これで，方程式$x_0x+y_oy=r^2$の意味が分かりました．

これから，極と極線に関して成り立つ性質を学んでいきます．
定理1
円$O(r)$が与えられている．円の中心$O$とは異なる２点$A,B$について次が成り立つ．
点$A$が点$B$の円$O(r)$に関する極線上にあるなら， 点$B$は点$A$の円$O(r)$に関する極線上にある．

証明
円$O(r)$を反転円とする反転変換の$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とする．
$OA\cdot OA'=r^2=OB\cdot OB'$
より４点$A,A',B,B'$は同一円周上にあるから
$\angle BB'A=\angle BA'A$
$A$が点$B$の極線上にあれば，
$\angle BB'A=90^{\circ}$
より
$\angle BA'A=90^{\circ}$
したがって，$B$は$A$の極線上にある．
$I(O(r)):A\mapsto B$
の場合を別途考える必要があるが，このときは明らかに成り立つ．

反転円の中心$O$を通らない直線$a$の極を$A$とすると，$a$上の点の極線は$A$を通る．
同様に，$O$以外の点$A$の極線を$a$とすれば，$A$を通る直線の極は$a$ 上にある．
したがって次が成り立つ．
定理1の系
１．いくつかの点が一直線上にあり(共線)その直線が反転円の中心と通らないとき それらの点の極線は１点で交わる(共点)．
２．いくつかの直線が一点で交わりその交点が反転円の中心でないとき それらの直線の極は一直線上にある．

定義
点$A$が点$B$の円$O(r)$に関する極線上にあるとき，定理1より点$B$は点$A$ の円$O(r)$に関する極線上にある.この２点$A,B$は円$O(r)$に関して共役であるという．

定理2
２点$A,B$が円$O(r)$に関して共役である$\Longleftrightarrow$線分$AB$を 直径とする円が 円$O(r)$に直交する
証明
$(\Rightarrow)$定理1で４点$A,A',B,B'$を通る円は，$AB$を 直径とする円である(定理1の図参照)． さらに，$AB$を直径とする円と円$O(r)$との交点を$T$ とすれば$OT=r$であるから，２円は直交する．
(∵　$T$は円$O$上にありかつ$OA\dot OA'=r^2=OT^2$より$OT$は$AB$を直径とする円の接線)
$(\Leftarrow)$円$C$は円$O(r)$に直交し(すなわち，$OT$は円$C$の接線)，$AB$は円$C$の直径とする．
直線$OA$と円$C$の交点のうち$A$でない方を$A'$とする．
$OA\cdot OA'=OT^2=r^2$
であるから，$A'$は反転変換$I(O(r))$による点$A$の像である．さらに$\angle AA'B=90^{\circ}$より 点$B$は点$A$の円$O(r)$に関する極線上にある．
したがって，$A,B$は円$O(r)$に関して共役である．

いくつか例題を解きましょう．
例題1
円$O$と円$O$外の点$P$が与えられている．$P$から円$O$に引いた２本の接線の接点を$A,B$とし，直線$AB$ 上の点$Q$から円$O$に２本の接線を引きその接点を$C,D$とする．このとき，３点$P,C,D$ は一直線上にあることを証明せよ．
証明
$P$の極線は直線$AB$で，点$Q$は直線$AB$上であるから，$P,Q$は円$O$に関して共役です．
$Q$の極線は$P$を通るから，3点$C,D,P$は同一直線上にある．

(実際に作図してみましょう．もし，図形のパソコンソフトがあったら確かめてみましょう．面白いですよ)

例題2
円$O$と$O$を通らない直線$l$が与えれれている．$l$上の任意の点から円$O$に引いた２本の接線の接点を$A,B$とする．このとき 直線$AB$は常に定点を通ることを証明せよ．
証明
円$O$に関する直線$l$の極点を$D$とする．すなわち，$D$は$O$から直線$l$に下した垂線の足を$C$とし，
$I(O):C\mapsto D$
で与えられる点である．
直線$l$は点$D$の極線であるから，$l$上の任意の点の極線は点$D$を通る．




次に円$O(r)$に関して共役である２点$A,B$の性質をもう少し調べます．
まず，線分を調和に分けることの定義をします．
線分$AB$を同じ比に内分，外分する点をそれぞれ$C,D$とする．このとき，$C,D$は線分$AB$を調和に分けるといいます． また，$A,B;C,D$は調和点列をなすということもあります．
線分は向きまで考え，$AB=-BA$となります．
調和に分けるを式で表すと，$C,D$は
$AC:BC=-(AD:BD)$
となります．
分数で表すと
$\dfrac{AC}{BC}=-\dfrac{AD}{BD}\cdots (1)$
$C,D$が線分$AB$を調和に分けるなら， $A,B$は線分$CD$を調和に分けます．それは
$\dfrac{CA}{DA}=-\dfrac{CB}{DB}$
が$(1)$と同値な式だからです．

$A$を原点として$A(0),B(b),C(c),D(d)$とすると
$\dfrac{AC}{BC}=-\dfrac{AD}{BD}$
より
$\dfrac{c}{c-b}=-\dfrac{d}{d-b}$
より
$2cd=bd+bc$
$\therefore \dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
したがって，$AB$は$AC,AD$の調和平均です． これで，$AB$を調和に分けるという意味が分かるとおもいます．
さらに，$C,D$が線分$AB$を調和に分けるとき，$AB$の中点を$M$と すると，
$MB^2=MC\cdot MD$
が成り立ちます．
実際$AB=2a,AC=c,AD=d$とおくと
$MB^2-MC\cdot MD=a^2-(c-a)(d-a)=ac+ad-cd$
仮定より
$\dfrac{2}{2a}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
であるから
$MB^2=MC\cdot MD$
が成り立つ．
$C,D$が線分$AB$を調和に分けるとき，$A,B$は線分$CD$を調和に分けるから，$CD$ の中点を$N$とすると
$NC^2=NA\cdot NB$
が成り立ちます．

つぎは，調和点列と共役の関係をしめす重要定理です．

定理3
円$O$と円$O$の弦$AB$が与えられている． 直線$AB$上の２点$C,D$について次が成り立つ．
$C,D$が線分$AB$を調和に分ける$\Leftrightarrow C,D$は円$O$に関して共役
証明
円$O$の弦$AB$を調和に分ける点を$C,D$. $CD$の中点を$M$,$CD$を直径とする円を円$M$とする．
$MC^2=MA\cdot MB$
であり円$M$と円$O$の交点のうち片方を$E$とすれば
$MA\cdot MB=MC^2=ME^2$
したがって，$ME$は円$O$の接線である．
$CD$を直径とする円$M$が円$O$に直交するから$C,D$は 円$O$に関して共役である．(定理2)
逆をたどれば成り立つので，逆も成り立つ．

定理4
円$O$と円$O$上にない点$P$が与えられている．
$P$を通り円と交わる２直線を引き，円との交点をそれぞれ$A,B$および$C,D$とする， ２直線$AC.BD$の交点を$Q$,２直線$AD,BC$の交点を$R$とする．
直線$PQ$と直線$PA,PD$との交点をそれぞれ$E,F$とすると点列$B,A;P,E$ および$C,D;P,F$はともに調和点列をなす．
証明
チェバの定理，メネラウスの定理を用いる．
$\triangle RAB$で,3直線$RQ,AQ,BQ$に注目し
$\dfrac{AE}{EB}\cdot \dfrac{BC}{CR}\cdot \dfrac{RD}{DA}=1\cdots (1)$
直線$DCP$に注目し
$\dfrac{AP}{PB}\cdot \dfrac{BC}{CR}\cdot \dfrac{RD}{DA}=-1\cdots (2)$
$(1),(2)$より
$\dfrac{AP}{PB}=-\dfrac{AE}{EB}$
$\therefore \dfrac{AP}{BP}=-\dfrac{AE}{BE}$
したがって，$A,B;P,E$は調和点列をなす．
つぎに,$\triangle QCD$で
３直線$RQ,RC,RD$に注目し
$\dfrac{CF}{FD}\cdot \dfrac{DB}{BQ}\cdot \dfrac{QA}{AC}=1\cdots (3)$
直線$ABP$に注目し
$\dfrac{CP}{PD}\cdot \dfrac{DB}{BQ}\cdot \dfrac{QA}{AC}=1\cdots (4)$
$(3),(4)$より
$\dfrac{CP}{PD}=-\dfrac{CF}{FD}$
$\therefore \dfrac{CP}{DP}=-\dfrac{CF}{DF}$
したがって，$C,D;P,F$は調和点列をなす．

定理4より極線の新しい定義が生まれるのですが，その前に定理4の証明について説明します．
定理4は配景写像と配景写像により複比は保たれる ことを知っていれば簡単に読み取れます．
配景写像とは，平面上の２直線$l,m$と$l,m$上にない点$O$が 与えられたとき
写像$l\to m;A\mapsto A'$
を$A'$を直線$OA$と直線$m$の交点によって定義する．
この写像を$O$を配景の中心とする配景写像という．
右図で$A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C',D\mapsto D'$
一直線上にある４点$A,B,C,D$の複比$[A,B;C,D]$を
$[A,B;C,D]=(AC:BC):(AD:BD)$
これを分数で表すと
$=\dfrac{AC}{BC}\div \dfrac{AD}{BD}$
$=\dfrac{AC}{BC}\cdot \dfrac{BD}{AD}\cdots (\sharp)$
通常複比の定義は$(\sharp)$である．
さて，配景写像のもつ重要性質は複比を保つこと，すなわち
配景写像で
$A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C',D\mapsto D'$
のとき
$[A,B;C,D]=[A',B';C',D']$
が成り立つことです．これは
$\dfrac{AC}{BC}\cdot \dfrac{BD}{AD}$
$=\dfrac{\triangle OAC}{\triangle OBC}\cdot \dfrac{\triangle OBD}{\triangle OAD}$
$=\dfrac{OA\cdot OC\sin \angle AOC}{OB\cdot OC\sin \angle BOC}\cdot \dfrac{OB\cdot OD\sin \angle BOD}{OA\cdot OD\sin \angle AOD}$
$=\dfrac{\sin \angle AOC}{\sin \angle BOC}\cdot \dfrac{\sin \angle BOD}{\sin \angle AOD}$
より，複比は４直線のなす角だけで決まることから分かる．
$A,B;C,D$が調和点列をなすのは，
$\dfrac{AC}{BC}=-\dfrac{AD}{BD}$
より
$\dfrac{AC}{BC}\cdot \dfrac{BD}{AD}=-1$
すなわち
$[A,B;C,D]=-1$

さて，定理4の図を見てみよう．
点$R$を配景の中心とみて
$[B,A;P,E]=[C,D;P,F]$
一方，点$Q$を配景の中心とみて
$[B,A;P,E]=[D,C;P,F]$
したがって
$[B,A;P,E]=x$とおくと
$x=\dfrac{1}{x}$
$x=\pm 1$
$x\neq 1$であるから
$[B,A;P,E]=-1$
すなわち$B,A;P,E$が調和点列をなすことが分かる．
なお，
$[A,B;C,D]=\dfrac{1}{[B,A;C,D]}$
は定義より簡単に示すことができる．
また
$[A,B;C,D]=1$となるのは$A=B$または$C=D$のとき，かつその時にかぎることは
$A(a),B(b),C(c),D(d)$と座標を定め計算すれば得られる.

定理4で，四角形$ABCD$の外接円を円$\Gamma$とすると，円$\Gamma$関して， 2点$P,E$および２点$P,F$は互いに共役である．(定理3)
したがって$E,F$は円$\Gamma$に関する$P$の極線上にあるから， 直線$EF$すなわち直線$QR$は円$\Gamma$に関する点$P$ の極線である．
同様に，直線直線$PQ$は円$\Gamma$に関する点$R$の極線である．
点$Q$の極線は$P,R$を通るから，直線$PR$である．
したがって次の定理が得られた(定理4の図を参照)．
定理5
点$P$と円$\Gamma$が与えらえている．
$P$を通る円$\Gamma$の２本の割線（円と２点で交わる直線）$PAB,PCD$を 与え,2直線$AC,BD$の交点を$Q$,2直線$AD,BC$の交点を$R$とする．
このとき，$P,Q,R$の極線はそれぞれ$QR,RP,PQ$である．

円$\Gamma$に関する三角形で，各頂点の極線が対辺である三角形すなわち
$\triangle PQR$で頂点$P$の極線が直線$QR$,頂点$Q$の極線が直線$RP$, 頂点$R$の極線が直線$PQ$である三角形を円$\Gamma$に関する 極三角形または自極三角形といいう．

定理6
極三角形の頂点は２点が円の外部にあり，１点は円の内部にある．
証明
$\triangle PQR$が円$\Gamma$の極三角形とする．
点$P$が$\Gamma$の周上にあるとき．$P$の極線は$P$における円$\Gamma$ の接線である．一方，$P$の極線は直線$QR$より３点$P,Q,R$が一直線上より矛盾．
点$P$が円$\Gamma$の内部にあるとき，$P$の極線は円$\Gamma$の 外部にあるから，残りの点$Q,R$は円$\Gamma$の外部にある．したがって， 極三角形の２頂点が円の内部にあることはない．
次に，２頂点$P,Q$が円の外部にあるとき，
点$Q$は$P$の極線上にありかつ円$\Gamma$の外部にある．
点$P$から円$\Gamma$に接線$PT$を引くと，点$Q$は直線$PT$に 関して円$\Gamma$と反対側にある．したがって，直線$PQ$ は円$\Gamma$と共有点を持つことはない．したがって，直線$PQ$ の極すなわち点$R$は円$\Gamma$の内部にある．

定理7
ある円に関する極三角形の垂心は円の中心である．
証明
$\triangle PQR$を円$\Gamma$に関する極三角形とし，円$\Gamma$ の中心を$O$とする．
定理5よりいずれかの頂点は円$\Gamma$の内部にあるが，$P$ を円の内部とする．
$P,Q,R$の極線がそれぞれ$QR,RP,PQ$であるから，
$OP\perp QR,OQ\perp RP,OR\perp PQ$
したがって，円$\Gamma$の中心$O$は$\triangle PQR$の垂心である．

定理6で$OP$と$QR$の交点を$H$とする．
このとき，２点$P,H$は点$O$に関して同じ側にあるから，$\triangle PQR$ の垂心$O$は三角形の外部にある．したがって次を得る．
定理7の系
極三角形は鈍角三角形である．

定義
三角形がある円に関して極三角形のとき，この円を三角形の極円という．

$\triangle ABC$が与えられたとき，極円が存在するかを調べよう．
定理7およびその系より，$\triangle ABC$が極三角形になるなら，鈍角三角形で，極円の中心は 三角形の垂心である．
したがって極円の半径が決まるかどうかを調べればよい．
鈍角三角形$ABC$で，頂点$A,B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$D,E,F$ とし，$\triangle ABC$の垂心を$O$とする．
４点$A,D,C,F$および$A,E,B,D$を通る円における方べきの定理より
$OF\cdot OC=OA\cdot OD=OE\cdot OB$
である．この値を$k^2$とおき，$O$を中心とする半径$k$ の円を反転円とする反転変換で
$F\mapsto C,A\mapsto D,E\mapsto B$
である．
頂点$A,B,C$の極線はそれぞれ対辺$BC,CA,AB$であり，$\triangle ABC$は円$O$ の極三角形である．
したがって，任意の鈍角三角形で極円が存在することが分かる．

さて，定理5に戻ろう．
円外の点から円に接線を引く作図法を与えている．
点$P$の極線のもともとの定義は$P$から円に引いた接線の接点の結ぶ直線であるから， 円と$P$の極線との交点は$P$から円に引いた接線の接点である．
さらに，中心射影により円の像は２次曲線になるから，一般の２次曲線の接線の作図法にもなっている．
定規だけで作図ができる２次曲線の接線の優れた作図法である(下図は双曲線の接線)．

定義
円$\Gamma$と円$\Gamma$上にない点$P$が与えられている．
$P$を通る円と交わる２直線を引き，円との交点をそれぞれ$A,B$および$C,D$とする， ２直線$AC.BD$の交点を$Q$,２直線$AD,BC$の交点を$R$とする．
このとき，直線$QR$は直線$PAB,PCD$の取り方によらず定まり，この直線$QR$を点$P$の 円$\Gamma$に関する極線という．
右図は$P$が円$\Gamma$の外部の場合であるが，内部の場合は図の$P,Q$を入れ替えればよい．
中心射影で，直線の交点や，接点は保たれるから，円$\Gamma$を２次曲線に替えれば，そのまま２次曲線に関する 極線の定義になる．

11.相反変換

反転とその性質の目次

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