ここでは，アフィン平面，ユークリッド平面を射影平面の部分幾何として捉える．
まず，部分幾何の説明が必要である．
部分幾何の意味を理解するには，クラインの主張する幾何学の 研究方法を理解する必要がある．
通常は「図形の変換群で保たれる性質を研究する学問」と言われています． がこれだけでは分かりづらい．
ユークリッド幾何（通常の平面幾何）で説明する．
中学，高校で学ぶ平面幾何は，２つの図形が合同なとき， すなわち２つの図形が重ね合わせることができるとき， 同じ図形と考えます．
平面幾何の定理は図形の場所が変わっても合同な図形なら成り立つ性質を研究する学問とみることができます．
クラインはこの内容を次のように捉えました．
ユークリッド平面$\mathbb{R}^2$間の距離を変えない変換
$f:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2$
全体の集合を$G$とする．この集合を合同変換群という．
ここで，$\mathbb{R}^2$の２つの図形$S,S'$に対して
$S\equiv S'$を
$f(S)=S'$をみたす$f\in G$が存在する
で定義します．
クラインは考えている空間$\mathbb{R}^2$とそこに作用する変換群$G$の 組$\{\mathbb{R}^2,G\}$が一つの幾何学を構成すると主張しました．
変換群により合同であることを定め(同じ図形と考えるといってもよい) 合同な図形で成り立つ性質， すなわち，変換群で保たれる性質を調べる学問であると主張しました．
たとえば，
$\triangle ABC$で$AB=AC\Rightarrow \angle B=\angle C$
は合同変換でうつしても成り立つのでユークリッド幾何の命題です．
といっても分かりづらい．それは合同が見慣れているからです．射影変換で考えると大分分かり易くなる．
射影変換は
1.直線の像は直線
2.直線上にある点の複比を変えない
です．この変換群で保たれる性質を調べます．
たとえば，
定理(パスカル)
円に内接する6角形の対辺の交点は１直線上にある．

これは射影幾何の定理です．
中心射影は射影変換であり， 中心射影で，円の像は２次曲線で，接することや共線条件は保たれます．
したがって，円で成り立ては２次曲線で成り立つことが分かる．
したがって，パスカルの定理は，円で成り立つことを証明すれば， それは２次曲線で成り立つことを証明したことになる．
変換の保つ性質に注目して問題を解決することは 身近なところでも見かけます．
たとえば，１次変換
$\begin{cases}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{cases}$
で領域の面積は$|ad-bc|$倍になるので，２つの図形の面積の比は変えません．
円に内接する三角形の面積が最大になるのは正三角形のときであるから，
楕円
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
に内接する最大面積の三角形の頂点は
$(a\cos \theta,b\sin \theta),(a\cos (\theta+\frac{2\pi}{3}),b\sin (\theta+\frac{2\pi}{3})),(a\cos (\theta+\frac{4\pi}{3}),b\sin (\theta+\frac{4\pi}{3}))$
である．
これらの例で，変換群が保つ性質に注目することの重要性が分かると思います．

ここで$\mathbb{R}^2$に作用する集合が変換群と群を付けいています． それを説明します．
$S\equiv S'$とは$S$と$S'$は同じと考えることです．ですから当然
$1,S\equiv S$
$2.S\equiv S'$なら$S'\equiv S$
$3.S\equiv S',S'\equiv S"$ならば$S\equiv S"$
が成り立たなければいけません．
ここで，ユークリッド平面$\mathbb{R}^2$の原点を通る直線 に関する対称変換すべての集合を$T$とし，$\{\mathbb{R}^2,T\}$は 幾何学になるでしょうか．
そうなりません．それは
上記の1,3が成り立たない．
すなわち $f(S)=S$を満たす$f$が存在するとは限らない(Sが線対称でない限り$f$は存在しない)し
$g\in T$のとき$g\circ g$は恒等変換で恒等変換は対称変換ではありません．
一方，上記の３条件は幾何学となる変換の集合は群であることを示しています．
すなわち,1は単位元の存在，２は逆元の存在，３は演算が閉じているです．
空間$X$と$X$に作用する変換群$G$を与えたとき，一つの幾何学$\{X,G\}$が定まりますが， ここで$G$の部分群$G_0$を考えても新しい幾何学$\{X,G_0\}$が定まります. 幾何学$\{X,G_0\}$を幾何学$\{X,G\}$の部分幾何学といいます．部分幾何は合同となる図形が少なくなるわけです．

さて，これから扱う空間は２次元射影平面$P^2$です．変換群を部分群にすることにより， アフィン幾何，相似幾何(ユークリッド幾何を含む)を作り出し, さらに，双曲幾何，楕円幾何を扱います．双曲幾何の中で非ユークリッド幾何 をクラインの方法にしたがって説明します．

本題に入る前に，アフィン平面，射影平面，斉次座標の定義を確認し， 今までの議論の流れを整理する．これからの理解を助けると思う．
まずアフィン平面からはじめます．
アフィン平面の定義は次の通りです．
定義
２次元アフィン平面$H$は空集合でなく，要素を点と呼び，実数$\mathbb{R}$上の２次元ベクトル空間$V$と 次の関係があるもである．
1.$H$上の２点$A,B$に対して$V$上のただ一つのベクトル$\overrightarrow{AB}$が定まる．
2.$H$上の点$A$と$V$のベクトル$\overrightarrow{v}$に対して$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$を満たす$H$上の点$B$ がただ一つ決まる．
3.$H$上の２点$A,B$が一致するのは$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\in V$のときで，そのときに限る．
4.$H$上の任意の３点$A,B,C$に対し て$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ が成り立つ．
このとき，$H$を２次元アフィン平面と呼び，ベクトル空間$V$を$H$の対応するベクトル空間と呼ぶ

わかりづらいけど，要するに，アフィン平面とは原点とする１点をどこでもいいから 定めれば２次元ベクトル空間である,すなわち平面だということです．
ここで重要なことは，計量を与えていないことです．
すなわち，アフィン平面は， 長さや角の概念がない，原点を定めない平面だということです．
正確に言うと，ここで述べた平面はアフィン平面のモデルです．

次に，アフィン平面にアフィン座標系定めます．
１点$O$と，一次独立な２つのベクトル$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$によるアフィン座標系$\sigma =[O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}]$ を定め，アフィン平面上の任意の点$P$に対して，
$\overrightarrow{OP}=p_1\overrightarrow{e_1}+p_2\overrightarrow{e_1}$
のとき，順序のついた２数$(p_1,p_2)$をアフィン座標系$\sigma$におけるアフィン座標という．
次にアフィン座標系が与えられたアフィン平面に無限遠点，無限遠直線を導入する．当然意味なく無限遠点を導入したわけではありません． まずなぜ無限遠点を定義する必要があるかから説明する．
それは中心射影を合理的に解決するためです．

３次元空間内に平行でない２平面$\pi,\pi '$と$\pi,\pi '$上にない 点$O$が与えられたとき，写像
$f:\pi \longrightarrow \pi ';P\mapsto P'$
を$P'$を直線$OP$と平面$\pi '$の交点で定義する．
この写像を$O$を極とする中心射影または極射影という．
中心射影は像がないすなわち定義できない点もあれば上への写像でもありません．
実際右図で$A$を動かして$OA\parallel \pi '$とすれば$A$の像$A'$は 平面$\pi '$上にはありません． また，$OA'$と$\pi$の交点を$A$とみれば，$OA'\parallel \pi$のとき，$A'$の原像は$\pi$にはありません．
さらに，$OA\parallel \pi '$を満たす$A$をとり，$A$を通り$\pi '$ に平行な直線($O$を通り$\pi '$と平行な平面と$\pi$の交線)上の点の像は$\pi '$上には存在しません．
そこで，中心射影
$f:\pi \to \pi '$
を１対１上への写像にするために無限遠点を導入しました．
ここで，平面$\pi ,\pi '$は原点は定められていないが，ベクトルの演算はできるアフィン平面であることに注意しよう．
無限遠点を付け加えたアフィン平面を拡大アフィン平面といい，この拡大アフィン平面が射影平面です．
次にアフィン平面に無限遠点をどのように定義するかを考えます．それは斉次座標です．

点を２直線の交点ととらえると考えやすい．
２直線
$ax+by+c=0,px+qy+r=0$
が平行でないとき，この２直線の交点は
$x=\dfrac{\begin{vmatrix}b&c\\q&r\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}}, y=\dfrac{\begin{vmatrix}c&a\\r&p\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}}$
ここでは，２直線が平行なとき，すなわち$aq-bp=0$のときの交点を考えたい．
$ax+by+c=0$
は$k$倍して
$akx+bky+ck=0$
としてもよいから，
$(x_0,y_0)$が解なら，$(kx_0,ky_0,k)$も解と考えてよい．
$(x,y)$を$(kx,ky,k)$すなわち連比
$x:y:1$
と考える．連比であるから任意の定数$k\neq 0$に対して
$x:y:1=kx:ky:k$
が成り立つ．
このように考えれば，
２直線
$ax+by+c=0,px+qy+r=0$
の交点は
$\dfrac{\begin{vmatrix}b&c\\q&r\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}}: \dfrac{\begin{vmatrix}c&a\\r&p\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}}:1 =\begin{vmatrix}b&c\\q&r\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}c&a\\r&p\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}a&b\\p&q\end{vmatrix}$
となり，右辺は$aq-bp=0$のときも使える．
$aq-bp=0$のとき２直線の交点は
$\begin{vmatrix}b&c\\q&r\end{vmatrix}:\begin{vmatrix}c&a\\r&p\end{vmatrix}:0$
となる．この点が２直線$ax+by+c=0,px+qy+r=0$のそれぞれの無限遠点に対応する．

したがって，次のような定義が生まれるわけです．
アフィン座標系における斉次座標を定義する．
アフィン座標系$[O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}]$が与えられたアフィン平面上で，以下の３条件を満たす順序の付いた３実数の組 $(x_1,x_2,x_3)\neq (0,0,0)$をアフィン平面上の斉次アフィン座標という．
1.$k\neq 0$のとき$(kx_1,kx_2,kx_3)$と$(x_1,x_2,x_3)$は同じ点の斉次座標である．
2.$x_3\neq 0$のとき，$(x_1,x_2,x_3)$は$\frac{x_1}{x_3}\overrightarrow{e_1}+\frac{x_2}{x_3}\overrightarrow{e_1}$である点の斉次座標である．
3.$x_3=0$のとき$(x_1,x_2,0)$は無限遠点を表す．

斉次座標を用いて，アフィン平面に無限遠点が導入された．無限遠点が導入された アフィン平面を拡大アフィン平面と呼び，拡大アフィン平面における斉次座標を斉次アフィン座標または単に斉次座標という．
アフィン平面上で直線の方程式が定義されたが，それを利用して 拡大アフィン平面上に直線の方程式を導入する．

アフィン座標系では，直線の方程式は,定数$a,b,c$を用いて
$ax+by+c=0　\ \cdots (1)$
と表せる．
斉次座標における$(x,y,z)$は$z\neq 0$のとき$(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$であるから，(1)の$x,y$を $\frac{x}{z},\frac{y}{z}$で置き換えた
$a\dfrac{x}{z}+b\dfrac{y}{z}+c=0$
分母を払い$(1)$は
$ax+by+cz=0 \ \ ( \ a,b,c\text{は同時に}0\text{にならない})$
となる．
すなわち，$x,y,z$の定数項を含まない１次式が斉次座標における直線の方程式である．
ここで，$z=0$は平面上の無限遠点全てを表し， さらに$x,y,z$の定数項を含まない１次式であるから直線である．この直線を無限遠直線と呼ぶ．
以後考えるのは，特別な場合を除いて，平面は拡大アフィン平面で，座標は アフィン座標系を用いて定義された斉次座標である．

ここで，少し注意が必要である．
すでに，拡大アフィン平面が射影平面と書いたが，正確には射影平面のモデルの一つであるというべきものです．
モデルというのは，数学でよく出てきますが，定義が抽象的なとき，その定義を満たす具体例のことです．
たとえば，非ユークリッド幾何において，平行線の第５公理がほかの公理と独立であることが，モデル（具体例）を通して多くの人に 理解されるようになりました．
ここで射影平面の定義を見てみましょう．
なお，ここでは２次元射影平面の定義をしますが，$n$次元でも変わりません．
２次元射影平面$P^2$とは3次元ベクトル空間$V^3$を用いて次のように定義されるもである．
1. $P^2$は点と直線からなる集合である．
$P^2$と$V^3$は次の関係がある．
2.$P^2$の点は$V^3$の１次元ベクトル空間と対応している．
3.$P^2$の直線は$V^3$の2次元ベクトル空間と対応している．
$P^2$の点と直線の関係の結合関係は次の通り．
4. $P^2$の点と直線で，点に対応する$V^3$の一次元ベクトル空間が直線に対応する2次元ベクトル空間に含まれるとき， 点と直線は結合しているという．

$P^2$の点を見たとき，無限遠点と普通点の区別がつかないことに注意しましょう．
拡大アフィン平面と射影平面の定義を見比べて，拡大アフィン平面が射影平面の定義を満たすことがわかる（第２章§３）．これが射影平面のモデルという意味です．
射影平面のモデルはいくつか考えられており，それは位相幾何の本を参照されるとよい．

次にアフィン平面上定義した斉次座標を用いて 拡大アフィン平面上に斉次座標の座標系を導入する．
まず，斉次アフィン座標を見直しましょう．
点$P$の斉次座標が$(x_0,y_0,z_0)$のとき
$(x_0,y_0,z_0)=x_0(1,0,0)+y_0(0,1,0)+z_0(0,0,1)$
である．$(1,0,0)$は$x$軸上の無限遠点で$e_{x\infty}$, $(0,1,0)$は$y$軸上の無限遠点で$e_{y\infty}$，$(0,0,1)$は原点で$e_O$と表すと
$(x_0,y_0,z_0)=x_0e_{x\infty}+y_0e_{y\infty}+z_0e_O \ \cdots (1)$
となる．
したがって，$[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O]$を座標系に取り 点を$(1)$の形で表せば，使い慣れたベクトル空間と 同じで便利であるが，問題点があります．
それは，それぞれの$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標での表し方は一通りでないことです．
たとえば，
$e_{x\infty}=(k_1,0,0),e_{y\infty}=(0,k_2,0),e_O=(0,0,k_3) \ \cdots (2)$
とすると
$(x_0,y_0,z_0)=\dfrac{x_0}{k_1}e_{x\infty}+\dfrac{y_0}{k_2}e_{y\infty} +\dfrac{z_0}{k_3}e_O$
このようにアフィン座標系の基本ベクトルは変わらないのに， 斉次座標での表示は定まりません．
この問題を解決しなければなりません．
$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標を考えれば分かるように
$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O$
はすべての点を表すことができる．$(\because (2)$を見ればよい$)$
そこで$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O,e$のどの３点も１直線上にないように点$e$をとり
$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O=e$
により$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標を定める．
たとえば,
$e=(2,3,4)$なら$e_{x\infty}=(2,0,0),e_{y\infty}=(0,3,0),e_O=(0,0,4)$
であり，
$e=(2k,3k,4k)$なら$e_{x\infty}=(2k,0,0),e_{y\infty}=(0,3k,0),e_O=(0,0,4k)$
である．
すなわち，$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O$を定めれば，$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標が制限され問題が解決します．
実際，任意の点$p=(p_1,p_2,p_3)$は
$e=(2,3,4)$のとき
$p=\dfrac{p_1}{2}e_{x\infty}+\dfrac{p_2}{3}e_{y\infty}+\dfrac{p_4}{4}e_0$
より
$p(\dfrac{p_1}{2},\dfrac{p_2}{3},\dfrac{p_3}{4})$
であり，$e$の斉次座標を
$e=(2k,3k,4k)$
とするなら
$p(\dfrac{p_1}{2k},\dfrac{p_2}{3k},\dfrac{p_3}{4k})$
となり，$(\dfrac{p_1}{2},\dfrac{p_2}{3},\dfrac{p_3}{4})$と$(\dfrac{p_1}{2k},\dfrac{p_2}{3k},\dfrac{p_3}{4k})$は同じ斉次座標である．
まとめると，３点$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$および$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O$ を定めれば，$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$の斉次座標が定まり，平面上の点$P$が
$xe_{x\infty}+ye_{y\infty}+ze_O$
と表せ，$P$の座標が$(x,y,z)$とできる．
アフィン座標系は原点をどこにとってもよく，$x$軸，$y$軸は平行でなければどのようにとっても良いから，次のようになる．
無限遠点を２点$e_{x\infty},e_{y\infty}$,普通点$e_O,e$をとり，
$e_{x\infty}+e_{y\infty}+e_O=e$
を満たす座標系を$[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O;e]$と表し斉次アフィン座標系という．

さて，斉次アフィン座標系では無限遠点とそれ以外の点である普通点（有限点）は区別できます， すなわち$z$成分が$0$であるかどうかを見ればすぐわかります． これから拡大アフィン平面で無限遠点と普通点を区別しない座標系を作ります．
斉次アフィン座標系$[e_{x\infty},e_{y\infty},e_O;e]$の$e_{x\infty},e_{y\infty},e_O$はそれぞれ$x$軸上の無限遠点，$y$軸上の無限遠点，原点ですが， この３点がどこであっても一直線上になければ(1次独立であれば)点を定めることができます．そこで新しい座標系を 次のように作ります．
4点$e_1,e_2,e_3$および$e$は，いずれの３点も同一直線上にない．
このとき，$e_1,e_2,e_3,e$の間に
$e=e_1+e_2+e_3$
の関係を持たせれば，$e_1,e_2,e_3,e$により斉次座標系$\sigma=[e_1,e_2,e_3;e]$が定まり，平面上の任意の点$P(p)$に対して
$p=xe_1+ye_2+ze_3$
となる実数の組$(x,y,z)$が定数倍を除き一通りに定まる．
このように作った斉次座標系$\sigma=[e_1,e_2,e_3;e]$を射影座標系といい，$(x,y,z)$を射影座標系$\sigma$の 射影座標という．
$e_1,e_2,e_3$をこの射影座標系$\sigma$の基本点，$e$を単位点という．
射影座標系$[e_1,e_2,e_3;e]$における，基本点$e_1,e_2,e_3$,単位点$e$ 射影座標は
$e_1(1,0,0),e_2(0,1,0),e_3(0,0,1),e(1,1,1)$
である．

次に，射影平面に導入された２つの射影座標系$\sigma =[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c};\boldsymbol{e}],\sigma '=[\boldsymbol{a'},\boldsymbol{b'},\boldsymbol{c'};\boldsymbol{e'}]$の変換式を調べよう． なお，ここだけ，ベクトルとその成分であるスカラーが混在するので，ベクトルは太文字(ボールド体)を用いる．なお，ベクトルはすべて列ベクトルである．
この変換式が次に述べる射影変換の基礎となります．
射影平面上の任意の点$\boldsymbol{p}$が
$\boldsymbol{p}=p_1\boldsymbol{a}+p_2\boldsymbol{b}+p_3\boldsymbol{c}=p_1'\boldsymbol{a'}+p_2'\boldsymbol{b'}+p_3'\boldsymbol{c'} \ \cdots (\sharp)$
のとき$p_1,p_2,p_3$と$p_1',p_2',p_3'$の関係式を求めます．
射影座標系$\sigma '$の基本点$a',b',c'$の射影座標系$\sigma$による座標をそれぞれ
$\boldsymbol{a'}=(a_1,a_2,a_3)=a_1\boldsymbol{a}+a_2\boldsymbol{b}+a_3\boldsymbol{c}$
$\boldsymbol{b'}=(b_1,b_2,b_3)=b_1\boldsymbol{a}+b_2\boldsymbol{b}+b_3\boldsymbol{c}$
$\boldsymbol{c'}=(c_1,c_2,c_3)=c_1\boldsymbol{a}+c_2\boldsymbol{b}+c_3\boldsymbol{c}$
とする．これを行列を用いて表すと

$\begin{pmatrix}\boldsymbol{a'}&\boldsymbol{b'}&\boldsymbol{c'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}\cdots (\flat)$
とおく．
$(\sharp)$は
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\boldsymbol{a'}&\boldsymbol{b'}&\boldsymbol{c'}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1'\\p_2'\\p_3'\end{pmatrix}$
であるから$(\flat)$を代入し
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{c}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{a'}&\boldsymbol{b'}&\boldsymbol{c'}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_1'\\p_2'\\p_3'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{c}\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$
$a,b,c,a',b',c'$は列ベクトルとみているので，行列$(a \ b \ c)$は正則．したがって
$\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}p_1'\\p_2'\\p_3'\end{pmatrix}$
さらに，斉次性を考え
$k\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}p_1'\\p_2'\\p_3'\end{pmatrix},\det A\neq 0$
となる．

つぎに射影平面の射影変換を復習する．
射影幾何では点と直線を同等に扱うので，射影平面の変換は
点の像が点，点の像が直線
の２種類を考える必要がある．特に後者は２次曲線を考えるときに重要であり本文で述べたとおりである．
ここでは，点を点にうつす射影平面の変換に限って簡単に述べる．
まず，射影変換の定義からはじめる．
定義
射影平面から射影平面への点を点にうつす次の２条件を満たす変換を射影変換という．
1. 直線上にある３点を直線上の３点にうつす．
2. 一直線上の点に対して複比を保つ．

ここで注目することは，射影変換の定義で線型性の仮定はないことです． なお，アフィン変換の定義も線型性は仮定していません．
中心射影は射影変換の２条件を満たしています．したがって，射影変換の２条件は 中心射影から抽出した性質です．
射影変換の基本となるのは次の命題です．
命題1
射影座標系$\sigma =[A(a),B(b),C(c);E(e)]$が与えらえた射影平面の射影変換$f$で
$f:a\mapsto a',b\mapsto b',c\mapsto c',e\mapsto e'$
とする．
$p=xa+yb+zc$の$f$による像を$p'$を新しい射影座標系$\sigma '=[A'(a'),B'(b'),C'(c');E'(e')]$で表したとき
$p'=x'a'+y'b'+z'c'$
は
$(x',y',z')=k(x,y,z),k\neq 0$
を満たす．

証明は本文を読んでもらうとして話を続ける．
$f:xa+yb+zc\mapsto x'a+y'b+z'c$
のとき，
$\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$
$=x'a+y'b+z'c=xa'+yb'+zc'$
$=\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
ここで，行列$A$は$a',b',c'$を$a,b,c$で表した
$A=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix},\det A\neq 0$
である．
したがって斉次性を考慮して
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
となる．

射影変換が逆行列をもつ行列で表せることが分かりました．しかし斉次性より$k$がついているので使いづらい．もう少し 射影変換の性質を調べます．
命題2
射影平面の射影変換は，どの３点も同一直線上にない異なる４点を 動かさなければ恒等変換である．
証明
動かさない４点を$A(a),B(b),C(c),E(e)$とし，この４点で定まる射影座標系 $\sigma =[a,b,c;e]$で考える．
この座標系で$a,b,c,e$の斉次座標はそれぞれ
$a=(1,0,0),b(0,1,0),c(0,0,1),e(1,1,1)$
であり，
$f:a\mapsto a,b\mapsto b,c\mapsto c,e\mapsto e$であるから
$A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1\\0\\0\end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\k_2\\0\end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\k_3\end{pmatrix}$
したがって，
$A=\begin{pmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{pmatrix}$
さらに
$A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_4\\k_4\\k_4\end{pmatrix}$
したがって
$k_1=k_2=k_3(=k_4)$
$f$は恒等変換である．

さらに次の命題が成り立つ．次の命題はしばしば用いられる．
命題3
射影平面上にどの３点も同一直線上にない４点$a,b,c,d$ともう一組のどの３点も 同一直線上にない４点$a',b',c',d'$が与えられたとき，
$f:a\mapsto a',b\mapsto b',c\mapsto c',d\mapsto d'$
を満たす射影変換$f$がただ一つ存在する．
証明は本文にあります．

以上が射影平面，射影変換の概略です．射影平面の射影変換全体は群をなし，その群を射影変換群といい$G$ 表す．
クラインの考えに従えば，射影平面$P^2$において射影変換群$G$で保たれる図形の性質を調べるのが射影幾何学です．
これから行うことは，射影変換群の部分群を考えることにより，アフィン幾何，相似幾何，ユークリッド幾何，さらに双曲幾何，楕円幾何を 考えることです．


2.アフィン幾何

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