ここでは，円盤$D$における角の大きさの定義をします．
合同な角は同じ大きさでなければいけないことに注意しましょう．
すなわち，2つの半直線による角$\angle PAB$ともう一つの角$\angle P'A'Q'$に対して
$\angle PAB \mapsto \angle P'A'B'$
を満たす双曲運動が存在するなら$\angle PAQ$の大きさと$\angle P'A'Q'$の大きさが等しいように定義しなければいけません．

まず，角の頂点が円盤$D$の中心$O$の時を考える．
$\angle POQ$と$\angle P'OQ'$がユークリッド幾何の意味で等しい時，円盤$D$の中心の周りの回転変換は，$D$ の双曲運動の一つであるから，
$\angle POQ \mapsto \angle P'OQ'$
となる双曲運動が存在するので，頂点が円盤$D$の中心の角$\angle POQ$の双曲幾何での角の大きさはユークリッド幾何の通常の角の大きさと 同じとしてよさそうである．
しかし，こう主張するには，まだ不十分で，この定義が妥当である(well defined)であることを示す必要がありあります．要するに逆を示すことですが，
頂点が円盤$D$の中心$O$である，2つの角$\angle POQ,\angle P'OQ'$に対して，
$\angle POQ \mapsto \angle P'OQ'$
となる双曲運動が存在するなら，ユークリッド幾何の意味で
$\angle POQ = \angle P'OQ'$
が成り立つことを示す必要があります．
それを示しましょう．
射影変換の定義は
直線の像は直線
1直線上にある4点複比をの保つ
ですが，
$f:\pi \to \pi $
が射影変換のとき
2直線$l,m$の交点$P$の像$f(P)$は2直線$f(l),f(m)$の交点である．
直線$l$と曲線$C$が点$P$で接するとき，直線$f(l)$と曲線$f(C)$は点$f(P)$で接する
等の性質を用いて議論を進めます．
$\angle POQ \mapsto \angle P'OQ'$
を満たす双曲運動$f$が存在すると仮定する．
$P,Q$における接線の交点$R$の$f$による像は$P',Q'$における円$C$の接線の交点$R'$.
したがって，直線$OR$の$f$による像は$OR'$.
$OR,PQ$の交点$S$の$f$による像は$OR',P'Q'$の交点$S'$
$\therefore f:O\mapsto O,S\mapsto S'$
したがって
$d(O,S)=d(O,S')$
線分の端点がともに円の中心であるから ユークリッド幾何の意味で
$OS=OS'$
$OR,OR'$はそれぞれ$\angle POQ,\angle P'OQ'$のユークリッド幾何の意味での二等分線より
$\angle OSP=\angle OS'P'=\frac{\pi}{2}$，
したがって，ユークリッド幾何の意味で
$\triangle OSP\equiv \triangle OS'P'$
ユークリッド幾何の意味で
$\angle POS=\angle P'OS'$
が成り立つから，ユークリッド幾何の意味で
$\angle POQ=\angle P'OQ'$
が成り立つ．

これは，2つの角がともに頂点が円盤$D$の中心であるとき，ユークリッド幾何の意味で等しければ 双曲幾何の意味でも等しいということです．
したがって，双曲平面において，頂点が円盤$D$の中心$O$である$OP$と$OQ$のなす角は ユークリッド幾何における角$\angle POQ$で定めることが出来る．
双曲幾何における角の大きさを双曲角といい，２つの半直線$OP,OQ$のなす双曲角を
$\delta POQ$
と表すことにする．なお，以後$\angle POQ$は通常のユークリッド幾何の意味で用いる．
この記号を用いれば，
$\delta POQ=\angle POQ$
である．

角度を定義するとき，満たさなければならない性質,すなわち
2つの半直線$OP,OQ$の中にもう一つ半直線$OR$があるとき
$\delta POR +\delta ROQ=\delta POQ$
が成り立つことを確認しよう．
$\delta POR +\delta ROQ=\angle POR+\angle ROQ$
$\delta POQ=\angle POQ$
より $\delta POR+\delta ROQ=\delta POQ$
が成り立つ．

次に，円盤$D$内の任意の点$A$を頂点とする$\delta PAQ$を定義しよう．
円盤$D$の中心を$O$として
$A\mapsto O$
である双曲運動で
$\angle PAQ \mapsto P'OQ'$
のとき，2つの半直線$AP,AQ$のなす双曲角$\delta PAQ$は
$\delta PAQ=\angle P'OQ'$
で定義する．
この定義が妥当であることを確認しましょう．それは
$A\mapsto O$
である双曲運動の取り方によらにないことを示す必要があります．
すなわち,2つの双曲運動$f,g$が
$f:\angle PAQ \mapsto \angle P'OQ'$
$g:\angle PAQ \mapsto \angle P''OQ''$
のとき，
$\delta P'OQ'=\delta P''OQ''$
すなわち
$\angle P'OQ'=\angle P''OQ''$
を示す必要があります．
それは$g^{-1}\circ f$は双曲運動より
$g^{-1}\circ f:\angle P'OQ'\mapsto \angle P''OQ''$
であるから
$\angle P'OQ'=\angle P''OQ''$
が分かる．

角の加法性ついては
$f:AP\mapsto OP',AQ\mapsto OQ',AR\mapsto OR'$
のとき
$\delta PAR+\delta RAQ=\angle P'OR'+\angle R'OQ'$
$\delta PAQ=\angle P'OQ'$
よりなりつことが分かる．

双曲角の基本事項をまとめよう．
まず，角の二等分線を考える．
$AS$は半直線$AP,AQ$のなす双曲角を2等分する半直線とする．
すなわち
$\delta PAS=\delta QAS$
が成り立つとする．
$A$の像が$D$の中心$O$である双曲運動$f$で
$\angle PAQ \mapsto \angle P'OQ',AS\mapsto OS'$
とすると，
$\delta P'OS'=\delta Q'OS'$
$O$が$D$の中心であるから
$\angle P'OS'=\angle Q'OS'$
したがって，境界円$C$の$P',Q'$における接線の交点$R'$は直線$OS'$上にある．
円の接線は双曲運動で保たれるから，境界円$C$の$P,Q$における接線の交点$R$は直線$AS$上にある.
すなわち，$\angle PAQ$の双曲角としての二等分線は，境界円$C$の$P,Q$における接線の 交点$R$と$A$ を結ぶ直線(の$D$の内部)である．
極と極線の言葉を用いれば，$\angle PAB$の双曲角としての2等分線は，直線$PQ$ の極$R$と$A$を結ぶ直線である．

なす角が$\pi$の角を平角と呼ぶ．
双曲運動で直線の像は直線である，したがって，原点だけでなく平角はどこでも 双曲角とユークリッド角は等しい．すなわち，任意の点$A$で
$\angle PAQ=\pi$のとき
$\delta PAQ=\angle PAQ$
が成り立つ．
次に直角を考える．直角は平角を二等分した角である．したがって， 直線$PQ$に垂直な直線は，$PQ$の極$R$を通る直線である．
すなわち，$PQ$の極を$R$とすると，$S$を通り直線$PQ$に双曲垂直な直線は直線$RS$である．

極と極線の基本性質に
点$Q$が点$P$の極線上にあれば，点$P$は$Q$の極線上にある
がある．この性質より，
$PQ$と$P'Q'$が垂直なら$P'Q'$と$PQ$が垂直である
ことがわかる．

直線$PQ$が円盤$D$の直径のとき，$PQ$に垂直な直線を調べよう．
直径$PQ$の端点$P,Q$における接線は平行である．これは無限遠点で交わることを意味する．
$P,Q$における接線の交点を通る直線とは，$P,Q$における接線と平行な直線，言い方を変えれば$PQ$と ユークリッド幾何の意味で垂直な直線である．
したがって，$PQ$が直径の時，$PQ$に双曲幾何の意味で垂直な直線 とユークリッド幾何の意味で垂直な直線は同じ意味である．

例
2直線の双曲垂直を学んだところで，これは後で説明することであるが， ユークリッド幾何に慣れている人にとっては奇妙と思われる事実を説明する（慣れていないだけのことで奇妙ではない）．
右図は，直線$PQ,ST$および，$R$は$PQ$の極である．任意の点$A$に対して，$A$から 直線$PQ$に垂線を引くことが出来る．
しかし，点$R$を通る直線$ST$と交わる直線は$\angle SRT$に含まれる．
すなわち，$PQ$に垂直な直線は直線$ST$に交わるとは限らない．具体的に言うなら，図の点$U$において立てた垂線は$ST$ とは交わらない．
だから，たとえば
直線$PQ$の点$U$において$PQ$と垂直な直線を引き直線$ST$の交点を$V$とする
という議論はできないのです．
ユークリッド第5公準が他の公理と独立であるかどうかの証明の多くは，第5公準を否定し矛盾 を導き出す方法を用いたといわれる．
当然その論は間違いである.間違いであることが分かっていてそれを見つけるのではない．当時 その間違いを見つけるのは困難を極めたといわれるが， 納得できるであろう．

$O$を円盤$D$の中心とする．一般の双曲角$\delta PAQ$と双曲角が等しい$\delta SOT(=\angle SOT)$を求めよう．
線分$AO$上の双曲中点$M$すなわち
$d(A,M)=d(O,M)$
を満たす$M$を$O$にうつす双曲運動を$f$とする．
$A,O,P,Q$の$f$による像をそれぞれ$A',B',P',Q'$とし，$O$を通り$A'B'$に双曲垂直な直線$Y'Z'$に関して $\angle P'A'Q'$と対称な角を$\angle S'B'T'$とする．
円盤の中心を通る直線に関する対称変換は双曲運動であるから
$\delta P'A'Q'=\delta S'B'T'$
したがって，$f^{-1}$による$\angle S'B'T'$の像を求めればよい．
$A'B'$に双曲垂直で$A',B'$を通る直線をそれぞれ$U'V',W'X'$とする.
$f$の像の図（右側の図）で，$Y'Z'$に関して対称な図形であるから，
$U'W',S'P',A'B',T'Q',V'X'$は平行である．すなわち，無限遠点で交わる．ちなみにその点は直径$Y'Z'$ の極である．
右側の図を$f^{-1}$で戻した図が左側の図．
双曲運動で，一点で交わる直線の像は一点で交わるから，$UW,SP,AO,TQ,VX$は一点で交わる．その交点を 求めればよい．
$\angle PAQ$と$O$だけで定まるのは$U,W,V,X$である．
したがって，$UW,VX$の交点を$R$とし(この点は$YZ$の極であり，直線$AO$も通る)，$RP,RQ$と境界円$C$との交点をそれぞれ $S,T$とすれば$\angle SOT$が求めるものである．

$\angle PAQ$と双曲角が等しい$SOT$の求め方をまとめると次のようになる．
$1.AO$に双曲垂直で$A,O$を通る直線をそれぞれ$UV,WX$とする．ここで，$AO$は直径の一部であるから， ここでの直角はユークリッド幾何の意味での直角でもある．
$2.UW,VX$の交点を$R$とする．四角形$UWXV$は等脚台形より$UW,AO,VX$は一点で交わる．
$3.RP,RQ$と境界円$C$との交点をそれぞれ$S,T$とすれば$\angle SOT$が求めるものである($AO$の双曲垂直二等分線に関する線対称の図形を作った．線対称は後で扱う)．

$\delta PAQ=\delta SOT$
であるが，このときのユークリッド幾何の意味での$\angle PAQ,\angle SOT$の大小を調べよう（見かけの角の大小）．
$OS$と$UV$の交点を$B,WX$と$AP$の交点を$C$とすると，$R,B,C$は一直線上にある．($R',B',C'$の方が分かりやすい)
$\angle BAO=\frac{\pi}{2},\angle COA=\frac{\pi}{2}$および$CO > BA$より
$\angle SOT < \angle PAQ \cdots (\sharp)$
がわかる．
注意しなければならないことは，$(\sharp)$が常に成り立つ，言い方を変えれば， 円の中心以外を頂点とする双曲角は見かけのユークリッド角より小さいということは一般には言えない．それは 上の図でいえば，$\delta PAQ$の双曲補角を考えれば分かる．
例えば，右図で$\delta BED,\delta AED$は共に$\frac{\pi}{2}$である．
上記$(\sharp)$を正確に言えば，
$\angle PAQ$が円の中心$O$を含み，$\angle PAO,\angle QAO$がともに鋭角のとき，
$\angle SOT < \angle PAQ $
が成り立つ．
となる．

この性質により，次の命題が成り立つ．

双曲命題
双曲平面における双曲三角形の内角の和は$\pi$より小さい．

実際，双曲三角形$ABC$の双曲内心を円の中心に双曲運動でうつした図が右図である．
$O$は$\triangle ABC$の内部にあり，
$\angle OAB,\angle OAC,\angle OBA,\angle OBC,$
$\angle OCB, \angle OCA$
はいずれも鋭角である．
したがって，
$\delta A < \angle A,\delta B < \angle B,\delta C < \angle C$
$\delta A+\delta B+\delta C < \angle A+\angle B+\angle C=\pi$

双曲命題より任意の双曲三角形で
$\pi -\delta A -\delta B -\delta C > 0$
が成り立つことが分かりました．
双曲幾何では，この値が双曲三角形の面積と比例しています．
定義
$k$を正の数とする．
双曲三角形$ABC$の面積を$\mathrm{Area}(\triangle ABC)$と表し
$\mathrm{Area}(\triangle ABC)=k(\pi -\delta A-\delta B-\delta C)$
で定義する．

さて，面積を定義しましたが，勝手に定義してはいけません．距離や角の定義と同じように その定義が妥当でなければいけません．
面積の満たすべき性質は次の2つです．
$1. \ A \equiv B　\Rightarrow \mathrm{Area}(A)=\mathrm{Area}(B)$
$2. \ A$が内点に共通部分がない和集合
$A=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$
のとき
$\mathrm{Area}(A)=\mathrm{Area}(A_1)+\mathrm{Area}(A_2)+\cdots +\mathrm{Area}(A_2)$
が成り立つことです．
$1$は合同なら内角はそれぞれ等しいので成り立ちます．
$2$は双曲三角形$\triangle ABC$が内点$D$を用いて3つの双曲三角形$\triangle DAB,\triangle DBC,\triangle DCA$に分割される場合に 示します．
双曲角$a,b,\dots i$を右図のように定める．
$\mathrm{Area}(\triangle ABC)$
$=k\{\pi -(a+b+c+d+e+f)\}$
一方
$\mathrm{Area}(\triangle DAB)+\mathrm{Area}(\triangle DBC)$
$+\mathrm{Area}(\triangle DCA)$
$=k\{(\pi-a-b-g)+(\pi -c-d-h)$
$+(\pi -e-f-i)\}$
$=k\{\pi-(a+b+c+d+e+f)\}$
(∵　$\pi$や$2\pi$はユークリッド角と双曲角は等しいから $g+h+i=2\pi$)

最後に，角を原点にうつした方法と似た方法で線分の中点も求められるのでここで述べる．
右図は線分$AB$の双曲幾何の意味での中点を求める図である．
直線$AB$の極を$R$とし，$RA,RB$と境界円$C$との交点をそれぞれ$T,V$および$U,W$とする．
2直線線$VW,TU$の交点を$S$(直線$AB$も$S$を通る)，$S$の極線と$AB$の交点が線分$AB$ の中点である．
$(\because ) M$を双曲運動で原点に移す双曲運動により，$V,W,U,T$の頂点がユークリッド幾何の意味の 長方形になる．
このように図形的に考えなくとも，複比より
$[A,B;Q,P]=[A,X:Q,P]^2$
を代数的に解くだけである．


§5.非ユークリッド幾何

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