この章では，負の定曲率曲面を扱い，特に非ユークリッド幾何のポアンカレモデルを中心に解説する． $\S 1. \ $ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何 まず，ユークリッド幾何の復習をしましょう． ここで扱うユークリッド原論の内容は 中村幸四郎他訳 ユークリッド原論 共立出版 を用いた． ユークリッド原論には次の５つの公準があります． 5つの公準 １．任意の一点から他の一点に対して一つ，そして唯一つの直線を引くこと ２．有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること ３．任意の中心と半径で円を描くこと ４．すべての直角は互いに等しいこと ５．1直線が2直線に交わり同じ側の内角の和を2直角より小さくするならば，この2直線を限りなく延長させると2 直角より小さい角のある側で交わる． １〜４の公準に関しての注意は球面幾何で扱っていますのでそちらをご覧ください． ここでは，第５公準について説明します． 第５公準を日本の幾何教育にあわせて書き直します． 「1直線が2直線に交わり同じ側の内角の和を2直角より小さくするならば」 とありますが，片方の側が$180^{\circ}$より小さければもう一方の側は$180^{\circ}$より大きくなります． さらに結論のどちらで交わるかは本質でありませんから，第５公準は次のようになります． 
第5公準直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ． 同側内角の和が$180^{\circ}$でない $\Longrightarrow \ \ m,n$は交わる 同側内角の和が$180^{\circ}$は錯角（同位角）が等しいことと同値ですから，次のように言い換えてもかまいません． 第5公準 直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ． 錯角が等しくない $\Longrightarrow \ \ m,n$は交わる 対偶を用いれば次のようになります．なお，２直線が交わらないことが平行線の定義です． 第5公準 直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ． $m,n$が平行 $\Longrightarrow $錯角が等しい それでは，第5公準の逆の命題はどうなるのでしょうか． それはユークリッド原論の第27命題です．この命題は第5公準を用いない，すなわち第1公準から第4 公準だけを用いて証明されている点，そしてそのことが重要なことです．  第27命題 直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ． 錯角が等しい$\Longrightarrow m,n$が平行 証明 錯角が等しいのに$m,n$は点$P$で交わると仮定する． 右図で，$PB$の延長上に点$Q$を $BQ=AP$ を満たすようにとる．2辺とその間の角が等しいから $\triangle PAB \equiv \triangle QBA$ $\therefore \angle BAB=\angle PBA$ したがって，3点$Q,A,P$は一直線上にあり2直線$m,n$は2点で交わり矛盾．したがって証明された. この証明の根拠となる合同条件は第４命題である．なお，ここの証明はユークリッド原論の証明とは異なる． 第５公準とその逆である命題27の違いは分かるだろうか． 右上の図を用いて説明すると， 第27命題は錯角が等しいければ平行であるということです．これは，直線$m$と$m$上にない点$B$が与えれたとき，$B$を通る平行な直線が存在することです． 実際，$B$を通る直線$l$を引き，錯角が等しい直線$n$を引けばよい． 錯角が等しくない場合は何もいっていない． すなわち，命題27は点$B$を通る$m$に平行な直線は一本は引けるがそれ以上あるかどうかは何も分からないという意味です． これが第１公準から第４公準までで分かる内容です． 一方，第5公準の意味は，対偶をとれば 第5公準 直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ． 錯角が等しくない$\Longrightarrow m,n$が平行でない 第5公準により， 平行となるのは錯角が等しい場合に限り，他には平行線が存在しないということです． したがって，第５公準は次のよう書くことができます． 第５公準 一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき，$A$を通って$m$に平行な直線は唯一つに限る． 文章としては 「一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき，$A$を通って$m$に平行な 直線は存在して唯一つに限る．」 のように，存在してを入れたほうが自然ですが，存在するは証明されるので ，第５公準のように書かざるを得ないわけです． なお，ここまでの内容はユークリッド原論に書いてあり，それは 命題27,命題28,命題31 です． さて，ユークリッド原論では，第５公準を平行線が唯一つに限ると書かないで，どうして 第５公準 1直線が2直線に交わり同じ側の内角の和を2直角より小さくするならば，この2直線を限りなく延長させると2 直角より小さい角のある側で交わる． としているか興味あることです．もし平行線が存在してただ一本にかぎると書いていいなら，そう書いたでしょうが， 存在を公理に入れるわけいにはいかないので この第５公準になったのではないかと私は思っています． ちなみに高木貞治博士は著書「数学雑談」でユークリッド原論は「一意性」に関して 鈍感だと述べ，その影響だろうと書いています． 真実は分かりませんが面白い話題です． ここで，ユークリッドの4つの公準をもう一度見てみましょう． １．任意の一点から他の一点に対して一つ，そして唯一つの直線を引くこと ２．有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること ３．任意の中心と半径で円を描くこと ４．すべての直角は互いに等しいこと この4つの公準より， 一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき，$A$を通って$m$に平行な 直線は存在する は証明されます．「平行な直線がただ1本に限る」ことを証明することが「平行線の公準の問題」 といわれるギリシャ以来の大難問です． これは，逆の命題が簡単に証明できるからこそ，多くの人が証明できると感じたからでしょう． これは証明できないことが証明されました．この証明は後で行うとして，ここでは， 「一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき，$A$を通って$m$に平行な 直線は唯一つである」 について別の方面から考えてみましょう． 
平行線が一本しかないと主張することは妥当性があるのでしょうか．私たちの長い間の経験よりそんなの当たり前だと主張するのでしょうが，その経験は問題ないのでしょうか． もちろん紙の上で作図するときは問題なさそうです． しかし例えば，太陽を通る２直線$m,n$を考え，この2直線を含む平面上に地球があるとし， 右上図で，点$P$は太陽から離れていき丁度点$P$のとき地球と点$P$を結ぶ直線が直線$m$に平行になり， また，$B$から太陽に近づいていき点$Q$で地球と$Q$を結ぶ直線が$m$に平行になったとき， $P,Q$が同じ点であるといえるだろうか．このように考えると平行線がただ一本に限ると断定することに 自信がなくなってくるのではなかろうか（ここで相似は使えません．相似は曲率$0$のときだけ考えられます）． もちろん，平行線がただ1本に限るとして理論を作ることは問題ない．しかし，それと同様に 平行線が1本とは限らないとしてもユークリッド幾何と似た内容の幾何学が出来上がるということです． これを説明するのが本稿の目的の一つです． 非ユークリッド幾何の本格的な話は後回しにして，非ユークリッド幾何を概観してみましょう． 非ユークリッド幾何は公準５は異なるが，公準１から公準４までは満たします． 一方ユークリッド原論の議論の骨格となる，第１命題から第２８命題までは第５公準は用いていません． ですから，ユークリッド幾何で用いられる多くの命題が非ユークリッド幾何でも用いることが出来るということです． これは球面幾何とは大きく異なるところです．球面幾何では第1公準，第2公準が成り立たないので扱いがとても難しくなります． ユークリッド幾何の証明の基本になっている原理は合同図形の重ねあわせです．特に三角形の合同がよく用いられます． 合同図形の重ねあわせが出来るのは平面はもちろんですが，円柱面でも円錐面でも出来ます．例えば，円柱からある図形を切り取ったら，それを平らに伸ばして， その後別の場所に貼り付けることが出来ます．この操作の仮定で伸び縮みしていません．これは2点間の近傍間に等長変換が存在することを意味しています． 球面なら，切り取ったら図形はどこでもそのまま貼り付けることがきます． 一方微分幾何の内容を思い出しましょう． 2つの曲面間に等長変換が存在するなる，曲面のガウス曲率は第１基本形式だけできまる量なので， 当然対応する点のガウス曲率は等しい．逆は成り立ちませんが，もし定曲率の曲面なら等長変換が存在するので(等長同型2)，ユークリッド幾何の証明の基本である合同図形の 重ねあわせが出来るのは定曲率の曲面だけです． ユークリッド幾何の演繹の基本は三角形の合同条件といいましたが，この合同条件はユークリッド原論では， ２辺とその間の角による合同条件は第４命題 ３辺による合同条件は第8命題 1辺とその両端の角による合同条件は第26命題 で証明しています．ユークリッド原論において，第28命題までは第５公準を用いていないので，非ユークリッド幾何でも合同条件は 成り立ちます．ここで，三角形の合同条件とは，重ね合わせることが出来ることですが，それは 辺の長さや角の大きさについての3つが分かれば残りが確定するするということを意味しています． これは，三角形についての正弦定理，余弦定理が成り立つことを意味します． ロバチェフスキーは非ユークリッド幾何についての著名な論文 GEOMETRICAL REWEARCHES ON THE THEORY OF PARALLELS, で非ユークリッド幾何における正弦定理，余弦定理を証明し，その式は辺の長さが大きくなければ，通常の正弦定理，余弦定理であり， 辺$a,b,c$を虚数単位$i$を用いた$ai,bi,ci$で置き換えれば球面三角形の正弦定理，余弦定理になることを示した． もちろんこれで，非ユークリッド幾何が矛盾のない世界であると断定することは出来ないが， 非ユークリッド幾何が球面の幾何学と似ていることを意味し，矛盾がないことが 十分納得できるであろうことを公表しました． 非ユークリッド幾何についてのロバチェフスキーおよびボリアイの論文は RobertoBonola:Non-Euclidean Geomtry,Dover 邦訳なら 寺坂英孝著：１９世紀の数学 幾何学T ，共立出版 をご覧ください． 以後，扱うのは次の内容である． すでに，負の定曲率曲面は求めてあるので，いくつかの注意を与えて，その曲面と上半平面Poincareモデルの関係をのべる． つぎに，Poincareモデルがユークリッド原論の公準１から公準４を満たし，そして公準５を否定した内容を満たすことを確認し， ユークリッド幾何学の中に非ユークリッド幾何学が構成されることを示す． これは，ユークリッド幾何学に矛盾がないなら，非ユークリッド幾何学に 矛盾がないことを意味している． 非ユークリッド幾何学に矛盾がないことをもう少し説明すると次のようになる． 「公準1〜公準4」 $\Longrightarrow$ 公準5 を証明するのが「平行線の公準の問題」といわれるギリシャ以来の大難問です． これを直接証明しようとしてもうまくいかず背理法で証明しようとします．すなわち 「公準1〜公準4」 かつ「公準5の否定」 が成り立つとして矛盾を導き出そうとしたわけです． ところが，実際はユークリッド幾何学と同じように矛盾がないと証明されたわけです．さらにそのようなモデルが示され容易にその事実が理解できるようになった． これで，公準1〜公準4 から公準5は証明されないこと証明され，ギリシャ以来の難問が解決いたしました． ポアンカレモデル(1) 目次に戻る 微分幾何 |