r}|=1,\dfrac{D}{\partial r}\dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta} =\dfrac{D}{\partial \theta}\dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial r}$
を用いて(以下の内容は本文の測地線の第1変分における計算と同じ.参考にするとよい)
$\displaystyle L'(\theta) =\int_0^a(\dfrac{D}{\partial r}\dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial\theta})\cdot \dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial r}dr$
$\displaystyle \therefore L'(0) =\int_0^a[(\dfrac{D}{\partial r}\dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial\theta})\cdot \dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial r}]_{\theta =0}dr$
さらに部分積分を用いて
$\displaystyle L'(\theta _0) =\left[\dfrac{\partial f}{\partial r}\cdot \dfrac{\partial f}{\partial \theta}\right]_0^a -\int_0^a(\dfrac{D}{\partial r}\dfrac{\partial f}{\partial r}) \cdot \dfrac{\partial f}{\partial \theta}dr$
$r$座標曲線は測地線より$\dfrac{D}{\partial r}\dfrac{\partial f}{\partial r}=0$
$L'(0)=0$および$r=0$のとき$\dfrac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta}=0$であるから $r=a$で
$\dfrac{\partial f}{\partial r}\cdot \dfrac{\partial f}{\partial \theta}=0$
$a$は任意であるから証明された.

ガウスの補題より,$r$座標曲線と$\theta$座標曲線は直交しさらに$r$座標曲線は弧長変数の測地線であるから ,測地極座標の第1基本形式は
$I=dr^2+G(r,\theta)d\theta ^2$
である.
$P$における$G$の値$\displaystyle \lim_{r=0}G(r,\theta)$はもう少し調べられる.
測地法座標との関係を利用しよう.
$u=r\cos \theta,v=r\sin \theta ,u^2+v^2=r^2,\theta =\arctan \dfrac{v}{u}$
より
$dr=\dfrac{udu+vdv}{r},d\theta =\dfrac{udv-vdu}{r^2}$
$\therefore \begin{pmatrix}dr\\d\theta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{u}{r}&\dfrac{v}{r}\\ \dfrac{-v}{r^2}&\dfrac{u}{r^2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}du \\ dv \end{pmatrix}$
$=A\begin{pmatrix}du \\ dv \end{pmatrix}$
座標変換による第1基本形式の変換は次のように機械的にやればよい.
$I=\begin{pmatrix}dr & d\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&G \end{pmatrix} \begin{pmatrix}dr \\ d\theta \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}du & dv \end{pmatrix} A^T \begin{pmatrix}1&0\\0&G \end{pmatrix}A \begin{pmatrix}du \\ dv\end{pmatrix}$
$A^T$は行列$A$の転置行列. ここで,
$A^T \begin{pmatrix}1&0\\0&G \end{pmatrix}A$
$=\begin{pmatrix} 1+\dfrac{v}{r^2}(\dfrac{G}{r^2}-1)&\dfrac{uv}{r^2}(1-\dfrac{G}{r^2})\\ \dfrac{uv}{r^2}(1-\dfrac{G}{r^2})&1+\dfrac{u^2}{r^2}(\dfrac{G}{r^2}-1) \end{pmatrix}$
($u^2+v^2=r^2$を用いている)
$r\to 0$のとき単位行列に近づくから(測地法座標系の性質)
$\displaystyle \lim_{r\to 0}\dfrac{G(r,\theta)}{r^2}=1$
$\displaystyle \therefore \lim_{r\to 0}G(r,\theta)=0, \lim_{r\to 0}\dfrac{\partial \sqrt{G(r,\theta)}}{\partial r}=1$

以上より,測地極座標系は次のようにまとめることができる.

測地極座標系
曲面$S$の任意の点$P$に対して,$P$を含む十分小さな開集合$U$が存在して,$P$をから出ている1本の測地線を 除いた$U$における次の条件を満たす座標系$(r,\theta)$が存在する.
第1基本形式
$I=dr^2+G(r,\theta)d\theta ^2$
さらに
$G(r,\theta)$は
$\displaystyle \lim_{r\to 0}G(r,\theta)=0, \lim_{r\to 0}\dfrac{\partial \sqrt{G(r,\theta)}}{\partial r}=1$
を満たす.

測地平行座標系でやったように,定曲率のとき測地極座標系の$G(r,\theta)$を定めよう.
$f(u,v)$が微分方程式
$f_{uu}+kf=0$
を満たすとき
$k>0$のとき$f(u,v)=c_1(v)\cos (\sqrt{k}u)+c_2(v)\sin (\sqrt{k}u)$
$k<0$のとき$f(u,v)=c_1(v)\cosh (\sqrt{-k}u)+c_2(v)\sinh (\sqrt{-k}u)$
である.
また,第1基本形式が
$I=dr^2+G(r,\theta)d\theta ^2$
で与えられているとき,曲率$k(r,\theta)$は
$k(r,\theta)=-\dfrac{(\sqrt{G})_{rr}}{\sqrt{G}}$
である.
したがって,微分方程式
$(\sqrt{G})_{rr}+k\sqrt{G}=0$
を初期条件
$\displaystyle \lim_{r\to 0}G(r,\theta)=0, \lim_{r\to 0}\dfrac{\partial \sqrt{G(r,\theta)}}{\partial r}=1$
のもとで解けば
$k>0$のとき$\sqrt{G(r,\theta)}=\dfrac{\sin (\sqrt{k}r)}{\sqrt{k}}$
$k<0$のとき$\sqrt{G(r,\theta)}=\dfrac{\sinh (\sqrt{-k}r)}{\sqrt{-k}}$
したがって,定曲率曲面のとき曲率を定めれば第1基本形式が定まる.
曲率が等しい 定曲率曲面どうしは局所的に等長同型が存在することが改めて証明された.

定曲率曲面において$P$を極とする測地極座標系を用いて, $P$の周りの半径$r_0$の測地円の長さと測地円の内部の面積を求めよう.
$\bullet \ \ k>0$のとき.
測地円の長さは
$\displaystyle \int_0^{2\pi}\sqrt{G}d\theta=\int_0^{2\pi}\dfrac{\sin {(\sqrt{k}r_0)}}{\sqrt{k}}d\theta =\dfrac{2\pi \sin (\sqrt{k}r_0)}{\sqrt{k}}$
測地円の囲む面積は,面積要素が$\sqrt{G}dr\wedge d\theta$であるから
$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^{r_0}\sqrt{G}drd\theta =\dfrac{2\pi (1-\cos (\sqrt{k}r_0))}{k}$



$\bullet \ \ k<0$のとき.
測地円の長さは
$\displaystyle \int_0^{2\pi}\sqrt{G}d\theta= \int_0^{2\pi}\dfrac{\sin {(\sqrt{-k}r_0)}}{\sqrt{-k}}d\theta =\dfrac{2\pi \sin (\sqrt{-k}r_0)}{\sqrt{-k}}$
測地円の囲む面積は,面積要素が$\sqrt{G}dr\wedge d\theta$であるから
$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^{r_0}\sqrt{G}drd\theta =-\dfrac{2\pi (\cos (\sqrt{-k}r_0)-1)}{k}$

$k>0$の場合すなわち半径$\dfrac{1}{\sqrt{k}}$の場合調べて合っていることを確認しよう.
北極$N$の周りの半径$r_0$の測地円(小円)の長さおよび囲む面積を求める.
極座標$(\phi ,\theta)$を考える.すなわち
$(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{k}}(\cos \phi \cos \theta ,\cos \phi \sin \theta ,,\sin \phi)$
$dx,dy,dz$を計算し
$I=dx^2+dy^2+dz^2=\dfrac{d\phi ^2+\cos ^2\phi d\theta ^2}{k}$
半径$r_0$の測地円は
$r_0=\dfrac{\phi}{\sqrt{k}}$
より
$\phi =r_0\sqrt{k}$
$\dfrac{1}{\sqrt{k}}\sin (r_0\sqrt{k})$の円の周の長さであるから
$\dfrac{2\pi}{\sqrt{k}}\sin (r_0\sqrt{k}$
測地円の面積は
面積要素が
$\dfrac{\cos \phi d\phi \wedge d\theta}{k}$

$\dfrac{\pi}{2}-r_0\sqrt{k}\leqq \phi \leqq \dfrac{\pi}{2},0\leqq \theta \leqq 2\pi$
より
$\displaystyle \int _0^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{2}-r_0\sqrt{k}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos \phi }{k} d\phi d\theta =\dfrac{2\pi (1-\cos (r_0\sqrt{k}))}{k}$


4.定曲率曲面(1)


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