以上のことより，定曲率曲面のとき，曲率を与えれば，第１基本形式が決まるので，曲率が等しい定曲率曲面は等長 同型であることが証明された． すなわち，内在幾何においては，定曲率曲面は唯一つに決まります． 全曲率が$\frac{1}{a^2}$の曲面は半径$a$の球面ですし，全曲率$0$の曲面は平面のことです． それでは，曲率が負の定曲率曲面はどのような曲面でしょうか．ここでは，曲率$-1$の曲面を実際に作ります． 曲面の諸性質を計算するとき回転面が非常に扱いやすいので，条件を満たす曲面を作るとき回転面をよく利用します． ここでも回転面を利用して曲率$-1$の曲面を作ります． $yz$平面上の曲線$z=f(y)$を$z$軸の周りに回転した曲面は $(v\cos u,v\sin u,f(v))$ と表せる．この曲面の第１基本形式，第２基本形式は T$=v^2du^2+(1+f'(v)^2)dv^2$ U$=\dfrac{vf'(v)du^2+f"(v)dv^2}{\sqrt{1+f'(v)^2}}$ したがって，この回転面の全曲率$K$は $K=\dfrac{f'(v)f"(v)}{v(1+f'(v)^2)^2}$ 
である．したがって，全曲率が$-1$の曲面は，微分方程式$\dfrac{f'(v)f"(v)}{v(1+f'(v)^2)^2}=-1$ を解くことになる．この微分方程式を $\dfrac{f'df'}{(1+f'^2)^2}=-vdv$ と書き直し，両辺を積分すると $\dfrac{1}{1+f'^2}=v^2+C_1$ 解を一つ求めればよいから，$C_1=0$とおき$f'$について解けば $f'(v)=\pm \dfrac{\sqrt{1-v^2}}{v}$ $v$で積分して $\displaystyle f=\pm \int \dfrac{\sqrt{1-v^2}}{v}dv$ ここで$v=\cos \theta$とおけば 
$\displaystyle f=\mp \int \dfrac{\sin ^2\theta}{\cos \theta}d\theta$$\displaystyle =\mp \int \dfrac{d\theta}{\cos \theta}\pm \int \cos \theta d\theta$ $=\mp (\log (\dfrac{1}{\cos \theta}+\tan \theta )-\sin \theta )+C$ 積分定数を$C=0$とすれば，最初に与えた$yz$平面上の曲線$z=f(y)$は$\theta$を用いて $y=\cos \theta ,z=\pm (\sin \theta -\log (\dfrac{1}{\cos \theta}+\tan \theta ))$ この曲線(右上図)を$z$軸の周りに回転して得られる曲面が曲率が$-1$である．この曲面を擬球面という(右図)． なお$a$倍の相似拡大をすると曲率は$\frac{1}{a^2}$倍になる．$(\because$主曲率半径が$a$倍より主曲率が$\frac{1}{a}$倍$)$ したがって，曲率が$-\frac{1}{a^2}$の定曲率曲面は $y=a\cos \theta ,z=\pm a((\sin \theta -\log (\dfrac{1}{\cos \theta}+\tan \theta )))$ を回転して得られる． 内在幾何では，定曲率曲面は球面，平面，または擬球面のいずれかである． 右図が擬球面であるが，擬球面のもととなった曲線 $x=\cos \theta ,y=\sin \theta -\log (\dfrac{1}{\cos \theta}+\tan \theta )$ を説明する． この曲線は微分方程式 $y'=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ を解いたものである． 
$x^2y'^2=1-x^2$$\therefore x\sqrt{1+y'^2}=1$ すなわち，曲線上の点$P$における接線と$y$軸との交点を$T$とすると， $PT=1=$（一定） が成り立ちます．この曲線を追跡線(tractrix)といいます．また，犬が$y$軸上を動くとき， 一定の長さの綱が動く軌跡なので犬曲線とよばれることもあります． 次に，ユークリッド幾何の立場から定曲率曲面を眺めましょう． ユークリッド幾何で証明の土台になっているのは三角形の合同条件です．すなわち，第１公理から第４公理までで三角形の合同条件が 成り立つことが示されます． 合同の図形というのは重ね合わせが出来るという意味ですから，第１公理から第４公理までを満たせば，任意の２点間に等長変換が 存在することが分かります．等長変換が存在すれば曲率が等しいから，要するに第１公理から第４公理までを満たすならその空間は 定曲率空間でなければなりません． ユークリッドの第５公理の問題の解決は，本質的には微分幾何の知識を必要としていたわけで，19世紀まで解決しなかったのは 当たり前なのでしょう． なお，非ユークリッド幾何については 非ユークリッド幾何と負の定曲率曲面 をご覧下さい． 曲率$-1$の定曲率曲面を作りました．一方，曲率$1$の曲面として単位球面があります． 曲率$1,-1$の定曲率曲面がこれだけだと考えては困ります．第１基本形式だけを考える幾何学では， 曲率が等しい２つの定曲率曲面は局所的に等長同型です．しかし，曲面全体を考えるとそれほど単純ではありません． さらに，第２基本形式まで考えれば当然いろいろな曲面が存在します． たとえば，曲率$0$の曲面は，平面がその代表ですが，他に柱面，垂面，接線曲面 があります． 曲率$0$以外の定曲率曲面が曲率$0$の場合のようにきちんと分類されているかどうかは私は分かりません． ここでは，回転面に限って，球，擬球以外の定曲率曲面を求めます． 続く 微分幾何の目次 |