ここでは，双曲運動をユークリッド幾何の合同変換と同様の方法で扱う．

合同変換はユークリッド幾何の言葉であるが，双曲平面でも同じ言葉を用いる．
定義
双曲平面の変換$(D\to D)$のうち，2点間の距離を変えない変換を合同変換という．

現時点では，合同変換は双曲運動とは限りません．
これからの議論のもとになることは次の命題です．
命題
合同変換は1直線上にない3点の像で決まる．
証明
$A,B,C$を双曲平面上の同一直線上にない３点とし，合同変換$f$による$A,B,C$ の像をそれぞれ$A',B',C'$とする．
このとき，双曲平面上の任意の点$P$の$f$による像$f(P)$がただ１点決まることを示せばよい．
$\bullet \ \ P$が直線$AB$上にないとき．
$A'$を中心とする半径$AP$の円と$B'$を中心とする半径$BP$の円の交点を$P',P''$とする （双曲平面でも円は定義できる．原論命題７を参照）．
$P$が直線$AB$に関して$C$と同じ側（反対側）にあるとき，直線$A'B'$に関して$C'$と同じ側（反対側） にある方の点を選べばよい．
$\bullet \ \ P$が直線$AB$上の点のとき．
$A'$を中心とする半径$AP$の円と$B'$を中心とする半径$BP$の円は接するのでその接点が$f(P)$である(例えば，$P$が $AB$の$B$への延長上にあれば，$f(P)$は$A'B'$の$B'$への延長上にありかつ$d(A,P)=d(A',P')$を満たす点$P'$)．

参考
同様に合同変換で直線の像が直線であることが分かる．
実際，直線$l$上に2点$A,B$を取り，
$f(A)=A',f(B)=B'$
とする．
$P$が線分$AB$の内分点の時
$f(P)=P'$とすると
$AP+PB=AB$
より
$A'P'+P'B'=A'B'$
したがって，$P'$は$A'B'$の内分点．すなわち$P'$は直線$A'B'$上である．
$P$が$AB$の外分点でも成り立つ．

この議論は，そのまま2点間の最短距離を定める曲線(測地戦)で成り立つ．
曲面間に合同変換(距離を保つ変換)が存在するなら合同と考える幾何(リーマン幾何)では， 測地戦は研究対象の一つである．

このように，双曲平面上の合同変換は１直線上にない３点の像で決まることがわかった． すなわち，平面上の双曲三角形$\triangle ABC$と 合同な双曲三角形$\triangle A'B'C'$を平面上のどこに置くかで合同変換
$f:\triangle ABC \longmapsto \triangle A'B'C'$
が決まる．

定義
双曲平面上の双曲三角形$\triangle ABC$と双曲三角形$\triangle A'B'C'$について， $A\to B\to C\to A$と回った向き（時計回りか反時計回り）と$A'\to B' \to C'\to A'$と回った 向きが同じとき$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$は同じ向きであるといい， 反対向きのとき$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$は 反対向きであるという．

定義
合同変換$f$で双曲三角形$\triangle ABC$の像が双曲三角形$\triangle A'B'C'$のとき．
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$が同じ向きのとき$f$は正の双曲合同変換といい，
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$が反対向きのとき$f$は負の双曲合同変換という．

上で述べた命題はその証明から分かるように，次の形に書き換えることができる

命題
双曲平面上の２つの線分$AB,A'B'$があり$d(A,B)=d(A'B')$のとき．
$A \mapsto A',B \mapsto B'$
である双曲合同変換は２つ存在して，片方は正の双曲合同変換でもう一方は負の双曲合同変換である．

以下，双曲平面の正の双曲合同変換を中心に扱う．
ユークリッド幾何では，正の合同変換は，
2つの直線に関する対称移動の合成で表せる
を利用するが，ここでも同じことを行う．
定義
双曲平面で2点$A,B$が直線$XY$に関して双曲対称とは
2直線$AB,XY$のなす双曲角が$\frac{\pi}{2}$でかつ$AB,XY$の交点を$C$とすると
$d(A,C)=d(B,C)$
を満たすことである．

定義
双曲平面で直線$XY$が与えられている．双曲平面上の任意の点$P$に対して， $XY$に関して$P$と双曲対称である点$P'$を対応させる変換
$P\mapsto P'$
を双曲対称変換という．直線$XY$をこの双曲対称変換の対象軸という．
直線$l$が対象軸である双曲対称変換を$S(l)$で表し．対称軸$l$が必要でないとき$S$と表す．

直線$XY$に関する双曲対称変換$S(XY)$の像は，上図のように作図することもできるが ($XY$の極，$AB$の極を利用)， $XY$を双曲運動で直径にうつすと考えやすい．
すなわち，$XY$を直径にうつす双曲運動を$f$,うつした先の直径に 関するユークリッド幾何の意味での対称変換を$g$とすると
$f^{-1}\circ g \circ f　\cdots (*)$
が直線$XY$に関する双曲対称変換である(双曲垂直，双曲距離は保たれる)．
ここで，直径に関するユークリッド幾何の意味での対称変換は双曲運動であるから，双曲対称変換$(*)$は 双曲運動であることが分かる．
命題
双曲対称変換は双曲運動である．

すでに，双曲平面上に2線分$AB,A'B'$ただし$d(A,B)=d(A',B')$，を与えたとき$A\mapsto A',B\mapsto B'$である 双曲平面の正の双曲合同変換はただ一つに限ると述べたが，その変換は2つの双曲対称変換の合成で表 せること示す．
任意の2つの線分$AB,A'B'$ただし$d(A,B)=d(A',B')$が与えらえたとき
$A\mapsto A',B\mapsto B'$
である双曲合同変換は
$A,A'$の双曲垂直二等分線を対象軸とする双曲対称変換を$S$とし
$S$による$B$の像を$B''$としたとき$d(A',B')=d(A',B'')$であるから $B',B''$の双曲垂直二等分線は$A'$を通り，$B',B''$の双曲垂直二等分線を 対象軸とする双曲対称変換を$T$とすれば $T\circ S$が求めるものである．
したがって，次のことが分かった．
命題
正の合同変換は2つの双曲対称変換の合成で表せる．

双曲対称変換は双曲運動であるから次のことが分かる．
命題
正の合同変換は双曲運動である．

ここまでは，ユークリッド平面の議論をそのまま双曲平面に持ってきたもので大きな問題はない．
これから，双曲平面の正の合同変換を調べていこう．
正の合同変換は，2つの双曲対称変換の合成である．したがって，2本の対称軸の関係が問題になる．
ユークリッド平面では，2直線の関係は交わると平行しかない．交わるときが回転変換で平行の時が平行変換である．
双曲平面では，2直線の関係は交わる，平行，超平行の3種類であるので， 正の合同変換は3種類あることが分かる．
定義
双曲平面において
$(1)$ 2本の対称軸が交わるときの双曲対称変換の合成である正の合同変換を双曲回転運動という．
$(2)$ 2本の対称軸が平行であるときの双曲対称変換の合成である正の合同変換を双曲平行運動という．
$(3)$ 2本の対称軸が超平行であるときの双曲対称変換の合成である正の合同変換を双曲等距離運動という．

ユークリッド幾何における円と同じように，双曲平面で円を扱う．
ユークリッド平面では，点$A$を中心とする円は，$A$と異なる点$P$を与え，$A$の回りの回転変換による点$P$ の軌跡と考えることができ，これが$A$を中心とする半径$AP$の円である．これは，$A$を動かさないすべての正の合同変換の点$P$ の像の集合である．
直線は，点$P$とある直線を与え，ある直線と垂直な方向の平行変換の軌跡である．これは， ある直線と垂直な方向のすべての平行変換による点$P$の像の集合である．
この考えに従って，双曲平面における円を考える．
すでに示した，三角形の外心についての次の性質が用いられる(§7)．
命題A
双曲平面における双曲三角形の各辺の双曲垂直二等分線は， 双曲平面内，境界円，境界円の外部のいずれかで1点で交わる．

なお，境界円や境界円の外部で交わることを交わるということは不適切かもしれないが， ここでは用いることにする．
点$A$が双曲平面内，境界円上，境界円外のいずれの場合においても，点$A$を通る直線全体を$A$を中心と する直線束といい$\Sigma (A)$と表す，

$A$が$D$の内部のとき
点$A$で交わる2直線$l_1,l_2$を対称軸とする双曲対称変換を それぞれ$f_1,f_2$とする．
点$A$と異なる点$P$を定め
$f_2\circ f_1$による$P$の像を$Q$とする．
このとき，命題Aより
$A$を通る直線$l_3$で$l_3$を対称軸とする対称変換で
$P\mapsto Q$
となるものが存在する．
これは次のよう表すことが出来る．
直線$l_i$を対称軸とする双曲対称変換を$f_i$と表すと
任意の$l_1,l_2 \in \Sigma (A)$に対して，
$f_2\circ f_1 (P)=Q$
とすると，$f_3(P)=Q$となる$l_3\in \Sigma (A)$が存在する．
逆に
$f_3\in \Sigma (A)$で
$f(P)=Q$
のとき，$l_1$を$L_3$と同じ直線，$A,Q$を結ぶ直線を$l_2$とすれば
$f_2\circ f_1(P)=Q$
となる．
ここで，任意の2直線$l_i,l_j\in \Sigma (A)$に対して
$f_j\circ f_i (P)$
全体の集合を考える．これが双曲平面における$A$を中心とする半径$AP$の双曲円である．
$f_j\circ f_i(P)=f_k(P)$
となる$l_k\in \Sigma (A)$が存在するから， $A$を中心とする半径$AP$の双曲円は$l_k$が$\Sigma (A)$全体を動くときの$f_k(P)$の軌跡である．
なお，$l_1,l_2\in \Sigma (A)$のとき双曲運動$f_2\circ f_1$を$A$を中心とする双曲回転運動という．

ここで述べた議論の土台となる性質は命題Aで，点$A$が双曲平面$D$内，境界円上， 境界円の外部いずれの場合も命題Aが成り立つ.

$A$が境界円上のとき
点$P$を$D$内の任意の点とする．$l_k$が$\Sigma (A)$全体を動くときの$f_k(P)$の軌跡を極限円(horocycle)という．

$A$が境界円の外部のとき
点$P$を双曲平面$D$の任意の点とする．$l_k$が$\Sigma (A)$全体を動くとき の$f_k(P)$の軌跡を等距離曲線(equidistant curve)といい，点$A$の極線をこの等距離曲線の軸という．

等距離曲線とその軸$MN$の関係を調べる． $l_i,l_j\in \Sigma (A)$に対し，$l_i,l_j$を対称軸とする双曲対称変換を$f_i,f_j$とし
$f_j\circ f_i(Q)=R$
とする．
このとき$Q,R$の双曲垂直二等分線は点$A$を通る(命題A).
$QR$の双曲中点を$T$,$QR$の双曲垂直二等分線と$MN$の交点を$T'$とする．
このとき
$d(T,Q)=d(T,R),\delta T'TQ=\delta T'TR$
より
$\triangle T'QT\equiv \triangle T'RT$(2辺とその間の角)
したがって
$d(T',Q)=d(T',R),\delta QT'T=\delta RT'T$
したがって
$\delta QT'Q'=\delta RT'R'$(∵$TT'$は$A$を通るから$TT'$と$MN$は双曲直交する)
より
$\triangle T'QQ'\equiv \triangle T'RR'$(斜辺と1鋭角)
したがって
$d(Q,Q')=d(R,R')$
が成り立つ．
すなわち，等距離曲線は軸$MN$までの距離が一定である点の軌跡ということもできる．

§9.平行角と正弦定理，余弦定理


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