$\S3. \ $ポアンカレモデル(2) ここでは，ポアンカレ非ユークリッドモデルの解説をします． 上半平面 $\mathbb{H}^+=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y$＞$０\}$ において第１基本形式 T$=\dfrac{a^2(dx^2+dy^2)}{y^2}$ で定義された空間をポアンカレ非ユークリッドモデル略してポアンカレモデルといいます． また，この計量の半平面$\mathbb{H}^+$をポアンカレ平面といいます． 以下$a=1$すなわち第１基本形式を T$=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ とします． 曲率はすでに計算してあり，いたるところ$-1$である定曲率曲面です． 次に測地線を計算しましょう． $\Gamma _{ij}^k$を求めると， $\Gamma _{11}^1=\Gamma _{22}^1=\Gamma _{12}^2=\Gamma _{21}^2=0$ $\Gamma _{12}^1=\Gamma _{21}^1=\Gamma _{22}^2=-\dfrac{1}{y}$ $\Gamma _{11}^2=\dfrac{1}{y}$ (曲面の第１基本形式と第２基本形式の関係を参照) 測地線の方程式は10.測地曲率と測地線の3節で計算してあり，それは $\begin{cases} \dfrac{d^2u^1}{ds^2}+\Gamma _{ij}^1\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=0 \\ \dfrac{d^2u^2}{ds^2}+\Gamma _{ij}^2\dfrac{du^i}{ds}\dfrac{du^j}{ds}=0 \end{cases} $ である． $\mathbb{H}^+$の曲線を弧長$s$を変数として， $(x(s),y(s))$ とすれば，測地線の方程式は,$\Gamma _{ij}^k$を代入して $\begin{cases} x"(s)-\dfrac{2x'(s)y'(s)}{y}=0 \\ y"(s)+\dfrac{x'(s)^2-y'(s)^2}{y}=0 \end{cases}$ となる． この連立微分方程式を解きましょう． 微分方程式を実際に解くのは面倒なことが多いが，これは解き易い． 第１式を$y\neq 0$より $\dfrac{x"}{y^2}-\dfrac{2x'y'}{y^3}=0$ と変形すれば $\left(\dfrac{x'}{y^2}\right)'=0$ $\therefore x'=ay^2\cdots (\sharp)$ $a$は定数． ここで，$a=0$のとき，$y$軸に平行であり，これが測地線の一つであることに注意する． 次に第２式を $\dfrac{y"}{y}-\dfrac{y'^2}{y^2}+\dfrac{x'^2}{y^2}=0$ したがって， $\left(\dfrac{y'}{y}\right)'+\dfrac{x'^2}{y^2}=0$ この式に$(\sharp)$を代入し $\left(\dfrac{y'}{y}\right)'+ax'=0$ $\therefore \dfrac{y'}{y}+ax=b$ $b$は定数． 以上で， $x'=ay^2,y'=(-ax+b)y$ が得られた． したがって， $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'}{x'}=\dfrac{-ax+b}{ay}$ この微分方程式は変数分離系で $ax^2-2bx+ay^2=c$ $c$は任意の定数．これは，$x$軸上を中心とする任意の半径の円を意味している． したがって，次の命題が証明された． 命題 ポアンカレ非ユークリッド平面すなわち， $\mathbb{H}^+=\{(x,y)|y$＞$０\}$ において第１基本形式 T$=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ の測地線は$x$軸上に中心を持つ任意の半径の円と$x$軸に垂直な直線である．  次に，ポアンカレ平面$\mathbb{H}^+$の２点間の距離を求めよう． 2点$P(a_1,b_1),Q(a_2,b_2)$間の距離$d(P,Q)$は $\displaystyle d(P,Q)=\int_P^Qds=\int_P^Q\dfrac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{y}$ 2点$P,Q$を通る測地線（半円）の中心を$(c,0)$円の半径を$r$とすると，測地線は $x=c+r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ と媒介変数表示できる． $P,Q$に対応する$\theta$の値をそれぞれ$\theta _1,\theta _2$とすると， $\displaystyle d(P,Q)=\int_{\theta_1}^{\theta _2}\dfrac{|d\theta |}{\sin \theta } =\left|\left[\log \tan \dfrac{\theta }{2}\right]_{\theta _1}^{\theta _2}\right|$ $=\left|\log \dfrac{\tan \dfrac{\theta _2}{2}}{\tan \dfrac{\theta _1}{2}}\right|$ $P,Q$を結ぶ測地線が$y$軸と平行なときは，$P,Q$の$y$座標をそれぞれ$a,b \ (a$＜$b)$とすると， $\displaystyle d(P,Q)=\int_P^Q\dfrac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{y} =\left|\left[\log y \right]_a^b\right|=\left|\log \dfrac{b}{a}\right|$. 
ここで，２点間の距離$d(P,Q)$を図形的に考えよう．$A,B,P,Q,O$を右図のように定め， $\angle POA=\theta _1,\angle QOA=\theta _2$ とする．なお絶対値を外すために$0 < \theta _1 < \theta _2 < \pi$とする． このとき $\tan \dfrac{\theta _1}{2}=\dfrac{PA}{PB},\tan \dfrac{\theta _2}{2}=\dfrac{QA}{QB}$ であるから $d(P,Q)=\log \dfrac{\tan \dfrac{\theta _2}{2}}{\tan \dfrac{\theta _1}{2}} =\dfrac{QA}{QB}\div \dfrac{PA}{PB}$ この値を複比で表すと便利である． 複素数平面で$A(z_1),B(z_2),C(z_3),D(z_4)$のとき複比$[A,B;C,D]$は $[A,B;C,D]=\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\div \dfrac{z_2-z_3}{z_2-z_4} \left(=\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\cdot \dfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3}\right)$ で定義する．  4点$A(z_1),B(z_2),C(z_3),D(z_4)$が複素平面上にあり，さらに同一円周上にあるときの複比$[A,B;C,D]$の偏角を調べよう． $[A,B;C,D]=\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\div \dfrac{z_2-z_3}{z_2-z_4}$ であるから 右図より，4点が同一円周上にあるときの複比の偏角は$0,\pm \pi$であることがわかる．当然逆も成り立つ． さらに，直線$CD$に関して$A,B$が同じ側にあれば偏角は$0$であるから， 複比は正の数である．したがって，このとき複比は絶対値をとっても値は変わらない． 両辺の絶対値をとり，線分長さを用いて $[A,B;C,D]=\dfrac{AC}{AD}\cdot \dfrac{BD}{BC}$ となる． ここで，すでに求めたポアンカレモデルの2点間の距離 $d(P,Q)=\log \dfrac{\tan \dfrac{\theta _2}{2}}{\tan \dfrac{\theta _1}{2}}$ を見直そう． 
$P,Q$を通る半円（測地線）と$x$軸との交点を図のように$R,S$と定め，$\angle QOR=\theta _1,\angle POR=\theta _2$ と置いたときの$d(P,Q)$の値である． $P,Q$は直線$SR$に関して同じ側にあり $\tan \dfrac{\theta _1}{2}=\dfrac{QR}{QS},\tan \dfrac{\theta _2}{2}=\dfrac{PR}{PS}$ であるから $\dfrac{\tan \dfrac{\theta _2}{2}}{\tan \dfrac{\theta _1}{2}}=\dfrac{PR}{PS}\cdot \dfrac{QS}{QR}$ $=[P,Q;R,S]$ $P,Q$を逆にすれば，複比は逆数になり，$S,R$を逆にとっても複比は逆数になる．したがって， ポアンカレモデルにおける2点間の距離$d(P,Q)$は $d(P,Q)=|\log [P,Q;R,S]|\cdots (\sharp)$ となる． なお，$(\sharp)$における$P,Q,R,S$は対応する複素数である． ポアンカレモデルの2点間の距離が$(\sharp)$と複比で表せたのは大きいが(たとえば， 上半平面を上半平面にうつす複比を保つ変換は等長変換)， これは測地線が半円の場合だけで，$x$軸に垂直な半直線 の場合は用いることが出来ない．半直線でも意味がある定義にする必要がある． それが次の式である． $P,Q$の複素数表示が$P(z),Q(w)$のとき $d(P,Q)=\log \dfrac{1+|\dfrac{z-w}{z-\bar{w}}|}{1-|\dfrac{z-w}{z-\bar{w}}|}$ ただし$\bar{z}$は複素数$z$の共役な複素数． 証明は機械的な計算です． 
第１基本形式より，2点間の距離は$x$軸方向に平行移動しても変わらないから，2点$P,Q$を結ぶ測地線である円の中心を原点として
よい．$z,w$の偏角をそれぞれ$2\theta ,2\phi$とする． $|z-w|=2\sin (\theta -\phi),|z-\bar{w}|=2\sin (\theta +\phi)$ $\dfrac{1+|\dfrac{z-w}{z-\bar{w}}|}{1-|\dfrac{z-w}{z-\bar{w}}|} =\dfrac{1+\dfrac{\sin (\theta -\phi)}{\sin (\theta +\phi)}}{1-\dfrac{\sin (\theta -\phi)}{\sin (\theta +\phi)}} $ $=\dfrac{\sin (\theta +\phi)+\sin (\theta -\phi)}{\sin (\theta +\phi)-\sin (\theta -\phi)} =\dfrac{\tan \theta}{\tan \phi}$ したがって，成り立つことが分かった． $d(P,Q)=\log \dfrac{1+|\dfrac{z-w}{z-\bar{w}}|}{1-|\dfrac{z-w}{z-\bar{w}}|}$ で$P,Q$の実部が等しいときの$d(P,Q)$を求めてみると， $P(a+bi),Q(a+ci)$ のとき， $\log \dfrac{b}{c}$ となり，積分で求めた値と一致する． 次に2直線のなす角を調べよう． 第１基本形式が T$=Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2$ のとき，2つのベクトル$(a,b),(c,d)$のなす角$\theta$は $\cos \theta =\dfrac{Eac+F(ad+bc)+Gbd}{\sqrt{Ea^2+2Fab+Gb^2}\sqrt{Ec^2+2Fcd+Gd^2}}$ で与えられるので， $E=G=\dfrac{1}{y^2},F=0$ を代入すると， $\cos \theta =\dfrac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}}$ となり，ユークリッド平面の第１基本形式 T$=dx^2+dy^2$ と一致する．すなわち，角度はユークリッド平面の角度，例えば2直線のなす角は2直線の交点における接線のなす角ではかる． これで，ポアンカレモデルにおける基本的な概念が分かりました． ポアンカレモデルにおいて，ユークリッド原論の5つの公準を満たすかどうかを調べましょう． 第１公準 任意の点から任意の点へ直線を1つ，そしてただ１つひくことができる． これは2点$A,B$を与えれば，直線$AB$は$A,B$を通る中心が$x$軸上の円であるから唯一つ存在することが分かる． 第２公準 与えられた線分はどちら側にも伸ばすことが出来る． 第１基本形式が T$=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ より$x$軸上の点が無限遠点である．したがって，線分はどちら側にも幾らでも伸ばすことが出来る． 第3公準 任意の点を中心とする任意の半径の円を画くことが出来る． この内容は次の章で扱い，成り立つことが分かります． 第4公準 すべての直角は互いに等しい． 点$A$における角$\angle BAC$と点$A'$における角$\angle B'A'C'$が与えられ， $\angle BAC=\angle B'A'C'$ のとき， $AB=A'B'$ を満たすように$B,B'$を定めれば $A\mapsto A';B\mapsto B'$ を満たす合同変換は向きを保つ場合と向きを逆にする場合にそれぞれ1つずつ存在し，合同変換により角を 重ね合わせることが出来る． 最後に第５公準を調べる． 第５公準 1点と直線が与えられたとき，点を通り与えられた直線に平行な直線はただ1本存在する． 
すでに，平行線が存在することは証明されているので，第５公準の否定は第５公準の否定 1点と直線が与えられたとき，点を通り与えられた直線に平行な直線は無数に存在する． 右図から，点Pを通る直線$C$と平行な（交わらない）直線が無数に存在することが分かる． 以上で，上半平面 $\mathbb{H}^+=\{(x,y)|y$＞$０\}$ において第１基本形式 T$=\dfrac{a^2(dx^2+dy^2)}{y^2}$ で定義された空間すなわちポアンカレモデルは，ユークリッドの第１公準から第４公準までを満たしかつ，第５公準の否定が成り立つ ことが分かりました．これで，第1公準より第4公準までからは第5公準は証明されないことが示されました． ポアンカレモデルをもう一度見直しましょう． 扱うのは$x$軸上に中心を持つ円と$x$軸に垂直な直線だけです．それらはユークリッド幾何の対象です．ユークリッドの幾何の中に非ユークリッド 幾何が構成されたのです．ですから， もし非ユークリッド幾何に矛盾をあるならそれはユークリッド幾何に矛盾があるわけです． 具体的にいうなら，非ユークリッド幾何で$A$を同値変形して$B$になり，また$A$を同値変形して$C$になったとき$B$と$C$ が同値でなかったとします．このとき，ここで行った同値変形はユークリッド幾何としても同値変形ですから，それはユークリッド幾何に矛盾が あることを意味するということです． すなわち，非ユークリッド幾何に矛盾がないと言っているのではなく，ユークリッド幾何に矛盾がないと主張するなら， それと同じように非ユークリッド幾何に矛盾がないということです． なお，高木貞治博士はこのことを著書「数学雑談」の中で次のように述べています． ユークリッド幾何学の身中に非ユークリッド幾何学の雛形が存在しえる以上は，ユークリッド幾何学が倒れなければ 非ユークリッド幾何学も倒れない．非ユークリッド幾何学が倒れなければ，平行線の公理が証明せられる筈がない． ガウスは当然この内容は分かっていたでしょう．しかし考えてみてください．私たちは，ポアンカレやクラインによる 非ユークリッドモデルを見てやっと理解できる内容です．当時この 「ユークリッドの第５公準を否定したとき矛盾があることはユークリッド幾何に矛盾があることを意味する」 を一般の人に理解させる自信がない．そして公表するすることによる混乱を避けたい． これらの理由で，ガウスは非ユークリッド幾何の公表をしなかったといわれています． ポアンカレモデル上の幾何学(1) 目次に戻る 微分幾何 |