ここでは，斉次アフィン座標系のある条件を満たす座標系として正規直交座標系を定義する．

これからの議論で，虚数点が出てきます．といっても実数の議論の中に，２次方程式 を解く場合があり，その解として虚数が出てくるだけで２次元複素射影空間$P^2(\mathbb{C})$ を考えるわけではありません．虚数については，でてきたときに必要に応じて説明します．

アフィン平面すなわち射影平面に無限遠直線$l_{\infty}$を定めた平面で考える．
まず，アフィン平面上，楕円($l_{\infty}$と共有点を持たない2次曲線)$C$を一つ定める．楕円$C$を定める相反対合変換を$F$とする．楕円$C$の中心を$O$とする$(F(l_{\infty})=O)$.
無限遠直線$l_{\infty}$上に$F$より定まる対合変換を$f$とする．これは説明が必要．
$F(l_{\infty})=O$であるから，$l_{\infty}$上の点を$P$とすると，$F(P)$すなわち$P$の極線は$O$を通る直線である．
$P\mapsto P$の極線と$l_{\infty}$の交点$P'$
によって
$f:l_{\infty}\to l_{\infty}$
を定義する．
まず，2次曲線が楕円であるから$P$とその像である$P'$は異なる．($P$は$F$の自己共役点でない)
$l_{\infty}$上の点を$P_i,P_i$の極線を$m_i$,$m_i$と$l_{\infty}$との交点を$P_i'$とすると
$[P_1,P_2;P_3,P_4]=[m_1,m_2;m_3,m_4]=[P_1',P_2';P_3',P_4']$
であるから$f$は複比を保つ．
$P,P'$は共役($P'$は$P$の極線上)であるから $f\circ f$は恒等変換$\blacksquare$

楕円$C$および$C$を定める相反対合変換$F$を用いて正規直交座標系を定義する．
無限遠直線$l_{\infty}$上に1点$A_{\infty}$を定め，$l_{\infty}$の対合変換$f$による$A_{\infty}$の像を$B_{\infty}$,すなわち$f(A_{\infty})=B_{\infty}$.
直線$OA_{\infty},OB_{\infty}$と楕円$C$との交点をそれぞれ$E_1,E_2$とする．
2直線$A_{\infty}E_2,B_{\infty}E_1$の交点を$E$とする．
$A_{\infty},B_{\infty},O$を基点，$E$を単位点とする座標系
$\sigma=[A_{\infty},B_{\infty},O;E]$
が正規直交座標系である．座標系$\sigma$による各点の射影座標は
$A_{\infty}(1,0,0),B_{\infty}(0,1,0),O(0,0,1),$
$E(1,1,1),E_1(1,0,1),E_2(0,1,1)$
である．$E_1$は$(A\times O)\times (B_{\infty}\times E)$
正規直交座標系$\sigma$を定めたアフィン平面を拡大ユークリッド平面または単にユークリッド平面と呼ぶ．
だ円$C$の方程式を求める．
$\triangle A_{\infty}B_{\infty}O$は自極三角形であるから相反対合変換$F$で定まる$C$は
$k_1x^2+k_2y^2+k_3z^2=0$
円$C$は$E_1(1,0,1),E_2(0,1,1)$を通るから
$k_1+k_3=0,k_2+k_3=0$
したがって，
$x^2+y^2=z^2$
この式を非斉次座標で表すと両辺を$z^2$で割り，$\frac{x}{z},\frac{y}{z}$を$x,y$ とすれば
$x^2+y^2=1$
となり，通常の原点を中心とする単位円である．
楕円$C$を正規直交座標系$\sigma$の計量単位円と呼ぶ．

計量単位円$x^2+y^2=z^2$と無限遠直線$l_{\infty}$の交点をもとめる．といっても，この円は無限遠直線と共有点は持たないが，複素数の範囲まで広げて計算する．
$\begin{cases}x^2+y^2=z^2\\z=0\end{cases}$
であるから，$(1,i,0),(1,-i,0)$である．
$I(1,i,0),J(1,-i,0)$
と定める．$I,J$を虚円点と呼ぶ．
計量単位円$C$上の点は相反対合変換の自己共役点であるから，$I,J$は無限遠直線$l_{\infty}$の対合変換$f$の不動点と考えることができる．
次に，一般の2次曲線が2点$I,J$を通るときを調べる．
$I,J$は共役であるから，実数係数の方程式は$I$を通れば自動的に$J$も通る．また$I,J$を通ることは，$l_{\infty}$と共有点を持たないから楕円である．
$ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz=0$
とおく． $x=1,y=i,z=0$を代入すると
$a-b+2di=0$
したがって
$a=b,d=0$
2次曲線は
$ax^2+ay^2+cz^2+2exz+2fyz=0$
非斉次座標で表せば
$x^2+y^2+2ax+2by+c=0$
となり，円の方程式となる．
$I,J$を通る2次曲線を円と呼ぶことが妥当であることが分かる．
次に無限遠直線$l_{\infty}$の対合変換$f$を用いて2直線の直交性を定義をする．
2直線$m,n$と無限遠直線$l_{\infty}$の交点をそれぞれ$A_{\infty},B_{\infty}$とする．
$m\perp n \stackrel{\text{定義}}{\Leftrightarrow}f(A_{\infty})=B_{\infty}$
である．

例えば$l_{\infty}$上で
$f:P\mapsto Q$
のとき
$1.\ m \parallel m'$で$m\perp n$とき$m'\perp n$が成り立つ．
$2.$点$A$を通り$m$に垂直な直線はただ一つ存在する.
等よりこの直交性の定義は妥当である．

次に，無限遠直線$l_{\infty}$上の対合変換$f$の表示式を求める．
正規直交座標系$\sigma$より$l_{\infty}$より導き出された座標系
すなわち$A_{\infty},B_{\infty},E'_{\infty}(=A_{\infty}+B_{\infty})$($E'_{\infty}$は$OE$と$l_{\infty}$の交点)による座標系$[A_{\infty},B_{\infty};E'_{\infty}]$を用いる．
非斉次座標で対合変換$x\mapsto y$は
$y=\dfrac{ax+b}{cx-a}$
と表せる．
$I,J$は$f$の不動点．$j(1,-i)$の非斉次座標は$i$である．したがって，
$i=\dfrac{ai+b}{ci-a}$
$a=0,b+c=0$
より $y=-\dfrac{1}{x}$
である．