前セクションではユークリッド平面，双曲平面ともに成り立つ性質，すなわち公準1から公準4までで導かれる内容を扱いました．
ここでは，ユークリッド平面と双曲平面の異なる点， すなわち公準５を否定するとどうなるかを考えていきます．

ユークリッド原論の命題11,命題12は次の内容です．
原論命題11
直線$AB$上に点$P$が与えられたとき，$P$を通り$AB$に垂直な直線を引くことが出来る．

原論命題12
直線$AB$外に点$Q$が与えられたとき，$Q$を通り$AB$に垂直な直線を引くことが出来る．

この2つの命題は公準1から公準4より示すことが出来るので双曲平面でも成り立つ．
一方第５公準と同値な命題はいくつかあるがその中に
垂線と斜線の公理（公準5と同値命題）
垂線と斜線は交わる．
があります．証明は第５公準と同値な命題にある．
双曲平面で，直線$AB$に直線$l$が交わるとき，なす双曲角が$\frac{\pi}{2}$のとき$l$は$AB$の双曲 垂線といい，$\frac{\pi}{2}$でないとき， $l$は$AB$の双曲斜線という．
双曲平面では，垂線と斜線の公理が成り立たないことは右の図を見れば分かる(円盤の外部は双曲平面の対象ではない)．

双曲平面における2直線の関係を調べる．
2直線の関係は
1. 1点で交わる
2. 境界円で交わる(平行)
3. 円盤内でも境界円でも交わらない(超平行)
の3種類がある．
それぞれの場合にどういう状況になっているのかを見ていく.

$\bullet $2直線が1点で交わるとき
右図で，2直線$AB,PQ$は交わっており，直線$AB$の極が点$C$である．したがって，$C$を通る直線は 直線$AB$の双曲垂線である．
右図より，$PQ$上の任意の点$R$から直線$AB$に双曲垂線$RR'$は引けるが，$AB$上に点$S'$をとり， $S'$を通る$AB$に双曲垂直な直線が直線$PQ$と交わるとは限らない．
$CP,CQ$と$AB$との交点をそれぞれ$P',Q'$とすると， 線分$P'Q'$(端点は除く)上の点においてのみ，その点で双曲垂線を引けば$PQ$と交わる．
また，直線$PP',QQ'$は共に$PQ$と平行である．

次に$PQ$上の点から直線$AB$に引いた双曲垂線の双曲距離を調べよう．
$PQ$上の点$H$から$AB$に下ろした双曲垂線の足を$F$とし，$AB$上の$F$と異なる点を$K$とすると
$d(H,F) < d(H,K)$
が成り立つ．それは，
原論命題18,19
$\triangle ABC$で
$AB < AC \Leftrightarrow \angle B > \angle C$

が双曲平面でも成り立ち，双曲$\triangle HFK$で三角形の内角の和が $\pi$より小さいことより分かる．

2直線$AB,PQ$の交点を$D$とし，$PQ$上の2点$G,H$を$D$に関して同じ側に取り，$G,H$から $AB$に下ろした双曲垂線の足をそれぞれ$E,F$とする．このとき
$d(O,G) < d(OH)$なら$d(E,G) < d(F,H)$
が成り立つ．
証明
$GE$と境界円との交点を$R,S$,$HF$と境界円との交点を$T,U$とする．
複比$[E,G;R,S],[F,H;T,U]$の大小を調べればよい．
$DT$と$RS$の交点を$T'$,$DU$と$RS$の交点を$U'$とすると，
$D$を中心とする配景対応より
$[F,H;T,U]=[E,G;T',U']$
一方
$[E,G;R,S]=\dfrac{ER}{GR}\cdot \dfrac{GS}{ES}$
$[E,G;T',U']=\dfrac{ET'}{GT'}\cdot \dfrac{GU'}{EU'}$
であり，
$\dfrac{ER}{GR} < \dfrac{ET'}{GT'},\dfrac{GS}{ES} < \dfrac{GU'}{EU'}$
より
$[E,G;R,S] < [F,H;T,U]$
すなわち
$d(E,G) < d(F,H)$
が成り立つ．
図で，$H \to Q$のとき$d(H,F)\to \infty \ (\because HT\to 0)$
となる．

$\bullet $2直線が平行のとき
これは2直線が境界円で交わるときで，右図の$AB,AC$を考える．
$AC$上に2点$P,Q$をとり，$P,Q$から直線$AB$に下ろした双曲垂線の足を それぞれ$P',Q'$とする(右図で$D$は$AB$の極)，
右図で
$d(P,P') < d(Q,Q')$
が成り立つ．
証明
$QQ'$と境界円との交点を$S,S',PP'$と境界円との交点を$R,R'$,$AS',AS$と$RR'$との交点をそれぞれ$T',T$ とする.このとき配景対応より
$[Q',Q;S',S]=[P',P;T',T]$
および
$[P',P;R',R] < [P',P;T',T]$
より
$[P',P;R',R] < [Q',Q;S',S]$
したがって
$d(P,P') < d(Q,Q')$
が成り立つ．
これは，直線$AC$上を点$P$が点$C$に向かうとき，$P$から直線$AB$に下ろした双曲垂線の 双曲距離は増加することを意味する．
$P$を$C$に近づけたときおよび$A$に近づけたときの$d(P,P')$の極限を求めよう．
$[P',P;R',R]=\dfrac{P'R'}{PR'}\dfrac{PR}{P'R}$
であり，$P\to C$のとき$PR' \to 0$
であるから
$d(P,P')\to \infty \ \ (P\to C)$
次に$P \to A$の時を調べる．
$[P',P;R',R]=\dfrac{P'R'}{PR'}\dfrac{PR}{P'R}$
$=\dfrac{\sin \angle P'AR'}{\sin \angle PAR'}\dfrac{\sin \angle PAR}{\sin \angle P'AR}$
図のようにユークリッド角$a,b,c$を定めると
$P \to A$のとき
$\angle P'AR'\to \angle P'AD =a+b,\angle PAR' \to \angle PAD =b,$
$\angle PAR \to a+c , \angle P'AR \to c$ であるから
$[P',P;R',R] \to \dfrac{\sin (a+b)}{\sin b}\dfrac{\sin (a+c)}{\sin c}$
$a+b+c=\pi$
であるから
$[P',P;R',R]\to 1 \ \ (P\to A)$
$\therefore d(P,P')=\log [P',P;R',R] \to 0$
すなわち，$P$が直線$AC$上を$A$から$C$まで動くとき，$d(P,P')$は$0$から$\infty$まで 単調に増加することが分かる，
これは平行線の性質でユークリッド幾何とは大分異なる点である．
また，ユークリッド幾何では，$PP'\perp AB,AB\parallel AC$のとき$PP' \perp AC$が 成り立つがこれも成り立たない．
それは，$AB$の極も$AC$の極も境界円の点$A$における接線上にあり，$AB,AC$ 共に垂直な直線は境界円の$A$における接線で双曲平面内には存在しない．これは超平行で話題になる．

$\bullet $2直線が超平行のとき

2直線の関係が分かりました． 次に，双曲平面で起こる，ユークリッド平面と異なる内容を考えていきます．
$\bullet$三角形の垂心
双曲平面において，三角形の頂点から対辺に下ろし3本の双曲垂線の状況を調べよう．
双曲三角形$\triangle ABC$のある頂点を境界円の中心$O$にうつす双曲運動でうつして考える．
ここでは頂点$A$を$O$にうつす．このとき, 辺$AB,AC$は直径の一部より$B,C$から対辺に下ろした双曲垂線はユークリッド幾何の意味での垂線である．
また，$A$は境界円の中心であるから，$A$から対辺に下ろした双曲双曲垂線もユークリッド幾何の意味での垂線である．
ユークリッド幾何でな，3本の双曲垂線は1点で交わり，双曲運動で共点は保たれるから，双曲幾何でも，三角形の三本の双曲垂線は必ず1点で交わる
交わる場所が問題で，
双曲平面$D$内なら，3本の双曲垂線は1点で交わる．この点を双曲垂心という．
境界円なら3本の双曲垂線はどの2本も互に平行．
境界円の外なら，3本の双曲垂線はどの2本も互に超平行．もう少し言えば，円外の1点で交わるからその 点の極線にどの双曲垂線も双曲垂直である．

双曲平面の双曲垂心の性質をユークリッド幾何で表すと次のようになる．
命題
6角形$PQRSTU$は円に外接し，接点を$C,F,B,D,E,A$とする．$EF,CD$の交点，$CD,AB$の交点，$AB,EF$の交点を それぞれ$X,Y,Z$とする．
このとき，$PU,RS$の交点と$X$を結ぶ直線，$QR,TU$の交点と$Y$を結ぶ直線，$PQ,ST$の交点と$Z$を 結ぶ直線は1点で交わる．

$\bullet$三角形の外心
まず，ユークリッド平面で成り立つ次の命題は双曲平面でも成り立つ．
命題
2点$A,B$が与えられている．
点$P$が$d(P,A)=d(P,B)$を満たす　$\Leftrightarrow \ P$は線分$AB$の双曲垂直二等分線上にある
が成り立つ.
証明はユークリッド平面と同じで，用いるのは合同条件だけで，それは双曲平面でも成り立つ．

双曲平面における双曲三角形$\triangle ABC$で，$AB,AC$の双曲垂直二等分線が双曲平面内で交わる, 平行,超平行に分けて議論する．
$\bullet$ 双曲平面内で交わるとき
上の命題より，3本の双曲垂直二等分線が双曲平面内で1点で交わることがわかる．
このとき，この交点を双曲三角形の双曲外心と呼ぶ．

$\bullet \ $平行のとき
$\triangle ABC$の$AB,AC$の垂直二等分線が平行のとき，交点を境界円上の点$P$とする．
もし，$BC$の垂直二等分線と$AB$の垂直二等分線が双曲平面内で交わるなら，3本は双曲平面内で交わり， $BC$の垂直二等分線と$AB$の垂直二等分線が超平行なら，3本は境界円の外部で交わる．
したがって$BC$の双曲垂直二等分線は$P$を通る．

以上の内容は次の対称変換で用いられる．

双曲三角形の双曲内心，双曲重心も調べよう．
$\bullet$三角形の内心
双曲三角形の各内角の双曲二等分線が一点で交わることはすでに ユークリッド幾何のプリアンションの定理のことで証明は必要ないが，双曲幾何として扱う．
用いる命題は次である．
命題
角$PAQ$内に点$B$があり，$B$から$AP,AQ$に下ろした双曲垂線の足をそれぞれ$H,K$とする．この時
$d(B,H)=d(B,K)\Leftrightarrow \delta PAB=\delta QAB$
である．
証明はユークリッド幾何と同様で
$(\Rightarrow)$は斜辺と他の一辺，$(\Leftarrow)$は斜辺と1鋭角の合同条件を用いて $\triangle ABH\equiv \triangle ABK$ を示せばよい．
問題になるのは，双曲三角形$\triangle ABC$の角の双曲二等分線が交わるかどうかですが，必ず交わることを確認しましょう．
例えば角$B$の双曲二等分線を$BD$，角$C$の双曲二等分線を$CE$とする．
直線$BD$と境界円との交点を$P,Q$とすると，2点$C,E$は直線$PQ$に関して反対側にある． したがって． 点が$C$から$E$まで動くときどこかで$PQ$と交わり，線分$CE$は三角形に含まれるので，その交点は三角形の内部にある． したがって，三角形の内部で角の双曲二等分線は交わる．

$\bullet$ 三角形の重心
重心は内心と同じように常に存在する．
命題
双曲三角形$\triangle ABC$で辺$BC,CA,AB$の双曲中点をそれぞれ$D,E,F$とする．このとき
$AD,BE,CF$は一点で交わる．
なお，この点を双曲三角形$\triangle ABC$の双曲重心という．
ユークリッド幾何における中点連結定理に代わる補助命題を用いて証明する．

補助命題1
双曲三角形$\triangle ABC$で辺$CA,AB$の双曲中点をそれぞれ$E,F$とする．この時， $BC$の双曲垂直二等分線と$EF$は双曲直交をなす．
補助命題の証明
頂点$A,B,C$より直線$EF$に下ろした双曲垂線の足をそれぞれ$G,H,K$とする．
このとき,
$\triangle AGF\equiv \triangle BHF,\triangle AEG\equiv \triangle CEK$
(斜辺と一鋭角）(fig.1)
より
$d(B,H)=d(C,K)(=d(A,G))$
次に双曲運動で，線分$HK$の双曲中点を双曲平面である円盤の中心$O$にうつして考える．
$d(O,H)=d(O,K)$
よりユークリッド幾何の意味で等しい．すなわち
$OH=OK$(線分の端点が共に$O$)
$HK$は直径の一部より
$\delta BHO=\frac{\pi}{2},\delta CKO=\frac{\pi}{2}$は
$\angle BHO=\frac{\pi}{2}.\angle CKO=\frac{\pi}{2}$
である．
さらに$HB$と$KC$は$HK$の垂直二等分線(ユークリッド幾何でも双曲幾何でも)に関して対称であるから
$BH=CK$
以下ユークリッド幾何の図形と見る．(fig.2)
四角形$HBCK$は
$HB\parallel KC,HB=KC$
さらに
$\angle H=\frac{\pi}{2}$
より長方形である.
$O$から$BC$に下ろした垂線の足$M$は$BC$の中点である．それは双曲中点でも ある($BM,CM$は直径$OM$に関して対称)．さらに$\angle OMB=\frac{\pi}{2}$であり，
$\delta OMB=\frac{\pi}{2}$も成り立つ．
$OM$は$BC$の双曲垂直二等分線で，$HK$と$OM$は双曲直交するから補助命題が示された．

補助命題1は$\triangle ABC$の置き方を変えれば（$GK$の双曲中点を円の中心に置く．なお$BC$の双曲中点を円の中心に置いてもよい．） $BC,DE$はユークリッド幾何の意味で平行であるということを意味している （もちろん双曲幾何の意味では超平行）

あとはユークリッド幾何の次の補助命題を用いればよい
補助命題2
ユークリッド平面において，
$\triangle ABC$の辺$AB,AC$上にそれぞれ$D,E$をとり．$BC$の中点を$M$とする．
$DE\parallel BC$のとき$BE,CD,AM$は一点で交わる．
証明
いろいろな証明が考えられる，ここではベクトルを用いる．
$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{c}$
とおく．
$AD:AB=AE:AC=k:1$
と置くと，$\triangle ABE$におけるメネラウスの定理より
$\dfrac{k}{1-k}\cdot \dfrac{BF}{FE}\cdot \dfrac{1-k}{1}=1$
であるから
$BF:FE=1:k$
したがって
$\overrightarrow{AF}=\dfrac{k(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})}{1+k}=\dfrac{2k}{1+k}\overrightarrow{AM}$
以上で，双曲三角形の3本の双曲中線が1点で交わることの証明が終了した．

ユークリッド原論の公準1から公準4だけを仮定して行う幾何学を絶対幾何学という．これはユークリッド原論の命題１から 命題28までが成り立つといっても，実際行おうとすると，この性質が使えるのかどうかが難しく簡単ではない．
見方を変え，公準5を仮定しても，公準5の否定を仮定しても成り立つ，すなわちユークリッド幾何でも双曲幾何でも成り立つ性質とみると 絶対幾何も大分扱いやすくなる．
ちなみに，三角形の外心や垂心は絶対幾何の対象ではないが，内心や重心は絶対幾何の対象である．


§8.双曲運動

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