$\S4. \ $ポアンカレモデル上の幾何学(1) ここでは，ポアンカレ非ユークリッドモデル上での幾何学を行う． 主に作図を扱う．作図といっても拡大体を考え作図の可能性を調べることではなく，円はどのようにかくか， 線分の中点はどのように求めるか，三角形の内心，外心，内接円，外接円等を調べることである． 以下，ポアンカレモデル上の測地線（中心が$x$軸上にある半円または$x$軸に垂直な直線）を直線と呼ぶ． 
ここで用いるのは，$x$軸上に中心を持つ円に関する反転変換だけである．右図の円$O$を反転円とする反転変換$I(O)$で複比は保たれ，さらに$x$軸上の点の像は$x$軸上であるので，距離が保たれる． 右図で， $I(O):P \mapsto P'$ $I(O):Q \mapsto Q'$ であり，直線$PP',QQ'$は円$O$と直交する． $(\because \ $点$O$から円$O'$に接線$OR$を引く． 円$O$の半径を$r$とすると $OR^2=OP\cdot OP'=r^2$ より点$R$は円$O$の周上．$\therefore \angle O'RO=\frac{\pi}{2})$ これらの性質を含む反転変換についての詳しい内容は反転とその応用にあるので，そちらを参考にしていただきたい． ここでは，一般の直線を反転変換で$x$軸に垂直な直線に変換し，さらにそれをもとの直線に戻すという方法がよく用いられる． 
線分$AB$が$x$軸に垂直なとき，線分$AB$の中点を求めよう．$x$軸に垂直な直線上にある2点間の距離は,$A(d,a),B(d,b) (a$＜$b)$のとき $\log \dfrac{b}{a}$ である． したがって，線分$AB$の中点を$C(d,c)$とすると $\log \dfrac{c}{a}=\log \dfrac{b}{c}$ $\therefore c=\sqrt{ab}$ 右図は点$C$の作図である($A'$は$x$軸に関して$A$と対称な点.$OA'\cdot OB=OD^2$)． 
$\bullet$ 線分$AB$の中点の作図直線$AB$と$x$軸との交点を$C,D$とする． $C$を中心とする線分$CA$を半径とするユークリッド幾何の意味（以後明らかな場合は省略する）の円を反転円とする反転変換$I$により 直線$AB$の像は$A$を通る$x$軸に垂直な直線である． $I:B\mapsto B'$ により$B'$を定め，$AB'$の中点を$N$とし， $I:N\mapsto M$ で定まる点$M$が線分$AB$の中点である． なお，ユークリッドの意味での直線$CB$と$AA'$の交点が$B'$であり，ユークリッドの意味での$CN$とポアンカレモデルとしての直線$AB$との 交点が点$M$である． $\bullet$円の作図 線分$AB$が直径である円の作図の土台になるのは次の事実である． 直線$AB$が$x$軸に垂直なとき，ユークリッド幾何の意味での$AB$を直径とする円がポアンカレモデルでの円である．円の中心は ポアンカレモデルの意味での線分$AB$の中点$C$である． これは証明をする必要がある． 
線分$AB$の中点$C$を通る任意の直線と円$C$との交点を$P,Q$とする．$CP=CB$ が成り立つことを示す必要がある． ユークリッド幾何の意味での線分$AB$の中点を$D$とする． 直線$PQ$と$x$軸との交点を$E,F$とし，ユークリッド幾何の意味での$E$を中心とする半径$EC$の円をかく．この円を反転円とする反転変換を $I(E)$とすれば， $I(E):P\mapsto B$ を示せばよい． まず，反転変換$I(E)$で直線$PQ$の像は直線$AB$である． それは，$C,C'$が不動点で反転円の中心を直線$PQ$が通るからである． 次に$AB$を直径とする円$D$と円$E$は直交する． それは円$D$を反転円とする反転変換を$I(D)$とすると， $I(D):C\mapsto C'$ だからである． $(\because DC\cdot DC'=DO^2-CO^2=\left(\dfrac{OA+OB}{2}\right)^2-OA\cdot OB$ $=\left(\dfrac{OB-OA}{2}\right)^2=DA^2)$ したがって，反転変換$I(E)$による円$D$の像は円$D$である． したがって，反転変換$I(E)$による2点$P,Q$の像は$A,B$いずれかであるが，あとは円$E$の内外を考慮して $I(E):P\mapsto B$ $x$軸に垂直な直線上にある2点$A,B$について， $AB$を直径とするユークリッド幾何の意味の円がポアンカレモデルでの円であることがわかった． さらに，一般の線分$PQ$に対しても，$PQ$が直径である円も書けることも意味している． 実際，線分$PQ$に対して，$PQ$の中点$C$を求め，$C$を通る$x$軸に垂直な直線上に $CA=CP,CB=CP$ を満たす点$A,B$をとり，ユークリッド幾何の意味の線分$AB$を直径とする円が求めるのもである． この円が，点$C$を中心とする点$P$を通る円でもある． これで，ポアンカレモデル上で点を中心とする円が書けることがわかったので，ユークリッド原論の 第４公準 任意の点を中とする，任意の半径の円が唯一つ画くことが出来る が成り立つことが示され，これは残された懸案であった．これで，ポアンカレモデルが公準１から公準４及び公準５の否定が成り立つことがすべて示された． $\bullet$直線外の点から直線に垂線を引く 円が描け三角形の合同条件がユークリッド幾何と同様に成り立つので，ユークリッド幾何と同じように作図が出来るが，反転の性質を 用いると簡単に画ける． 
点$P$から直線$m$に垂線を引く方法を考えよう．直線$m$を表す円の中心を$O$とする．$x$軸上の中心を持つ，$P$を通る，円$O$に直交する円を作図するのであるが， 円$O$を反転円とする反転変換$I(O)$による点$P$の像を$Q$とすれば，$P,Q$を通る円が円$O$に直交する． 
$\bullet$三角形の外接円ポアンカレモデルでの円はユークリッド幾何における円でもある．したがって，ポアンカレモデルにおける三角形の外接円は ユークリッド幾何の意味の外接円を求めればよい． 注意する点は，その円が上半平面上に画ききれるとは限らないので， 第5公準と同値命題 同一直線上にない3点を通る円が存在する が成立するとは限らない（高木貞治著「数学雑談」参照.$AB$の垂直２等分線と$AC$の垂直２等分線が交わるとは限らない）． 3点を通る円の中心が，3辺の垂直2等分線の交点になっていることを作図で確かめたのが右図である． $\triangle ABC$の各辺の垂直2等分線が1点で交わることが分かり(交わる保証はない)，その交点が円の直径$DE$の中点である． まったく当たり前のことであるが，作ってみてきちんと一致しほっとする． 
$\bullet$三角形の内接円この問題は，3円に接する円を求める問題で，ユークリッド幾何の問題にすればアポロニウスの問題である． 右図は，$\angle A,\angle B,\angle C$の2等分線が1点$I$で交わり，$I$から各辺に下した垂線の足がそれぞれ $D,E,F$である．3点$D,E,F$を通る円が$\triangle ABC$の内接円で$I$が内心である． ポアンカレモデル上の幾何学(2) 目次に戻る 微分幾何 |