拡大ユークリッド平面すなわち，正規直交座標系$[A,B,C;E]$を定めた拡大アフィン平面上のアフィン変換(無限遠直線を無限遠直線にうつす射影変換) のうち，虚円点の集合$\{I,J\}$を保つものを相似変換という．相似変換のうち$I,J$を変えないすなわち
$I\mapsto I,J\mapsto J$
の相似変換を正の相似変換，$I,J$を入れ替えるすなわち
$I\mapsto J,J\mapsto I$
の相似変換を負の相似変換という．
相似変換の変換式を求めよう．
アフィン変換は
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\det \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}\neq 0$
である．
正の相似変換は
$(1,i,0)\mapsto (1,i,0)$
であるから
$\begin{pmatrix}k\\ki\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}+a_{12}i\\a_{21}+a_{22}i\end{pmatrix}$
したがって
$a_{21}+a_{22}i=i(a_{11}+a_{12}i)$
より
$a_{11}=a_{22},a_{12}=-a_{12}$
負の相似変換は
$(1,i,0)\mapsto (1,-i,0)$
であり，同様の計算より
$a_{11}=-a_{22},a_{12}=a_{12}$
したがって，正の相似変換は
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-b&p\\ b&a&q\\0&0&r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\det \begin{pmatrix}a&-b&p\\ b&a&q\\0&0&r\end{pmatrix}\neq 0$
であり，負の相似変換は
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&p\\ b&-a&q\\0&0&r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\det \begin{pmatrix}a&b&p\\ b&-a&q\\0&0&r\end{pmatrix}\neq 0$
である．
非斉次座標では
$\dfrac{x'}{z'},\dfrac{y'}{z'},\dfrac{x}{z},\dfrac{y}{z},\dfrac{a}{r},\dfrac{b}{r}\dfrac{p}{r},\dfrac{q}{r}$
をそれぞれ$x',y',x,y,a,b,p,q$とすれば
正の相似変換は
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$
ここで，$a^2+b^2=k^2,a=k\cos \theta,b=k\sin \theta$とおくと
$=k\begin{pmatrix}\cos \theta&-\sin \theta \\\sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$
負の相似変換は
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}\cos \theta&\sin \theta \\-\sin \theta&\cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$
となる．
相似変換のうち，$k=1$すなわち$a^2+b^2=1$のとき合同変換という．


8.角度の射影的定義

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