反転とその応用

10. 極と極線 

円の方程式
$x^2+y^2=r^2$
上の点$P(x_0,y_0)$における接線の方程式は
$x_0x+y_0y=r^2 \cdots (1)$
です.
$P$が円の外部にあるとき,方程式$(1)$は$P$から円に引 いた接線の接点を通る直線となります.
実際,$P$から円に引いた接線は2本あり, それぞれの接点を$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$とする.
このとき,それぞれを接点とする接線の方程式は
$x_1x+y_1y=r^2,x_2x+y_2y=r^2$
であり,それぞれ$P(x_0,y_0)$を通るから
$x_1x_0+y_1y_0=r^2,x_2x_0+y_2y_0=r^2$
を満たす.これは,直線
$x_0x+y_0y=r^2$
が2点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$を通ることを示している.
後で定義をするが ここで求めた直線
$x_0x+y_0y=r^2$
を円$x^2+y^2=r^2$に関する点$P(x_0,y_0)$の極線という.

それでは,$P(x_0,y_0)$が円の内部にあるとき直線
$x_0x+y_0y=r^2$
がどのような直線か.それに答えるには,極や極線の定義を はっきりさせる必要があります.極や極線を反転を学んだこの機会 にきちんと学んでおきましょう.

  極線の定義から始めます.
なお,点$O$を中心とする半径$r$の円を円$O(r)$と表す.
定義
円$O(r)$が与えられており,点$P$は点$O$とは異なるとする.
点$P$に対して,半直線$OP$上の点$P'$で
$OP\cdot OP'=r^2$
を満たす点をとり,点$P'$を通り$OP$に垂直な直線$l$を点$P$の円$O(r)$ に関する極線といい,点$P$を円$O(r)$に関する直線$l$の極点という.

定義の中で述べた$P,P'$の関係は,$O(r)$が反転円である反転変換$I(O)$による像,すなわち
$I(O):P\mapsto P',P'\mapsto P$
を満たす.
反転変換を用いれば,
$I(O(r)):P\mapsto P'$
のとき,$P'$を通り$OP$に垂直な直線を点$P$の円$O(r)$に関する極線という.
となる.

極線がどのような直線かを確認しましょう.
右図で,
$OP\cdot OQ=r^2$
より
$OQ:r=r:OP$
したがって,
$\triangle OQT$∽$\triangle OTP$
$P$の極線は$P$から円$O$に接線$PT$を引き,$T$を通り$OP$に垂直な直線であり,
$Q$の極線は,$Q$を通り$OQ$に垂直な直線と円との交点を$T$とし,$T$における円の接線と$OQ$ との交点を$P$とし,$P$を通り$OP$に垂直な直線である.

点$P(x_0,y_0)$の円$x^2+y^2=r^2$に関する極線の方程式を求めよう.
$I(O(r)):(x_0,y_0)\mapsto \dfrac{r^2}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\dfrac{(x_0,y_0)}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}= \dfrac{r^2(x_0,y_0)}{x_0^2+y_0^2}$
法線ベクトルが$(x_0,y_0)$であるから
$x_0(x-\dfrac{r^2x_0}{x_0^2+y_0^2})+y_0(x-\dfrac{r^2y_0}{x_0^2+y_0^2})=0$
$\therefore x_0x+y_0y=r^2$

これから,極と極線に関して成り立つ性質を学んでいきます.
定理1
円$O(r)$と$O$とは異なる2点$A,B$が与えられている.
点$A$が点$B$の円$O(r)$に関する極線上にあるなら,点$B$は点$A$の円$O(r)$に関する極線上にある.

証明
円$O(r)$を反転円とする反転変換の$A,B$の像をそれぞれ$A',B'$とする.
$OA\cdot OA'=r^2=OB\cdot OB'$
より4点$A,A',B,B'$は同一円周上にあるから
$\angle BB'A=\angle BA'A$
$A$が点$B$の極線上にあれば,
$\angle BB'A=90^{\circ}$
より
$\angle BA'A=90^{\circ}$
したがって,$B$は$A$の極線上にある.
$I(O(r)):A\mapsto B$
の場合を別途考える必要があるが,このときは明らかに成り立つ.

定義
点$A$が点$B$の円$O(r)$に関する極線上にあるとき,定理1より点$B$は点$A$ の円$O(r)$に関する極線上にある.この2点$A,B$は円$O(r)$に関して共役であるという.

定理2
2点$A,B$が円$O(r)$に関して共役である$\Longleftrightarrow$線分$AB$を 直径とする円が 円$O(r)$に直交する
証明
$(\Rightarrow)$定理1で4点$A,A',B,B'$を通る円は,$AB$を 直径とする円である(定理1の図参照). さらに,$AB$を直径とする円と円$O(r)$との交点を$T$ とすれば$OT=r$であるから,2円は直交する.
$(\Leftarrow)$円$C$は円$O(r)$に直交し(すなわち,$OT$は円$C$の接線),$AB$は円$C$の直径とする.
直線$OA$と円$C$の交点のうち$A$でない方を$A'$とする.
$OA\cdot OA'=OT^2=r^2$
であるから,$A'$は反転変換$I(O(r))$による点$A$の像である.さらに$\angle AA'B=90^{\circ}$より 点$B$は点$A$の円$O(r)$に関する極線上にある.
したがって,$A,B$は円$O(r)$に関して共役である.

いくつか例題を解きましょう.まず自分で考えましょう.
例題1
円$O$と円$O$外の点$P$が与えられている.$P$から円$O$に引いた2本の接線の接点を$A,B$とし,直線$AB$ 上の点$Q$から円$O$に2本の接線を引きその接点を$C,D$とする.このとき,3点$P,C,D$ は一直線上にあることを証明せよ.
証明
$P$の極線は直線$AB$で,点$Q$は直線$AB$上であるから,$P,Q$は円$O$に関して共役です.
$Q$の極線は$P$を通るから,3点$C,D,P$は同一直線上にある.

例題2
円$O$と$O$を通らない直線$l$が与えれれている.$l$上の任意の点から円$O$に引いた2本の接線の接点を$A,B$とする.このとき 直線$AB$は常に定点を通ることを証明せよ.
証明
円$O$に関する直線$l$の極点を$D$とする.すなわち,$D$は$O$から直線$l$に下した垂線の足を$C$とし,
$I(O):C\mapsto D$
で与えられる点である.
直線$l$は点$D$の極線であるから,$l$上の任意の点の極線は点$D$を通る.




次に円$O(r)$に関して共役である2点$A,B$と直線$AB$と円$O(r)$の交点$C,D$の関係を調べましょう.
まず,線分を調和に分けることの定義をします.
線分$AB$を同じ比に内分,外分する点をそれぞれ$C,D$とする.このとき,$C,D$は線分$AB$を調和に分けるといいます.
式で表すと,$C,D$は
$AC:CB=AD:DB$
となります.
まず,$C,D$が線分$AB$を調和に分けるなら, $A,B$は線分$CD$を調和に分けます.それは
$AC:CB=AD:DB$
より,比の内項を交換した
$AC:AD=CB:DB$
が成り立つからです.

次に$AB=b,AC=c,AD=d$
とおくと
$c:b-c=d:d-b$
より
$2cd=bd+bc$
$\therefore \dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
したがって,$AB$は$AC,AD$の調和平均です. これで,$AB$を調和に分けるという意味が分かるとおもいます.
さらに,$C,D$が線分$AB$を調和に分けるとき,$AB$の中点を$M$とすると,
$MB^2=MC\cdot MD$
が成り立ちます.
実際$AB=2a,AC=c,AD=d$とおくと
$MB^2-MC\cdot MD=a^2-(c-a)(d-a)=ac+ad-cd$
仮定より
$\dfrac{2}{2a}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$
であるから
$MB^2=MC\cdot MD$
が成り立つ.
$C,D$が線分$AB$を調和に分けるとき,$A,B$は線分$CD$を調和に分けるから,$CD$ の中点を$M$とすると
$MC^2=MA\cdot MB$
が成り立ちます.

定理3
円$O$と円$O$の弦$AB$が与えられている.直線$AB$上の2点$C,D$について次が成り立つ.
$C,D$が線分$AB$を調和に分ける$\Leftrightarrow C,D$は円$O$に関して共役
証明
円$O$の弦$AB$を調和に分ける点を$C,D$. $CD$の中点を$M$,$CD$を直径とする円を円$M$とする.
$MC^2=MA\cdot MB$
であり円$M$と円$O$の交点のうち片方を$E$とすれば
$MA\cdot MB=MC^2=ME^2$
したがって,$ME$は円$O$の接線である.
$CD$を直径とする円$M$が円$O$に直交するから$C,D$は円$O$に関して共役である.
逆をたどれば成り立つので,逆も成り立つ.

(反転とその応用の項目終わり)


反転とその性質の目次

全体の目次