さて，ここでの目的は，絶対幾何学を展開することではない．
ユークリド幾何と非ユークリッド幾何で，成り立つ内容が異なる場合に注目し，ユークリッド第５公準と同値な命題を 見つけることである．

ユークリッド第５公準の意味を明確にするところからはじめよう．
まず，ユークリッド原論の第27命題に注目する必要がある．
この命題は第5公準を用いない，すなわち第1公準から第4 公準だけを用いて証明されている点，そしてそのことが重要なことです．



第27命題
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
錯角が等しい$\Longrightarrow m,n$が平行

証明
背理法を用いる．
錯角が等しいのに$m,n$は点$P$で交わると仮定する．
右図で，$PB$の延長上に点$Q$を
$BQ=AP$
を満たすようにとる．
このとき，2辺とその間の角が等しいから
$\triangle PAB \equiv \triangle QBA$
$\therefore \angle QAB=\angle PBA$
$\angle QAB+\angle PAB=\pi$
したがって，3点$Q,A,P$は一直線上にあり2直線$m,n$は点$Q$でも交わる．
2直線が2点で交わり矛盾．したがって証明された.

命題27から錯角が等しければ２直線が平行であることが分かるが， 錯角が等しくなければ何も言っていないことに注意しなければならない．
通常は逆の命題を考えますが， ユークリッド原論では逆の対偶である裏を考え

ユークリッド第5公準
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
錯角が等しくない$\Longrightarrow m,n$が平行でない

として公理に加えています．
なお，オリジナルをそのまま書くと

ユークリッド第5公準(オリジナル)
１直線が２直線に交わり同じ側の内角の和を２直角より小さくするならば， この２直線は限りなく延長されると２直角より小さい角のある側において交わる．

です．表現は少し変えましたが内容は同じです．
第５公準は逆の命題(命題27)が成り立つから，その逆の命題も証明 できると多くに人が考えたのでしょう．
実際，逆の命題の証明法は，転換法，同一法等いろいろあります．

なお本稿ではユークリッド原論の内容は，日本の中学， 高校のカリキュラムに合わせて書き直しています．

命題27をもう少し見て行きましょう．
直線$m$と$m$外の点$B$を与えれば，錯覚が等しければ平行だから， $B$を通り$m$に平行(平行の定義は，両方向限りなく延長しても交わらない．原論定義23) な直線$n$は必ず存在します．
ユークリッド第5公準，すなわち命題27の裏(逆といってもよい)は当たりと思うかもしれない．
ここが一番誤解しやすいところです．ポアンカレモデル（右図）をみると分かり易いと思う．
$B$で直線$AB$と$\frac{\pi}{2}$をなす直線$n$は同位角が等しいからもちろん$m$ と平行であるが，$B$を通り$m$に平行な直線 それ以外にもあることが分かります
ですから，ユークリッド幾何を展開するには第５公準が必要なのです．

これからが本題です．第５公準と同値な命題を扱います．
ある公理系のもとで２つの命題が同値であることの定義をします．

定義
ある公理系$\Sigma$のもと
命題1を仮定すると命題2が成り立ち，命題2を仮定すると命題1 が成り立つとき，
命題１と命題２は公理系$\Sigma$のもと同値の命題という．

この定義にしたがって，第1公準から第4公準のもと第５公準と同値な命題を考えていく．

平行公理
直線$l$と$l$外の１点$A$が与えられたとき，$A$を通り$l$と平行な直線は多くとも１本である．

平行公理と原論命題27より
命題
直線$l$と$l$外の１点$A$が与えられたとき，$A$を通り$l$と平行な直線は存在ししかもただ１本である．

が成り立つ．

以下，ユークリッド原論の第５公準以外の公理系，定義を認めたうえで議論する．

定理1
第５公準$\Leftrightarrow $平行公理
証明
$(\Rightarrow)$
直線$AB$と$AB$外の一点$Q$を与える．
$Q$を通る直線と直線$AB$との交点を$P$とし，直線$PQ$上に$X,Y$ を右図のように取る．
$Q$を通る直線$CD$で
$\angle XQD=\angle QPB$
を満たせば2直線$AB,CD$は交わらない(原論命題27)．
$Q$を通り$AB$と交わらない直線は他にないことを示せばよい．
$Q$を通る$CD$と異なる任意の直線を$EF$とする．
$\angle PQF\neq \angle PQD$
であるから，
$\angle PQF < \angle PQD$
と仮定する．
このとき
$\angle BPQ +\angle PQF < \angle BPQ +\angle PQD=\pi$
したがって，第5公準より$EF$と$AB$は交わる．
これで，$Q$を通り$AB$と平行な直線は$CD$以外にないことを証明された．

$(\Leftarrow)$
直線$AB,CD$と直線$XY$との交点をそれぞれ$P,Q$とし
$\angle BPQ +\angle PQD < \pi$
とする．このとき，$AB,CD$が交わることを示せばよい．
$Q$を通る直線$EF$を
$\angle XQF =\angle QPB$
を満たすようにとる．
このとき，原論第27命題より$EF,AB$は交わらない．
さらに
$\angle PQD < \angle PQF$
より$EF$と$CD$は異なり，仮定より$Q$を通り$AB$と交わらない 直線は多くとも１本であるから$AB$と$CD$は交わり，交点は直線$XY$ に関して$B$側である．
以上で証明が終了した．

平行公理で第５公準が使いやすくなりました．
もう少し変形しましょう．

ユークリド原論定義第10
直線が直線の上に立てられて挟む角が互いに等しくするとき，等しい角 の双方は直角であり，上に立つ直線はその下の直線に対し て垂線とよばれる．
なお，直角どうしが等しいことは
ユークリド原論第４公準
すべての直角は互いに等しい

とあります．
直線が直線の上に立てられて，挟む角が等しくないとき，上に立つ直線を下の直線に 対して斜線と呼ぶ．
垂線と斜線の関係で表すと，平行公理がさらに使いやすくなる．

垂線と斜線の公理
直線の垂線と斜線は交わる

定理2
平行公理$\Leftrightarrow $垂線と斜線の公理
証明
平行公理を満たすことはユークリッド幾何のことであるから $(\Rightarrow )$は明らか．
$(\Leftarrow )$だけを示せばより．
直線$AB$と直線$AB$外に１点$P$が与えられている．
このとき，$P$を通り$AB$と交わらない直線はただ１本であることを示せば よい．
$P$から直線$AB$に下した垂線の足を$Q$, $P$を通る直線$CD$を
$\angle QPD=\dfrac{\pi}{2}$
を満たすようにとる．このとき原論命題27より２直線$AB,CD$は交わらない．
$P$を通る$CD$と異なる任意の直線$EF$を引く．
このとき$CD,EF$は異なるので
$\angle QPF\neq \dfrac{\pi}{2}$
したがって，直線$EF$は直線$PQ$の斜線である．
仮定より，２直線$AB,EF$は交わる．
したがって，$P$を通り$AB$に平行な直線は一本しかないことが証明された．
以上で証明が終了した．

これで，第5公準の使い勝手がよくなりました．

次にルジャンドルが研究した
三角形の内角の和は$\pi$以下である
について調べよう．

定理3
平行公理$\Leftrightarrow $三角形の内角の和は$\pi$である
証明
平行公理を満たすことはユークリッド幾何のことであるから $(\Rightarrow )$は明らか．
$(\Leftarrow )$だけを示せばよい．
直線$a$と$a$外の点$A$が与えらえたとき， $A$を通り$a$と交わらに直線は１本しかないことを示す．
$A$から$a$に下した垂線の足を$B$とし，$A$を通り直線$AB$と 垂直な線を$b$とする．
このとき，原論命題27より，２直線$a,b$は交わらない．
次に点$A$を通り$b$と異なる任意の直線を$PQ$とする．
このとき
$\angle QAB,\angle PAB$
のいずれかは$\frac{\pi}{2}$より小さい．
ここでは
$\angle QAB < \dfrac{\pi}{2}$
とする．
直線$a$上に$B$と異なる点$C$を$AB$に関して$Q$と同じ側にとる．
さらに，直線$a$上の点$C_1,C_2,\dots$を
$AC=CC_1,AC_1=C_1C_2,\dots ,AC_{n-1}=C_{n-1}C_n,\dots$
を満たし，かつ$\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{C_{n-1}C_n}$ が同じ向きになるようにとる．
ここで $\angle ABC=\frac{\pi}{2}$および三角形の内角の和が$\pi$より
$\angle ACB=\theta$とおくと$\angle BAC=\frac{\pi}{2}-\theta$
さらに
$\angle CAC_1=\dfrac{\theta}{2},\angle C_1AC_2=\dfrac{\theta}{2^2},\dots, C_{n-1}AC_n=\dfrac{\theta}{2^n}$
ここで
$\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{\theta}{2^2}+\dots +\dfrac{\theta}{2^n}\to \theta \ \ (n\to \infty)$
である．
$\angle BAC=\dfrac{\pi}{2}-\theta$
であるから
$\angle BAC_n \to \dfrac{\pi}{2} \ \ (n\to \infty)$
一方
$\angle BAQ < \dfrac{\pi}{2}$
であるから,ある自然数$n_0$が存在し，$AQ$は$\angle C_{n_0-1}AC{n_0}$に含まれる．
したがって，直線$PQ$は線分$C_{n_0-1}C_{n_0}$と交わる， すなわち直線$a$と交わる．
以上で証明が終了した．


次に円を考える．
非ユークリッド幾何のポアンカレモデルでも，円は円である．
ポアンカレモデルで， 任意の点を中心として，任意の半径の円を描くことができるが， 一直線上に ない３点を通る円が存在するとは限らない．
実際右図で，$\triangle ABC$の外接円を実際に描こうとすると，実軸の外側にはみ出し，ポアンカレモデルの中では描けない．
また，各辺の垂直２等分線は交わらない．

定理4(ボヤイ・ファルカシュ)
垂線と斜線の公理$\Leftrightarrow $三角形の二辺の垂直二等分線は 交わる
証明
垂線と斜線の公理を満たすことはユークリッド幾何のことであるから $(\Rightarrow )$は明らか．
$(\Leftarrow )$だけを示せばよい．
直線$AB$の$A$における垂線を$AC$,$B$における斜線を$BD$とする． ここで$\angle ABD < \frac{\pi}{2}$とする．もし$\frac{\pi}{2}$より 大きければ直線$AB$に関して反対側で考えればよい．
点$A$に関して点$B$と対称な点を$E$, 直線$BD$に関して点$E$と対称な点を点$F$とする．
$\triangle BFE$で$AC$は辺$EB$の垂直２等分線，$BD$は辺$EF$ の垂直二等分線であるから，仮定より$AC,BD$は必ず交わる．
以上で証明が終了した．

定理３は次のように書き直すこともできる．証明も一部を書き直すだけである．
定理4'
垂線と斜線の公理$\Leftrightarrow $１直線上にない３点は同一円周上にある

証明
$(\Leftarrow )$
直線$AB$の$A$における垂線を$AC$,$B$における斜線を$BD$とする． 点$A$に関して点$B$と対称な点を$E$, 直線$BD$に関して点$E$と対称な点を点$F$とする．
３点$B,F,E$は直線上にないから３点を通る円が存在して，その円の 中心を$O$とする．$O$は$EB$の垂直２等分線すなわち直線$AC$上にあり，かつ$EF$の垂直２等分線上すなわち $BD$上にある．
したがって，$AC$と$BD$は１点$O$で交わる．
以上で証明が終了した．

この定理より，外心や三角形の外接円はユークリッド幾何特有の対象で， 非ユークリッド幾何や絶対幾何においての対象ではないことが分かる．

次に垂心に関してみてみよう．

右図はポアンカレモデルで，$\triangle ABC$で３頂点から対辺に垂線$AA_1,BB_1,CC_1$ を下した図です．
３直線$AA_1,BB_1,CC_1$は互いに交わらないことが分かります．

定理5
垂線と斜線の公理$\Leftrightarrow $三角形の頂点から対辺に下し た垂線は交わる．
証明
垂線と斜線の公理を満たすことはユークリッド幾何のことであるから $(\Rightarrow )$は明らか．
$(\Leftarrow )$だけを示せばよい．
直線$AB$の$A$における垂線を$AC$,$B$における斜線を$BD$とする． ここで$\angle ABD < \frac{\pi}{2}$とする．もし$\frac{\pi}{2}$より 大きければ直線$AB$に関して反対側で考えればよい．
直線$BA$の$A$への延長上に点$E$をとり， $E$から$BD$に下した垂線の足を$F$とする．このとき$D,F$は$B$ に関して同じ側にある($\because$三角形の内角の和は$\pi$以下)．
$\triangle FEB$で考える．直線$AC$は辺$EF$または辺$FB$と交わる．
$AC$と辺$BF$が交わるとき，これは$AC,BD$が交わることを示している．
$AC$と辺$EF$が交わるとき，交点を$G$とすると，$AC,BD$はそれぞれ$\triangle GEB$ の頂点から対辺に下した垂線である．したがって，仮定より$AC,BD$ が交わることが示された．
以上で証明が終了した．

定理４より，三角形の垂心もユークリッド幾何特有の対象で， 非ユークリッド幾何や絶対幾何の 対象ではないことが分かる.

以上の例から，ユークリッド幾何で成り立つのに ポアンカレモデルで成り立たない性質は概ねユークリッド第５公準と同値 であることが分かる．
次に内心を考えよう
ポアンカレモデルは，ユークリッド幾何内に作られたモデルである．
三角形の内接円は三円に接する円の問題で，これはアポロニウスの問題である．
３円に接する円の存在は証明されているので，ポアンカレモデルにおいて，三角形の内接円は存在する．
ユークリッド幾何，非ユークリッド幾何共に存在するので，内心，内接円は 絶対幾何の対象であることがわかる．

最後に，三角形の重心を考えよう．
絶対幾何として，三角形の３中線が一点で交わることの証明が筆者にはできなかったが，多分成り立つであろう． 証明しようとすると，平行線の性質，錯角，同位角の性質がよく表れることが分かる．文献を探せば証明が見つかると思う．
というのは，ポアンカレモデルで三角形を作り作図すると３中線が一点で交わることがわかる．
右図は$\triangle ABC$で辺$BC,CA,AB$の中点がそれぞれ$D,E,F$である．
３直線$AD,BE,CF$が一点で交わる．この図はCabri geometry で作成したもので，頂点$A,B,C$を 自由に動かすことができる．

さて，以上第1公準から第4公準のもと第5公準と同値な命題を扱ってきたが，当然 第1公準から第4公準を仮定のもと第５公準の否定を仮定すると同値な命題の否定が導き出され，これこそが二千年来の 難問の解決と勘違いすることは当然あり得ることで笑える話ではない． さらに証明が当たり前のことを行っただけで矛盾を示したことにはならないを理解することは 双曲幾何モデルがない 時代には大変なことである．