円盤$D$の双曲運動のもとで，距離と角度が定義されました． これは，クラインが提唱した幾何学に従って作ったものですが，ユークリッド原論の第5公準がほかの公準と独立であること を説明するためのものでもあります．その内容に入りましょう．

証明を重ねて理論を作り上げますが，一つの命題を証明したとき，ある性質Aを用いたとすると，証明の前に性質Aを証明する必要あります．性質Aを証明するのに，性質Bを用いるなら，さらにその前に 性質Bを証明する必要があります．このように無限にさかのぼることはできないので，一つの理論を作るときに必ずいくつかの内容を最初に定めなければなりません．
中学，高校で学ぶ幾何学のもとになるユークリッド原論を見てみましょう．
なお，ユークリッド原論の内容は
中村幸四郎(他)　　ユークリッド原論　　共立出版
による．
ユークリッド原論は23個の定義，9個の共通概念，5個の公準をあらかじめ仮定して理論がつくられています．
定義は，点，線，直線の定義から始まり，角，円，三角形，四角形，多角形，平行線の定義をしている．
ちなみに，平行線の定義は
定義23
平行線とは，同一平面上にあって，両方向に限りなく延長しても，いずれの方向においても互に交わらない直線である．
である．

共通概念は，議論を進めるうえで必要な概念である．
いくつか書くと
共通概念1
同じものに等しいものはまた互に等しい．
共通概念2
等しいものに等しいものが加えられれば，全体は等しい．
・・・
である．

ここまでは，議論を進めるうえで必要なことと納得できるでしょう．

つぎに公準です．これが，ユークリッド原論の土台となる内容です．
公準は次の通りです．
公準(要請)
次のことが要請されているとせよ．
公準１任意の点から他の点へ直線を引くこと
公準２有限直線を連続して一直線に延長すること
公準３任意の点と距離とをもって円をえがくこと
公準４すべての直角は互いに等しいこと
公準５1直線が2直線に交わり同じ側の内角の和を2直角より小さくするならば，この2直線を限りなく 延長されると2 直角より小さい角のある側で交わること

公準を見直すと
公準１，２は，2点を与えれば，その点を通る直線が引け，直 線はどこまでも伸ばすことが出来るということです．
公準３はコンパスでどんな半径でも円が描ける．
公準４は2つの直角は重ね合わせることが出来るとということです．
残されたのは公準５です．これは前の4つと比べると複雑です．
公準５を書き直すともう少し見やすくなります．
同じ側の内角の和が2直角より大きければ反対側が2直角より小さくなり，どちら側で交わるかは問題でないから次にようになる．
公準５(改)
１直線が2直線に交わり同側内角の和が2直角でなければこの2直線は交わる
同側内角の和が2直角と錯角が等しいは同値である．したがって，対偶をとり次の形になる．
公準５(改)
１直線が２直線に交わるとき，この2直線が平行なら錯角が等しい
になります．
公準5を直線に名前を付けて書き直すと

公準５
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
$m,n$が交わらない（平行）$\Longrightarrow m,n$と$l$のなす錯角が等しい
公準５が大分見やすくなりました．もう少し説明します．
それでは，公準5の逆の命題はどうなるのでしょうか．
それはユークリッド原論の第27命題です．この命題は公準5を用いない，すなわち公準1から 公準4だけを用いて証明されている点，そしてそのことが重要なことです．



原論命題27
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
錯角が等しい$\Longrightarrow m,n$が平行

証明
錯角が等しいのに$m,n$は点$P$で交わると仮定する．
右図で，$PB$の延長上に点$Q$を
$BQ=AP$
を満たすようにとる．2辺とその間の角が等しいから
$\triangle PAB \equiv \triangle QBA$
$\therefore \angle QAB=\angle PBA$
したがって，3点$Q,A,P$は一直線上にあり2直線$m,n$は2点で交わり矛盾．したがって証明された.

この証明の根拠となる合同条件は第４命題である．なお，ここの証明はユークリッド原論の証明とは異なる．

公準５とその逆である命題27の違いは分かるだろうか．
右上の図を用いて説明すると，
第27命題は錯角が等しいければ平行であるということです．これより， 直線$m$と$m$上にない点$B$が与えれたとき，$B$を通る平行な直線が存在することが分かります． 実際，$B$を通る直線$l$を引き，錯角が等しい直線$n$を引けばよい．
すなわち，命題27は点$B$を通る$m$に平行な直線は一本は引ける（存在）がそれ以上あるかどうか(一意性) は分からないという意味です．
これが第１公準から第４公準までで分かる内容です．
公準5(改)
直線$l$が2直線$m,n$に交わるとき次が成り立つ．
錯角が等しくない$\Longrightarrow m,n$が平行でない
より平行となるのは錯角が等しい場合に限り，他には平行線が存在しない(一意性が成り立つ)ということです．
したがって，公準５は次のよう書くことができます．次を通常平行線の公理といいます

平行線の公理
一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき，$A$を通って$m$に平行な直線は唯一つに限る．

文章としては
「一つの直線$m$とその直線上にない点$A$が与えられているとき，$A$を通って$m$に平行な 直線は存在して唯一つに限る．」
といいたいところですが，存在することはほかの公準より証明できるのでこのように書くわけです．

公準５は逆の命題が証明できるのだから証明できると思うのは自然なことです．まだ未解決というなら証明したくなります．
果たして公準５は他の公準より証明できるのか否か．
この問題を平行線公理の問題という． 結論は，証明できない，すなわち公準５は他の公準と独立です．
円盤$D$に双曲運動を定義した幾何学$(D,\Omega)$は平行線公理の問題の解決方法を容易 に理解するためにクラインが考えたものです．

他の公準から公準５が成り立つことを証明しようとして，うまくいかないとき背理法を 用いるのは自然なことです．
公準１か公準４を仮定し，公準５を否定したとき矛盾を出そうとするわけです．
実際には矛盾が起こりません．というより，矛盾と思ったのが，実際は矛盾でないのです．
これを最初に証明したのは，ガウス，ボリアイ，ロバチェフスキーです．
しかし，なかなか理解されず，ベルトラミ(Beltrami)の擬球，クライン，ポアンカレによる双曲幾何もモデル よって多くの人が理解できたといわれています．

ここで，公理に基づく理論の展開を考えてみましょう．
これは，実際の内在的な意味から離れて，定義式だけより形式的な操作だけで展開することです．
ユークリッド幾何でいうならば，直線の定義は
定義2線とは幅のない長さである．
定義4 直線とはその上にある点についての一様に横たわる線である．
および公準1,公準2 となっている．逆に言うならばこれを満たすものなら何でも直線と定めてもいいわけです．
実際，ポアンカレによる双曲平面は，境界に直交する円を直線としている．
また，直線を記号$A$として議論を進めても同じ体系が得られるわけです．
ユークリッド原論の内容を公理に基づく展開と考えるなら，点，直線，三角形，円等の図形を定め展開することは， モデルを作って理論を展開したことで，モデルによって，内容が容易に近づけるようになるわけです．
これから行うことは，ガウス，ボリアイ，ロバチェフスキーが目指した内容のモデルを用いての解説ですが， 公理的に扱った3人がそんじょそこらの天才ではないということがわかろうというものです．

それでは，このセクションの目的である，公準5が他の公準と矛盾しないことを，$(D,\Omega)$を用いて説明します．
まず，$(D,\Omega)$がユークリッド原論の5つの公準を満たすかどうかを調べます．
なお，公準は現代風に書き直しています．
公準1
任意の点から任意の点へ直線を1つ，そしてただ１つひくことができる．

これは2点$A,B$を与えれば，直線$AB$は$A,B$を通る直線で，公準1を満たしている．
公準2
与えられた線分はどちら側にも伸ばすことが出来る．
直線$AB$と境界円$C$との交点を$P,Q$とすれば
$B\to P$のとき$d(A,B)\to \infty$
$A\to Q$のとき$d(A,B)\to \infty$
であるから，これは与えられた線分はどちら側にもどこまでも伸ばすこ とが出来ることを表している．
公準3
任意の点を中心とする任意の半径の円を画くことが出来る．

これは，任意の点$A$と任意の正の数$r$に対して，$A$を通る直線上に
$d(A,X)=r$
を満たす点$X$の2点存在することで,直線$AB$と境界円$C$との交点を$P,Q$とすると点$X$は
$\log [A,X;P,Q]=r,\log [A,X;Q,P]=r$
であるから，2点存在する．
実際の円を作るなら，円盤$D$の中心$O$を中心とするユークリッド幾何の意味の円 がそのまま双曲幾何の円であるから,任意の点$A$を中心とする円は，
$A\mapsto O$
である双曲運動を$f$とすれば，$O$を中心とする円を$f^{-1}$でうつせば得られる．
公準4
すべての直角は互いに等しい．

点$A$における直角$\angle PAQ$と点$A'$における直角$\angle P'A'Q'$が与えらとき，
同じ向きなら
$f:AP\mapsto A'P'$
反対向きなら，一度原点を通る直線に関して対称移動してから
$f:AP\mapsto A'P'$
とうつせば
$\angle PAQ \equiv \angle P'A'Q'$
である．
$(D,\Omega)$は公準1から公準4までを満たすことが分かった．
次に公準5を調べる．
公準5
1点と直線が与えられたとき，点を通り与えられた直線に平行な直線はただ1本存在する．

すでに，平行線が存在することは公準1から公準4より証明されるので， 公準５の否定は
公準５の否定
1点と直線が与えられたとき，与えらえた 点を通り与えられた直線に平行な直線は少なくとも２本存在する．

右図から，点$E$を通る直線$AB$と平行な（交わらない） 直線が少なくとも2本(実際は無数)存在することが分かる．
ここで，$E$を通り$AB$と平行(交わらない)な直線は2種類あることが分かる．
一つは図の$AQ,BP$で境界円$C$で交わる直線,もう一つは図の$RS$で$C$でも交わらない直線である．
境界円$C$で交わる直線を平行といい，$C$でも交わらに直線を超平行いう．
図でいうならば，$E$を通り$AB$に平行な直線は2本，超平行な直線は無数にある．

$(D,\Omega)$が公準1から公準4のすべてを満たしかつ公準5の否定が成り立つことが分かりました．
これが，公準1から公準4までと公準5が独立であることの意味ですが，なんか狐に騙されたような気がするかもしれません．
もう少し説明が必要です．
ここで考えた$(D,\Omega)$は円，線分，三角形等でこれはすべたユークリッド幾何の内容です．
例えば，双曲平面$(D,\Omega)$で双曲三角形の各内角の双曲2等分線は1点で交わる．
という命題を考えてみましょう（このような内容は次のセクションで扱う）．
この命題はユークリッド幾何では，円の外接6角形で成り立つプリアンションの定理です．
右図で，直線$CF$は双曲三角形$\triangle XYX$の$\delta Z$の双曲二等分線．$\delta X,\delta Y,\delta Z$ の双曲二等分線が一点で交わることは，ユークリッド平面で， 円に外接する6角形の相対する頂点を結ぶ直線は1点で交わること．

このように双曲平面で成り立つ性質はユークリッド平面の内容に置き換えられる．
ですから，もし双曲幾何に矛盾があったとしましょう．
例えば，
$\triangle ABC$で
$AB=AC \Rightarrow \angle B=\angle C$
である
について，ある証明では成り立つが，ほかに成り立たない証明があったとします．
もしそのよなことが起こったとすると，その推論をそのままユークリッド幾何で書き直せば，ユークリッド幾何に矛盾があるということになりますよということです． 要するに，双曲平面に矛盾がないというんじゃなく，ユークリッド幾何に矛盾がないというなら ，同じように双曲幾何にも矛盾がない,すなわち矛盾があるかどうかはユークリッド幾何と双曲幾何は同等だということです．
なお，高木貞治はこのことを著書「数学雑談」の中で次のように述べています．
「ユークリッド幾何学の身中に非ユークリッド幾何学の雛形が存在しえる以上は，ユークリッド幾何学が倒れなければ 非ユークリッド幾何学も倒れない．非ユークリッド幾何学が倒れなければ，平行線の公理が証明せられる筈がない．」
ガウスは当然この内容は分かっていたでしょう．しかし考えてみてください．私たちは，いくつかの 非ユークリッドモデルを見てやっと理解できる内容です．当時この
「ユークリッドの公準５を否定したとき矛盾があることはユークリッド幾何に矛盾があることを意味する」
を一般の人に理解させる自信がない．そして公表することによる混乱を避けたい．
果たしてユークリッド幾何に矛盾が本当にないのか.これもわからない．
これらの理由で，ガウスは非ユークリッド幾何の公表をしなかったといわれています．
なお，ユークリッド幾何が無矛盾かどうかは私の手の届く内容ではありません．その道の専門家の領域です．

§6.双曲平面上の幾何学

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