クラインが双曲平面を考えたのは，公準5が他の公準と独立であることを示すためと述べたが，双曲平面は，ユークリッド平面と 並列して考えるべきものある．ここでは，双曲平面上で幾何学を行うことで， どのようなことが成り立ち，どのよなことが成り立たないかを見ていく．

双曲平面は，公準１から公準4までを満たし，公準5の否定がなりたつ．一方ユークリッド原論を読むと気が付くが， ユークリッド自身も，公準５は気になったのであろう，使えば楽になるのに(例えば三角形の内角の和が$\pi$)できるだけ公準５は使わないで証明していることが分かる．
実際，命題29で初めて公準5を用いている．
すなわち，命題1から命題28までは公準1より公準4より証明できるから双曲平面でも成り立つ命題である．
この辺は球面幾何とは異なる点である．球面上では公準1,公準２，公準3のいずれも成り立たない． したがって，球面上で幾何学をやろうとすると，球面は形がはっきりしていているが思ったより扱いづらい．
ユークリッド原論の第１命題から第28命題までは，そのまま双曲平面でも成り立つ．
ここでは，三角形の合同条件のみをのべる．これは， ユークリッド幾何においても議論を作り上げる土台となる命題である．
原論命題4
2つの三角形で2辺とその間の角がそれぞれ等しいなら合同である．
すなわち
双曲三角形$\triangle ABC$と双曲三角形$\triangle A'B'C'$において
$d(A,B)=d(A',B'),d(A,C)=d(A',C'),\delta A=\delta A' $
$\Rightarrow \triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$

原論命題8
2つの三角形で3辺がそれぞれ等しいなら合同である．
すなわち
双曲三角形$\triangle ABC$と双曲三角形$\triangle A'B'C'$において
$d(A,B)=d(A',B'),d(A,C)=d(A',C'),d(B,C)=d(B',C') $
$\Rightarrow \triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$

原論命題26
2つの三角形で対応する1辺が等しく，対応する2角がそれぞれ等しいなら合同である．
すなわち
双曲三角形$\triangle ABC$と双曲三角形$\triangle A'B'C'$において
$d(A,B)=d(A',B'),\delta A=\delta A',\delta B=\delta B' \Rightarrow \triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$
および
$\triangle ABC$と$\triangle A'B'C'$において
$d(A,B)=d(A',B'),\delta A=\delta A',\delta C=\delta C' \Rightarrow \triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$

これらの証明は，三角形の内角の和が$\pi$は用いることが出来ないから 中学で学ぶときほど簡単ではない．背理法を用いて証明している．

中学で学ぶ幾何では，ここで述べた３条件以外に直角三角形の合同条件も用いる． 双曲平面ではこれも使える．
命題A
2つの双曲直角三角形で斜辺と1鋭角がそれぞれ等しければ合同である．すなわち
双曲三角形$\triangle ABC$と双曲三角形$\triangle A'B'C'$で
$\delta C =\delta C'=\frac{\pi}{2},$
$d(A,B)=d(A',B'),\delta A =\delta A'$
$\Rightarrow \triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$
が成り立つ．
証明
双曲運動で$\triangle ABC,\triangle A'B'C'$それぞれの頂点$A,A'$を境界円の中心$O$にうつす．
辺$AC,A'C'$は直径の一部であるから，角$C,C'$は共にユークリッド幾何の意味で直角である．
さらに，$d(A,B)=d(A',B')$および$A,A'$が境界円の中心であるから, ユークリッド幾何の意味で
$AB=A'B'$
したがって，ユークリッド幾何の意味で
$\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$
一般に，ユークリッド幾何の意味で合同な図形は双曲幾何の意味では合同ではないが，
この場合は，頂点$A,A'$は境界円の中心であるから，2つ三角形は$O$の周りの回転移動または $O$を通る直線による対称移動でうつせるから，双曲幾何の意味で
$\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$
である．

命題B
2つの双曲直角三角形で斜辺と他の一辺がそれぞれ等しければ合同である．すなわち
双曲三角形$\triangle ABC$と双曲三角形$\triangle A'B'C'$で
$\delta C =\delta C'=\frac{\pi}{2},$
$d(A,B)=d(A',B'),$
$d(A,C)=d(A',C')$
$\Rightarrow $
$\triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$
が成り立つ．
証明
$d(A,C)=d(A',C')$であるから，双曲運動で$AC$と$A'C'$を$B,B'$が直線$AC$に関して反対になるよに重ねる．
このとき，
$\delta C +\delta C'=\pi$
であり，$\pi$はユークリッド幾何でも双曲幾何でも変わらない．すなわち$B,C(C'),B'$は一直線上にある．
$\triangle ABB'$は$AB=A'B'$であるから，原論命題５より
$\delta B=\delta B'$
命題Aより
$ABC\equiv \triangle A'B'C'$
が成り立つ．

つぎは，双曲平面だけで成り立つ特有の命題である．
命題C
2つの双曲三角形で3角がそれぞれ等しければ合同である．すなわち
双曲三角形$\triangle ABC$と双曲三角形$\triangle A'B'C'$で
$\delta A =\delta A',\delta B =\delta B',\delta C =\delta C'$
$\Rightarrow \triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$
が成り立つ．

証明の前に，角の頂点を双曲運動で円の中心に移動した方法を振り返る.
右図で
$\delta CAB=\delta EDA =\delta GFA$
である．
すなわち，同じ双曲角でも$\delta EDA$と$\delta GFA$を見ればわかるように，角の頂点が$B$(境界円) に近づけば近づくほど見かけの角(ユークリッド角)は大きくなる．すなわち
$\angle EDA < \angle GFA$
が成り立つ．
証明
$\triangle ABC$で最大双曲角を$A$とする．このとき，三角形の双曲内角の和は$\pi$より小さいから， $\delta B,\delta C$は共に$\frac{\pi}{2}$より小さい．
$\triangle ABC$で$A$から$BC$に下ろした双曲垂線の足を$H$とすると$H$は辺$BC$上にある．
なぜなら，もし$BC$の$C$への延長上にあるとすると$\triangle ACH$で$\delta ACH < \frac{\pi}{2}$となり， $\triangle ABC$の内角$\delta C$が$\frac{\pi}{2}$より大きくなるからである．
$\triangle A'B'C'$で$A'$から$B'C'$に下ろした双曲垂線の足を$H'$とする．
以下，$\angle A$はユークリッド角(見かけの角)，$\delta A$は双曲角である．
$H,H'$を境界円の中心にかつ$BC$と$B'C'$が重なるように双曲運動で移動する(右図)．
もし$d(B,H)=d(B',H')$ならば
$\triangle ABH\equiv \triangle A'B'H'$より(1辺と両端の角)
$d(A,B)=d(A',B')$
より$\triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$(1辺と両端の角)
したがって，$d(B,H)\neq d(B',H')$を仮定すると矛盾することを示せばい．
ここでは$d(B,H) > d(B',H')$として矛盾を導き出す．
$\delta B=\delta B',d(B,H) > d(B',H')$より
$\angle B > \angle B'$
ユークリッド平面では三角形の内角の和が$\pi$より
$\angle BAH < \angle B'A'H',AH > A'H'　\cdots (1)$
したがって
$\delta BAH < \delta B'A'H',d(A,H) > d(A',H') \cdots (2)$
次に$\triangle ACH,\triangle A'C'H'$に注目する．
$d(H',C') > d(H,C)$とすると上と同様の議論より$d(H',A') > d(H,A)$となり$(1)$に矛盾するから
$d(H,C) > d(H',C')$
このとき，やはり同様の議論より
$\delta CAH < \delta C'A'H' \cdots (3)$
$(2),(3)$より
$\delta BAC < \delta B'A'C'$
となり矛盾する．
したがって，$\triangle ABC\equiv \triangle A'B'C'$が示された．

この命題は背理法を用いる面倒な証明である．しかし，心配ご無用．あとで三角形の余弦定理を学ぶがその時すっきりと理解できる（§9）．
以上の6つの命題が，ユークリッド幾何と同じように，双曲幾何でも議論を進める土台となる．
すでに，双曲幾何で扱う内容はそのままユークリッド幾何の内容であるとのべましたが， いくつかの双曲幾何で成り立つ命題をユークリッド幾何の言葉で書き直して眺めてみます．

まず，次の命題を扱う．
原論命題14
対頂角は等しい．
もちろん双曲幾何でも成り立つ．
双曲命題1
2直線$AB,CD$が点$E$で交われば
$\delta AEC=\delta BED$
が成り立つ．

証明は原論に従ってもよいし($\delta AEC=\pi -\delta BEC=\delta BED$)
交点を$O$を円盤の中心に双曲運動でうつしてもよい(円盤の中心では双曲角とユークリッド角が等しい)．
ユークリッド幾何では対頂角の二等分線が一致すること，すなわち対頂角$\angle AOC,\angle BOD$で $\angle AOC$の二等分線と$\angle BOD$の二等分線は一致する ことは当たり前として扱っている（3点$P,Q,O$が共線）
$(\because \angle POQ=\angle POA+\angle AOQ$
$=\angle AOQ +\angle BOQ=\angle AOB=\pi)$
また，対頂角の2つの二等分線は互いに直交する．
これらは当然双曲平面でも成り立つ(∵　公準5を用いていない)．
双曲命題2
点$O$で交わる直線$AB,CD$について
双曲角$AOC$の双曲二等分線を$EO$，双曲角$BOD$の双曲二等分線を$FO$とすると, 2直線$EO,FO$は同一の直線である．
これをユークリッド幾何の言葉で書き直すと次のようになる．
ユークリッド命題
四角形$PSQR$は円に外接し，接点は$A,D,B,C$である．このとき，4直線$AB,CD,PQ,RS$は1点で交わる．
これは，なかなかの難問として知られています．証明は例えば ニュートンの定理または幾何学大辞典124ページ を参照．

双曲命題3
点$O$で交わる直線$AB,CD$について
角$AOC$の双曲二等分線を$EF$，角$BOC$の双曲二等分線を$GH$とすると, 2直線$EF,GH$は双曲直交する．

ユークリッド幾何の言葉で書き直すと
ユークリッド命題
四角形$PSQR$は円に外接する．$RS$と円との交点を$G,H$とすると， $G$における接線，$H$における接線，$PQ$は1点で交わる．

前のセクションで述べたプリアンションの定理もそうだが，このように 双曲平面で自明な定理をユークリッド平面で表すと， なかなか気が付かない面白い定理になることが少なくない．

次に平行四辺形を考える」．
原論で平行四辺形は原論命題33より始まる．したがって，第５公準を仮定しているので原論そのままでは 用いることが出来ない．
まず，ユークリッド幾何における平行四辺形を見てみよう．
ユークリッド幾何の平行四辺形の定義
四角形$ABCD$が平行四辺形とは $AB\parallel DC,AD\parallel BC$ を満たす四角形である．
が一般的です．双曲平面では，この定義は用いません．次のようになります．
定義
双曲平面上の四角形で対角線が互いに他を2等分するときこの四角形を双曲平行四辺形という．
双曲命題4
双曲平行四辺形では次が成り立つ．
(1) 対辺が等しい．
(2) 対角が等しい
(3) 対辺は超平行である．

(1),(2)の証明は，三角形の合同を用いて，ユークリッド幾何の証明と同じである．
(3)を示す．
双曲平行四辺形$ABCD$の対角線の交点を$O$とし，双曲運動で$O$を円盤$D$の中心にうつす．
うつした図形で考えると，
$d(O,A)=d(O,C)$はユークリッド距離も等しいので$OA=OC.$（線分の端点が円の中心）
同様に$OB=OD.$
したがって，四角形$ABCD$はユークリッド幾何の意味の平行四辺形である．
したがって，対辺はユークリッド幾何の意味で平行(円盤内や境界円上では交わらない)．
したがって，対辺は超平行である．

双曲平行四辺形の定義を対辺が平行(右図)とすると，双曲命題4(3)の対偶より， 対角線が互いに他を二等分するが成り立たず，使い勝手が悪い．

双曲命題5
(1)双曲平行四辺形で対角線が双曲直交するとき，各辺の双曲長は等しい． この四角形を双曲ひし形と呼ぶ．
(2)双曲平行四辺形で対角線の双曲長が等しい時，各内角の双曲角度は等しい． この四角形を双曲長方形と呼ぶ．
(3)双曲平行四辺形で対角線が双曲直交しかつ双曲長が等しいとき各辺の双曲長は等しく各内角の 双曲角も等しい．この四角形を双曲正方形と呼ぶ．
この命題5の証明はユークリッド幾何と同様である．

§7..双曲平面固有の性質

射影幾何の目次


全体の目次