$\S2. \ $ポアンカレモデル(1) 曲率が$-\frac{1}{a^2}$の曲面はすでに等長同型3で計算してあり，それは $y=a\cos \theta ,z=\pm a((\log (\dfrac{1}{\cos \theta}+\tan \theta )-\sin \theta))\cdots (\sharp)$ を$z$軸の周りに回転して得られる曲面である．この曲面を擬球面という．$z$＞$0$の方だけをとると，媒介変数表示は $x=a\cos \theta \cos \phi$ $y=a\cos \theta \sin \phi$ $z=a((\log (\dfrac{1}{\cos \theta}+\tan \theta )-\sin \theta))$ である． $dx=a(-\sin \theta \cos \phi d\theta -\cos \theta \sin \phi d\phi)$ $dy=a(-\sin \theta \sin \phi d\theta +\cos \theta \cos \phi d\phi)$ $dz=\dfrac{a\sin ^2\theta d\theta}{\cos \theta}$ であるから，擬球面の第１基本形式は T$=dx^2+dy^2+dz^2=a^2(\tan ^2 \theta d\theta +\cos ^2 \theta d\phi ^2)$ ここで， $u=a\log \cos \theta ,v=\phi $ とおけば， T$=du^2+a^2e^{\frac{2u}{a}}dv^2$ さらに， $x=v.y=e^{\frac{-u}{a}}$ とおけば T$=\dfrac{a^2(dx^2+dy^2)}{y^2}$ となる．したがって，擬球面とユークリッド平面との角度を保つ変換が存在することが分かった． ここで定義した対応では擬球面はユークリッド平面の $0\leqq x$＜$2\pi,1$＜$y$ の部分に対応する．ユークリッド上半平面全体と擬球面の関係は面白いとは思うが（上半平面は擬球面の被覆になっている． 例えば「大槻富之助 微分幾何学 朝倉書店」をご覧ください）扱わない． ここでは，ユークリッド上半平面 $\mathbb{H}^+:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y>0\}$ に第１基本形式を T$=\dfrac{a^2(dx^2+dy^2)}{y^2}$ で定めて空間の曲率を求めることに留める． $0\leqq x$＜$2\pi,1$＜$y$ なら擬球と等長変換が存在するから曲率は$-\frac{1}{a^2}$であるが， 擬球の性質は用いないで直接求めよう． 曲面の曲率を求めるのに，第１基本形式，第２基本形式の両方を用いれば簡単であるが，第１基本形式だけで表すのは簡単ではない． 比較的簡単に計算できるのは T$=dx^2+g(x,y)dy^2$ のときで，このときガウス曲率$K$は $K=-\dfrac{1}{\sqrt{g}}\dfrac{\partial ^2 \sqrt{g}}{\partial x^2}$ 変形したときの途中の空間での， T$=dx^2+a^2e^{\frac{2x}{a}}dy^2$ を用いて， $K=-\dfrac{1}{a^2}$ を得る． 上半平面$\mathbb{H}^+$において，第１基本形式を T$=\dfrac{a^2(dx^2+dy^2)}{y^2}\cdots (\flat)$ で定義した空間をポアンカレ非ユークリッドモデルという．
これから，ポアンカレ非ユークリッドモデル$\mathbb{H}^+$を調べていきますが，
どのような空間かを調べましょう． |
例えば，岸の近くでは流れがなく，岸から離れれば離れるほど流れが速い川に似ています．岸に平行の2点間
を泳ぐときのできるだけ短時間の泳ぎ方はできるだけ沖まで泳ぎ戻ってくる方法です
(例えば1km,2km等長い距離を泳ぐ時を考えるとよい)．光の屈折を考え，
密度が連続的に変わるものを考えてもよい．