ここでは続けて相反対合変換を扱う．
定義
$f$が相反対合変換のとき，点$P$の像である直線$l$を点$P$ の極線といい，直線$l$の像である点$P$を直線$l$の極という．

相反対合変換$f$を表す行列を
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}$
$A$の余因子行列すなわち$(\det A)A^{-1}$を$B$とおく．すなわち
$B=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}$
極，極線について成り立つ性質を調べよう．
点$P(p)$の極線が$l(L)$のとき
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$
であり，両辺の左側から$B$をかけると
$k\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}$
であるから次が成り立つ．
命題
点$P$の極線が$l$なら，$l$の極は$P$であり，逆も成り立つ．

点$P(p)$が直線$l(L)$上にあるとき
$\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=0$
が成り立ち，$BA=kE$であるから
$\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}BA\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=0$
直線$l$を固定すれば，点$P$が直線$l$上を動くとき，$P$の極線は$l$の極を通る．
同様に点$P$を固定すれば，点$P$を通る直線の極は$P$の極線上にあることがわかる．
したがって，次が成り立つ．
命題
点$P$が直線$l$を動くとき，$P$の極線$m=f(P)$は$l$の極$Q=f(P)$を通り， 直線$l$が点$P$を通るとき，$l$の極は$P$の極線上にある．

相反対合変換$f$において，
点$Q$が点$P$の極線上のあるとき，$Q$は$P$と共役であるといい，直線$m$が直線$l$の極を通るとき$m$は$l$と共役であるという．
共役関係を座標を用いて表すと，
点$Q(q)$が点$P(p)$と共役のとき
$\begin{pmatrix}q_1&q_2&q_3\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=0$
であり，転置をとると
$\begin{pmatrix}p_1&p_2&p_3\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}=0$
であるから，$P$は$Q$と共役である．
同様に直線$m(M)$が直線$l(L)$と共役のとき
$\begin{pmatrix}M_1&M_2&M_3\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=0$
であり，転置をとれば，$l$は$m$と共役であることがわかる．

相反対合変換$f$において，点$P$の極線が点$P$を通るとき，この点$P$を$f$ の自己共役点(self-conjugate point)といい，直線$l$の極が直線$l$上にあるとき，この直線$l$を $f$の自己共役直線(self-conjugate line)という．
自己共役点$P(p)$を式で表す. これは重要な式なので$f$を表す行列も成分を用いると
$\begin{pmatrix}p_1&p_2&p_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=0$
式を見てわかるように，この定義が射影平面における２次曲線の定義につながります．
自己共役曲線$l(L)$を式で表すと，
$\begin{pmatrix}L_1&L_2&L3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=0$
となる．

自己共役点や自己共役直線を表す式を見ればわかるように，自己共役点や自己共役直線は存在するかどうかはわからない．
$\det A\neq 0$で$A$は対称行列より，$A$の固有値は$0$でない実数．３つの固有値が同符号なら自己共役点や自己共役直線は存在しないし， 異符号なら存在する．
自己共役点が存在する相反対合変換を双曲型相反対合変換といい，自己共役点が存在しない相反対合変換を楕円型相反対合変換という．

相反対合変換が与えられたとき，すなわち$\det A\neq 0$である対称行列が与えられたとき，この変換を簡単に表す射影座標系を考えよう．
対称行列を直交行列で対角化するのだろうと思うかもしれないが，そうはいきません．射影平面では，長さや角は定義できません．当然内積も使えません．
次のように作ります．

３点$P(p),Q(q),R(r)$を各点の極線が対辺であるようにとる．すなわち，$P$の極線が直線$QR$,$Q$の極線が直線$RP$,$R$の極線が直線$PQ$とする．
この３点を(座標)基本点とする座標系$[P,Q,R;E]$を極三角座標系という．
このような$P,Q,R$が存在するかが問題ですが次のようにすればよい．
まず，自己共役点でない点をとりそれを$P$とする．$P$の極線$l$上に自己共役でない点を とりそれを点$Q$とし，$Q$の極線を$m$とする．$P,Q$は共役であるから$m$は $P$を通る．２直線$l,m$の交点を$R$とすると，$R$の極線は$P,Q$を通る．すなわち， 直線$PQ$である．
極三角座標系$[P,Q,R;E]$での$P,Q,R$の射影座標は
$P(1,0,0),Q(0,1,0),R(0,0,1)$であり，
直線$l,m,n$の射影座標は
$l(1,0,0),m(0,1,0),n(0,0,1)$
であるから，この相反対合変換$f$は
$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}k_1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}0\\k_2\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}0\\0\\k_3\end{pmatrix} $
であるから
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$
$k\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{k_1}&0&0\\0&\frac{1}{k_2}&0\\0&0&\frac{1}{k_3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}$
である．

例
相反対合変換
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&3\\0&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$
の極三角形を作り，対角化を行う．
$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&3\\0&3&1\end{pmatrix}$
とおく．
$P(0,1,-1)$の極線は$l(1,1,-2)$である,すなわち$x+y-2z=0$であるから，$P$は自己共役点でない．
直線$l$上の点$Q(1,-1,0)$をとり，$Q$の極線は$m(2,-3,-3)$.$Q$も自己共役点でない．
直線$l,m$の交点は$R(9,1,5)$.ちなみに$R$の極線$n(1,1,1)$は$P,Q$を通る．
$E(10,1,4)$をとり，極三角座標系$[P,Q,R:E]$をつくる．
点のもとの座標系の座標$(p_1,p_2,p_3)$と極三角座標系の座標$(q_1,q_2,q_3)$の関係は
$B=\begin{pmatrix}0&1&9\\1&-1&1\\-1&0&5\end{pmatrix}$
とおくと
$k\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}$
であり，$B$の余因子行列(逆行列でもよい)を$C$とすれば
直線のもとの座標系の座標$(L_1,L_2,L_3)$と極三角座標系の座標$(M_1,M_2,M_3)$の関係は
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=C^T\begin{pmatrix}M_1\\M_2\\M_3\end{pmatrix}$
であるから
$kC^T\begin{pmatrix}M_1\\M_2\\M_3\end{pmatrix}=AB\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}$
したがって，
$k\begin{pmatrix}M_1\\M_2\\M_3\end{pmatrix}=B^TAB\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}$
ここで
$B^TAB=\begin{pmatrix}0&1&-1\\1&-1&0\\9&1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&3\\0&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&9\\1&-1&1\\-1&0&5\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&5&0\\0&0&120\end{pmatrix}$
すなわち
$k\begin{pmatrix}M_1\\M_2\\M_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&5&0\\0&0&120\end{pmatrix} \begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}$

極三角座標系を用いると射影変換は対角化されることが分かった． これは線型代数の言葉を用いれば，
任意の正則(逆行列の存在する)な対称行列$A$は，正則な行列を用いて
$B^TAB=\begin{pmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{pmatrix}$
とできる．
である．線型代数では，対称行列の対角化は，通常固有ベクトルが直交することを用いて直交行列で対角化するのであるが，すでに書いてきたように，今考えている 射影平面は角や長さの概念はないので固有値の議論を用いるわけにはいかない．
つぎのように行えばよい．

対称行列
$A=\begin{pmatrix}a&p&q\\p&b&r\\q&r&c\end{pmatrix}$
の対角成分$a,b,c$のうちで$0$でないものがあるとき，必要なら次の式の$x,y,z$ の順番を入れ替えて$a\neq 0$とする．
$ax^2+by^2+cz^2$
$+2pxy+2qxz+2ryz$
$=\dfrac{(ax+py+qz)^2}{a}$
$+(y,z\text{だけの2次式})$
であるから
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&p&q\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
の逆変換を表す行列を$C$すなわち
$C=\begin{pmatrix}a&p&q\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}^{-1}$
とすれば
$C^TAC=\begin{pmatrix}k_1&0&0\\0&b'&p'\\0&p'&c'\end{pmatrix}$
となる．実際の計算は右図．
続けて，行列
$\begin{pmatrix}b'&p'\\p'&c'\end{pmatrix}$
対して
$\begin{pmatrix}b'&p'\\0&1\end{pmatrix}$
の逆行列を用いて同じことを行えばよい．

対角成分がすべて$0$の場合，すなわち
$A=\begin{pmatrix}0&p&q\\p&0&r\\q&r&0\end{pmatrix}$
の場合が残っている．これは
$pxy+qxz+ryz$
$=\dfrac{(py+qz)(px+rz)}{p}-\dfrac{qrz^2}{p}$
であるから
$\begin{cases}x'+y'=py+qz\\x'-y'=px+rz\\z'=z\end{cases}$
すなわち
$\begin{cases}x'=\dfrac{px+py+(q+r)z}{2}\\\dfrac{-px+py+(q-r)z}{2}\end{cases}$
で決まる行列の逆行列を用いればよい．(右図)

証明を見てわかるように，これは$n$次の対称行列でも成り立つ性質である．

相反対合変換が双曲型(自己共役点が存在する)，楕円型(自己共役点が存在しない)の どちらであるかの判断方法調べよう．
自己共役点は
$\begin{pmatrix}p_1&p_2&p_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=0$
を満たす$(p_1,p_2,p_3)$であるから
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}$
とおくと
$A$が楕円型$\Longleftrightarrow \ A$が正値(固有値がすべて正)または負値(固有値がすべて負)
である.
まず，行列$A$が正値であるための条件を調べよう．
命題
行列
$\begin{pmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{pmatrix}$ が正値
$\Longleftrightarrow$
$a > 0,\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix} > 0,\begin{vmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{vmatrix} > 0$

まず，２次の対角行列でこの性質を示す．すなわち
$\begin{pmatrix}a&h\\h&b\end{pmatrix}$が正値$\Longleftrightarrow　a > 0 ,\begin{vmatrix}a&h\\h&b\end{vmatrix} > 0$
を示す．
行列$\left(\begin{smallmatrix}a&h\\h&b\end{smallmatrix}\right)$の固有方程式は
$x^2-(a+b)x+(ab-h^2)=0$
より，固有値を$\alpha ,\beta$とする.
$a > 0,ab-h^2 >0$のとき，
$\alpha \beta =ab-h^2 > 0$より$\alpha ,\beta$は同符号．
$a > 0$及び　$ab > h^2\geqq 0$より$b > 0 \ \ \therefore a+b >0$
$\alpha +\beta =a+b > 0$
より$\alpha > 0, \beta > 0$
したがって，行列$\left(\begin{smallmatrix}a&h\\h&b\end{smallmatrix}\right)$は正値行列である．
逆に，行列$\left(\begin{smallmatrix}a&h\\h&b\end{smallmatrix}\right)$が正値行列のとき，
$\begin{pmatrix}x&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&h\\h&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}=ax^2 >0 (x\neq 0)$
より，$a > 0$.また， $\begin{vmatrix}a&h\\h&b\end{vmatrix}=\alpha \beta >0$
より逆も成り立つ．
命題の証明を完成させる．
$(\Leftarrow)$
$a > 0,\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix} > 0,\begin{vmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{vmatrix} > 0$
のとき，
$A=\begin{pmatrix}a&p\\p&b\end{pmatrix},d=A^{-1}\begin{pmatrix}q\\r\end{pmatrix},e=c-\begin{pmatrix}q&r\end{pmatrix}A^{-1}\begin{pmatrix}q\\r\end{pmatrix}$
とおく.このとき，仮定の最初の２条件より$A$は正値である.
$\begin{pmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E&0\\d^T&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A&0\\0&e\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E&d\\0&1\end{pmatrix}$
となることを利用する．この式が成り立つことは簡単な計算である．
式からわかるように，
$\begin{vmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&0\\0&e\end{vmatrix}$
である．一方，
$\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix} > 0,\begin{vmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{vmatrix} > 0$
より$e >0$，$A$の固有値はともに正であるから$\left(\begin{smallmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{smallmatrix}\right)$の固有値はすべて正，すなわち正値である．
$(\Rightarrow)$
$x\neq 0$のとき
$\begin{pmatrix}x&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}=ax^2 > 0$
より$a > 0$
$(x,y)\neq (0,0)$のとき
$\begin{pmatrix}x&y&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&p\\q&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} > 0$
より
$\left(\begin{smallmatrix}a&p\\q&b\end{smallmatrix}\right)$は正値．したがって
$\begin{vmatrix}a&p\\p&b\end{vmatrix} > 0$
最後に，$\left(\begin{smallmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{smallmatrix}\right)$が正値であるから
$\begin{vmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{vmatrix} > 0$
が成り立つ．


$A=\begin{pmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{pmatrix}$
が負値のとき$-A$が正値．したがって
$-a > 0,\left|\begin{smallmatrix}-a&-p\\-q&-b\end{smallmatrix}\right| > 0, \left|\begin{smallmatrix}-a&-p&-q\\-q&-b&-r\\-r&-q&-c\end{smallmatrix}\right| > 0$
すなわち，
$a < 0,\left|\begin{smallmatrix}a&p\\q&b\end{smallmatrix}\right| > 0, \left|\begin{smallmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{smallmatrix}\right| <0$
以上をまとめると次のようになる．

命題
$A=\begin{pmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{pmatrix}$
が楕円型の相反対合変換であるための必要十分条件は
$a\cdot \begin{vmatrix}a&p&q\\q&b&r\\r&q&c\end{vmatrix} > 0, \begin{vmatrix}a&p\\q&b\end{vmatrix} > 0$
である．

相反対合変換が誘導する直線上の対合変換
$F$を射影平面上の相反対合変換とする．
点$A$が$F$の自己共役点でないとき考える．
$A$の極線を$l$すなわち$A$の$F$による像を$l$とする．このとき，$A$は$f$ の自己共役点でないから$A$は$l$上にない．
$l$上の点$P$に対して$l$上の点$P'$を対応させる変換
$f:l\to l;P\mapsto P'$
を$P'$は$F(P)$と$l$の交点
で定義する．
このとき$f$は対合変換である．
証明
$P,Q,R,S$を$l$上の点として
$F:P\mapsto l_P,Q\mapsto l_Q,R\mapsto l_R,S\mapsto l_S$
さらに４直線$l_P,l_Q,l_R,l_S$と$l$との交点をそれぞれ$P',Q',R',S'$とすると，$F$ から定まる$l$上の変換$f$により
$P\mapsto P',Q\mapsto Q',R\mapsto R',S\mapsto S'$
である．
$f:l\to l$
が複比を保つことは
$F$が相反対合変換より
$[P,Q;R,S]=[l_P,l_Q;l_R,l_S]$
さらに配景対応より
$[l_P,l_Q;l_R,l_S]=[P',Q';R',S']$
次に，$f\circ f=\mathrm{id}$は
$f(P)=P'$のとき，$P,P'$は共役であるから，$F(P')$は$P$をとおる．
したがって$f(P')=P$が成り立つ．

$f$を$F$から誘導された対合変換という．

1.2次曲線の相反対合変換による定義

射影幾何の目次


全体の目次