ここでは，斉次アフィン座標系のある条件を満たす座標系として正規直交座標系を導き出します．

これからの議論で，虚数点が出てきます．といっても実数の議論の中に，２次方程式 を解く場合があり，その解として虚数が出てくるだけで２次元複素射影空間$P^2(\mathbb{C})$ を考えるわけではありません．虚数については，でてきたときに必要に応じて説明します．

まずユークリッド平面上の円や直交性を斉次座標で表すとどうなるかを考えます．
ユークリッド座標平面(高校で学ぶ座標平面)上における円の方程式は
$x^2+y^2+2ax+2by+c=0$
である．
この式を斉次座標で表すと，すなわち$x,y$をそれぞれ$\frac{x}{z},\frac{y}{z}$で置き換えて分母を払えば
$x^2+y^2+2axz+2byz+cz^2=0 \cdots (*)$
である．
円$(*)$と無限遠直線$z=0$との交点はもちろん存在しないが，解(虚数解)を求めると
$x^2+y^2=0$
$(y+ix)(y-ix)=0$
より，斉次性を考え，
$(1,i,0),(1,-i,0)$
である．
逆に，2次曲線
$ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2kxz+2lyz=0 \ \ (a,b,c,h,k,l\text{は実数})$
と無限遠直線$z=0$との交点が
$(1,i,0),(1,-i,0)$
のとき
$a-b+2hi=0$
したがって
$a=b,h=0$
より2次曲線は$a$で割って係数を置き換えて
$x^2+y^2+2axz+2byz+cz^2=0$
非斉次座標で表すと
$x^2+y^2+2ax+2by+c=0$
より円の方程式となる．
以上のことより，
無限遠直線上の$(1,i,0),(1,-i,0)$を通る2次曲線が円である
と考えることが自然である．

次に2直線が直交する概念を射影平面に持ちこみたい．
斉次座標で考える．
無限遠点$(a,b,0)$と普通点（無限遠点でない点）$(p,q,r)$を通る直線の線座標は
$(a,b,0)\times (p,q,r)=(br,-ar,aq-bp)=(b,-a,*)$
方程式で表すと
$bx-ay+*z=0$
非斉次座標で表すと
$bx-ay+*=0$
法線ベクトルが$(b,-a)$と言ってもよいし傾きが$\frac{b}{a}$といってもよい．
次の様に考えてもよい．
方向ベクトルが$(a,b)$の直線は
$t(a,b)+(x_0,y_0)$
より
$(ta+x_0,tb+y_0,1)=(a+\frac{x_0}{t},b+\frac{y_0}{t},\frac{1}{t})$
$t\to \infty$のとき
$\to (a,b,0)$
このことから，傾きが$\frac{b}{a}$の直線はどの点を通っても 無限遠直線との交点は$(a,b,0)$であることがわかる．
さて，無限遠点$(a,b,0),(-b,a,0)$を通る直線は傾きがそれぞれ$\frac{b}{a},-\frac{a}{b}$であるから直交する．これを次の様に見る．
原点を中心とする半径１の円は
$x^2+y^2-1=0$
であるから斉次座標で表すと
$x^2+y^2-z^2=0$
したがって，対応する相反対合変換の行列は
$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$
この相反対合変換より誘導される無限遠直線$l_{\infty}$上の点の対合変換
$f:l_{\infty}\to l_{\infty}$
を求める．
$A(a,b,0)$のとき$f(A)=(a,b,0)$
$(a,b,0)\times (0,0,1)=(b,-a,0)$
であるから
$f:l_{\infty}\to l_{\infty};(a,b,0)\mapsto (b,-a,0)$
である．
したがって，原点を中心とする半径$1$の円を定めたとき，その円に対応する相反対合変換より誘導される 対合変換$f$の対応点を通る2直線は直交すると定める．
すなわち，2直線$l,m$が与えれたとき，$l,m$上の無限遠点をそれぞれ$A,B$とする．
このとき
$l \perp m \Leftrightarrow f(A)=B$
と定める．

本題の正規直交座標系に入ろう． 拡大アフィン平面上の斉次アフィン座標系$\sigma =[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O;e]$で考えます．
無限遠直線$l_{\infty}$と共有点を持たない2次曲線，すなわち楕円を一つ定める．
この2次曲線$C$を
$ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2kxz+2lyz=0$
とする．
2次曲線を定めるということは，相反対合変換を定めることで，その相反対合変換$F$は
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}a&h&k\\h&b&l\\h&l&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
である．
$F$より誘導される$l_{\infty}$上の対合変換を$f$とする（相反対合変換より誘導される対合変換は §8 極と極線参照）.相反対合変換より誘導される無限遠直線$l_{\infty}$ 上の対合変換を絶対対合変換という．
2次曲線$C$と無限遠直線$l_{\infty}$は共有点を持たないが，複素数で考えれば交点の解は存在する．その点を$I,J$ とする．
$C$上の点は$F$の自己共役点であるから，$I,J$は絶対対合変換の不動点である．

絶対対合変換$f$を用いて直角の定義をする（定義の妥当性はこのセクションの最初に述べた内容を参照）
$l_{\infty}$上の$f$の一組の対応点($F$の共役点)を通る無限遠直線でない2直線を垂直と定義する．
すなわち
2直線$l,m$と無限遠直線$l_{\infty}$の交点をそれぞれ$A,B$とするとき
$l\perp m \stackrel{\text{定義}}{\Leftrightarrow}f(A)=B$
である．

例えば$l_{\infty}$上で
$f:P_1\mapsto Q_1,P_2\mapsto Q_2$
のとき
$1.$点$P_1$を通る直線$m_1$と点$Q_1$を通る直線$n_1$は垂直である．
$2.\ n_1\perp m_1$で$m_1\parallel m_1'$のとき$n_1\perp m_1'$が成り立つ．
$3.$点$A$を通り$n_1$に垂直な直線はただ一つ存在する.
等が成り立つ．

最初に与えた相反対合変換を$F$,$F$より決まる2次曲線を$C$とし， $F$の誘導する絶対対合変換を$f$とする．
無限遠直線$l_{\infty}$上に1点$A(a)$をとり
$f(A)=B,F(l_{\infty})=C$とすると3点$A(a),B(b),C(c)$は自極三角形である(頂点の極線が対辺). さらに，直線$AC,BC$と2次曲線$C$との交点をそれぞれ$E_1,E_2$とし，$AE_2,BE_1$の交点を$E$とする．
このとき，$A(a),B(b),C(c)$を基本点，$E(e)$を単位点とする， 射影座標系$\sigma =[A,B,C;E]$を正規直交座標系という．

$\sigma$における，2次曲線$C$の式をもとめる．
$A,B,C$は自極三角形をなすから
$F:(1,0,0)\mapsto (1,0,0),(0,1,0)\mapsto (0,1,0),(0,0,1)\mapsto (0,0,1)$
斉次性を考え$C$の式は
$px^2+qy^2+rz^2=0 \cdots (*)$
となる．さらに
$E_1(1,0,1),E_2(0,1,1)$
を$(*)$に代入し
$p+r=0,q+r=0$
したがって，曲線$C$は
$x^2+y^2=z^2$
非斉次表示すれば
$x^2+y^2=1$
すなわち，原点を中心とする単位円である．
すなわち，正規直交座標系$\sigma$は与えた楕円を中心が原点である単位円とする座標系である．
原点を中心とする単位円を計量単位円という．
次に計量単位円$x^2+y^2-z^2=0$と無限遠直線$z=0$との交点$I,J$を求めよう．
$z=0$であるから
$x^2+y^2=(y+ix)(y-iy)=0$
より
$(x,y,z)=(1,i,0),(1,-i,0)$
$I(1,i,0),J(1,-i,0)$
2次曲線は相反対合変換$F$の自己共役点であるから，$I,J$は無限遠直線上の$F$の自己共役点．したがって，$F$ より誘導された絶対対合変換$f$の不動点である．
$l_{\infty}$上の点$A,B$が$f(A)=B$のとき
$[A,B;I,J]=-1$
が成り立つ．
$(\because ) \ f$は複比をたもつから
$[A,B;I,J]=[f(A),f(B),f(I),f(J)]=[B,A;I,J]$
この性質は後で角を定義するときのヒントとなる．

正規直交座標系$\sigma$で，虚円点$I(1,i,0),J(1,-i,0)$を通る楕円を円という．
円の式を求めよう．
楕円を
$ax^2+by^2+cz^2+2pxy+2qxz+2ryz=0$
とおく．
$I(1,i,0)$を通るから
$a-b+2pi=0$
$\therefore a=b,p=0$
したがって，文字を置き換えて
$x^2+y^2+cz^2+2qxz+2ryz=0$
非斉次座標で表せば
$x^2+y^2+2qx+2qy+c=0$
したがって7，射影幾何における円の定義が妥当であることがわかる．アフィン幾何で定義した楕円の中心すなわち， 楕円で定まる相反変換の無限遠直線の極が円の中心である．
これで，拡大アフィン平面に正規直交座標系が定められた．正規直交座標系が定められた拡大アフィン平面を 拡大ユークリッド平面と呼ぶ．
さらに，拡大ユークリッド平面から無限遠直線を除き，正規直交座標系$[A,B,C;E]$ で$A$を原点，直線$CA,CB$をそれぞれ$x$軸，$y$軸，$E_1,E_2$をそれぞれ$x$軸，$y$ 軸上の単位点とした座標系がユークリッド直交座標系でこれはユークリド幾何で 通常使われる座標系である．

$I$または$J$を通る直線全体を求めよう．
$I$を中心とする線束$(L_1,L_2,L_3)$は
$L_1\times 1+L_1\times i+L_3\times 0=0$
$J$を中心とする線束$(L_1,L_2,L_3)$は
$L_1\times 1+L_1\times (-i)+L_3\times 0=0$
したがって
$(L_1+L_2i)(L_1-L_2i)=0$
すなわち
$L_1^2+L_2^2=0 \ \ \cdots (*)$
である．

$\{I,J\}$を保つアフィン変換を線座標で考えると$(*)$を保つ変換．このことから，後で学ぶ双曲幾何，楕円幾何の対比からユークリッド幾何を 放物幾何と呼ぶ書もある．

正規直交座標系$[A,B,C;E]$で
$A(a),B(b),C(c),E(e)$とおくと
$a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1),e=(1,1,1)$
である．
直線$CE$と無限遠直線の交点を$E_3$とすると
$E_3(1,1,0)$
である．
無限遠直線$l_{\infty}$上の座標系$[A,B;E_3]$を正規直交座標系$[A,B,C;E]$より誘導された座標系という．
誘導座標系$[A,B;E_3]$で絶対対合変換$f$を表そう．
$xa+yb=(x,y,0)$の$f$による像を求めればよい．
計量単位円$x^2+y^2-z^2=0$
に対応する相反対合変換$F$は
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
であるから
$F((a,b,0))=(a,b,0)$
式で表せば
$ax+by=0$
無限遠直線$z=0$との交点を求めると$(b,-a,0)$
したがって
$f:(a,b)\mapsto (b,-a)$
行列で表示すれば
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
非斉次座標で表せば
$(x,1)\mapsto (-\frac{1}{x},1)$
であるから
$x\mapsto -\dfrac{1}{x}$
である．

7.ユークリッド平面

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