今まで，射影直線の射影変換を扱ってきた．
ここでは，射影平面の射影変換を扱う．
射影平面の射影変換には２通りあり，一つは点を点にうつし， 直線は直線にうつすものでこの変換を射影変換(collineation)という．もう一つは 点を直線にうつし，直線を点にうつすものである．この変換を相反変換(correlation)という．
ここで扱うのは射影変換で，相反変換は§7で扱う．
なお，このページではベクトルとその成分が混在し混乱しやすいので，ベクトルは太文字(ボールド体)を用いる．このページのベクトルは すべて列ベクトルである．
まず，射影変換の定義から始める．
定義1
射影平面の点を点にうつす変換で(1対1上への写像)，一直線上にある点は一直線上にうつし (直線の像が直線ということもある)かつ一直線上にある点の複比を 変えない（複比を保つともいう）ものを射影変換という．

注意
射影変換の定義は定義1で話を進めるが，一般の射影幾何の書における定義はもう 少し条件が緩く次のようになっている．
定義2
射影平面の点を点にうつす変換で，一直線上にある点は一直線上にうつすものを射影変換という．

もちろん，直線を直線にうつすだけで直線上の点の複比を保つことを導き出せるという意味であるが， 定義1で問題になることはない．本来は連続性も仮定した方がよいがここでは入れていない．下で述べる定義(窪田)を参照．

射影平面に射影座標系$[A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b}),C(\boldsymbol{c});D(\boldsymbol{d})]$を定めこの座標系で射影写像$f$を表す．
すなわち
$f:x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c} \mapsto x'\boldsymbol{a}+y'\boldsymbol{b}+z'\boldsymbol{c}$
のとき，$x',y',z'$を$x,y,z$で表すとどうなるかということです．
$f(\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a'},f(\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b'},f(\boldsymbol{c})=\boldsymbol{c'},f(\boldsymbol{d})=\boldsymbol{d'}$とし，新しい射影座標系$[\boldsymbol{a'},\boldsymbol{b'}, \boldsymbol{c'};\boldsymbol{d'}]$を射影座標系$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c};\boldsymbol{d}]$の像座標系と呼ぶ．
$\boldsymbol{a'}+\boldsymbol{b'}+\boldsymbol{c'}=\boldsymbol{d'}$であり，$\boldsymbol{a'},\boldsymbol{b'},\boldsymbol{c'}$を$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$で表す．
$\boldsymbol{a'}=p_1\boldsymbol{a}+p_2\boldsymbol{b}+p_3\boldsymbol{c}$
$\boldsymbol{b'}=q_1\boldsymbol{a}+q_2\boldsymbol{b}+q_3\boldsymbol{c}$
$\boldsymbol{c'}=r_1\boldsymbol{a}+r_2\boldsymbol{b}+r_3\boldsymbol{c}$
このとき 逆行列をもつ行列$\left(\begin{smallmatrix}p_1&q_1&r_1\\p_2&q_2&r_2\\p_3&q_3&r_3\end{smallmatrix}\right)$ を用いて
$\begin{pmatrix}\boldsymbol{a'}&\boldsymbol{b'}&\boldsymbol{c'}\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{c}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_1&q_1&r_1\\p_2&q_2&r_2\\p_3&q_3&r_3\end{pmatrix}$
と表せることに注意する．

射影座標系$[A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b}),C(\boldsymbol{c});D(\boldsymbol{d})]$における$P(x,y,z)$と 座標軸との関係は右図である．
実際，
$A\times D=(0,1,-1),$
$B\times C=(1,0,0)$
より$A_1(0,1,1)$
$A\times P=(0,z,-y)$より$P_1(0,y,z)$である．
他は同様に計算すればよい．
ここで，複比$[B,C;A_1,P_1]$を計算する．
$B(\boldsymbol{b}),C(\boldsymbol{c}),A_1(\boldsymbol{a_1}),P_1(\boldsymbol{p_1})$とすれば
$\boldsymbol{a_1}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\boldsymbol{p_1}=y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}$であるから
$[B,C;A_1,P_1]=\dfrac{y}{z}$.
射影変換$f$ではこの図が丸ごと動く．
実際
$f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C',D\mapsto D'$
のとき
直線$AD$と直線$BC$の交点$A_1$の像$A_1'$は，$A,D,A_1$は直線上にあるから射影変換の定義より $A',D',A_1'$は直線上，すなわち直線$A'D'$上にある．同様に直線$B'C'$ 上にあるから，$A_1'$は$A'D',B'C'$の交点である．
射影平面上の任意の点$P(\boldsymbol{p})$の射影座標系$[A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b});C(\boldsymbol{c}),D(\boldsymbol{d})]$で
$\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}=(x,y,z)$
のとき，$f(P)=P'(\boldsymbol{p'})$の$f$による像座標系$[A'(\boldsymbol{a'}),B'(\boldsymbol{b'});C'(\boldsymbol{c'}),D'(\boldsymbol{d'})]$における 座標を$\boldsymbol{p'}=(x',y',z')$とすると
$(x',y',z')=k(x,y,z)$
すなわち，$(x,y,z)$と$(x',y',z')$は同じ射影座標である．

ここまでの議論で，
射影変換$f$によって，
$x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}\mapsto k(xf(\boldsymbol{a})+yf(\boldsymbol{b})+zf(\boldsymbol{c}))\cdots (\sharp)$
が分かった．
$f(\boldsymbol{a}),f(\boldsymbol{b}),f(\boldsymbol{c})$を$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$で
$f(\boldsymbol{a})=p_1\boldsymbol{a}+p_2\boldsymbol{b}+p_3\boldsymbol{c}$
$f(\boldsymbol{b})=q_1\boldsymbol{a}+q_2\boldsymbol{b}+q_3\boldsymbol{c}$
$f(\boldsymbol{c})=r_1\boldsymbol{a}+r_2\boldsymbol{b}+r_3\boldsymbol{c}$
とおくと
$\begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a})&f(\boldsymbol{b})&f(\boldsymbol{c})\end{pmatrix}=k'\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{c}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_1&q_1&r_1\\p_2&q_2&r_2\\p_3&q_3&r_3\end{pmatrix}$
となる．
$(\sharp)$の右辺を行列表示する.
$k\begin{pmatrix}f(\boldsymbol{a})&f(\boldsymbol{b})&f(\boldsymbol{c})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
$=kk'\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{c}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_1&q_1&r_1\\p_2&q_2&r_2\\p_3&q_3&r_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
したがって，射影変換
$f:x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}\mapsto x'\boldsymbol{a}+y'\boldsymbol{b}+z'\boldsymbol{c}$
は$k$を取り換えて
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_1&q_1&r_1\\p_2&q_2&r_2\\p_3&q_3&r_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
となる．

どの３点も一直線上にない任意の４点の像が，どの３点も一直線上にない 任意の４点である射影変換を射影座標系を用いて行列表示した．

次に，４点の像を与えれば射影変換がただ一つ存在することすなわち一意性を証明する．
射影変換$f$が
$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\mapsto \boldsymbol{a'}=\begin{pmatrix}a_1'\\a_2'\\a_3'\end{pmatrix}, \ \ \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\mapsto \boldsymbol{b'}=\begin{pmatrix}b_1'\\b_2'\\b_3'\end{pmatrix}$
$\boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}\mapsto \boldsymbol{c'}=\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\c_3'\end{pmatrix}, \ \ \boldsymbol{d}=\begin{pmatrix}d_1\\d_2\\d_3\end{pmatrix}\mapsto \boldsymbol{d'}=\begin{pmatrix}d_1'\\d_2'\\d_3'\end{pmatrix}$
より，$A$が定まることを示せばよい．
$\begin{pmatrix}k_1a_1'&k_2b_1'&k_3c_1'\\k_1a_2'&k_2b_2'&k_3c_2'\\k_1a_3'&k_2b_3'&k_3c_3'\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix} $
より
$A=\begin{pmatrix}a_1'&b_1'&c_1'\\a_2'&b_2'&c_2'\\a_3'&b_3'&c_3'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}^{-1}$
$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}$はどの３つも同一直線上にないから
$\boldsymbol{d}=\alpha _1\boldsymbol{a}+\alpha _2\boldsymbol{b}+\alpha _3\boldsymbol{c}$
$=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha _1\\ \alpha _2\\ \alpha _3\end{pmatrix}$
(ただし，$\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3$はいずれも$0$でない)
と表せる.
したがって，
$A\boldsymbol{d}$
$=\begin{pmatrix}a_1'&b_1'&c_1'\\a_2'&b_2'&c_2'\\a_3'&b_3'&c_3'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha _1\\ \alpha _2\\ \alpha _3\end{pmatrix} $
$=\begin{pmatrix}a_1'&b_1'&c_1'\\a_2'&b_2'&c_2'\\a_3'&b_3'&c_3'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}k_1\alpha _1\\k_2\alpha _2\\k_3\alpha _3\end{pmatrix}$
$=k_1\alpha _1\boldsymbol{a'}+k_2\alpha _2\boldsymbol{b'}+k_3\alpha _3\boldsymbol{c'}$
一方$\boldsymbol{d}$と同様に$\boldsymbol{d'}$も
$\boldsymbol{d'}=\alpha _1'\boldsymbol{a'}+\alpha _2'\boldsymbol{b'}+\alpha _3'\boldsymbol{c'}$
と表し
$k_4\boldsymbol{d'}=A\boldsymbol{d}$
より
$k_4\alpha _1'\boldsymbol{a'}+k_4\alpha _2'\boldsymbol{b'}+k_4\alpha _3'\boldsymbol{c'}=k_1\alpha _1\boldsymbol{a'}+k_2\alpha _2\boldsymbol{b'}+k_3\alpha _3\boldsymbol{c'}$ $k_4\alpha _1'=k_1\alpha _1,k_4\alpha _2'=k_2\alpha _2,k_4\alpha _3'=k_3\alpha _3$
となり，$k_1,k_2,k_3$が決まるので行列$A$が確定する．

どの３点も一直線上にない４点$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}$ および$\boldsymbol{a'},\boldsymbol{b'},\boldsymbol{c'},\boldsymbol{d'}$が与えられたとき
$f:\boldsymbol{a}\mapsto \boldsymbol{a'},\boldsymbol{b}\mapsto \boldsymbol{b'}, \boldsymbol{c}\mapsto \boldsymbol{c'},\boldsymbol{d}\mapsto \boldsymbol{d'}$
を満たす射影変換がただ一つ存在することがわかった．このことは射影幾何学(射影変換で移りあう図形は互いに合同であると考える幾何学)ではすべての四角形が 互いに合同であることを意味する．
４点の像で射影変換が確定することの証明は，一般的にやるとここで述べたように少し面倒であるが，具体例で考えれば分かりやすい．
例
$(1,0,1)\mapsto (1,0,0),(0,1,1)\mapsto (0,1,0),(1,1,1)\mapsto (0,0,1),(0,0,1)\mapsto (1,1,1)$
を満たす射影変換を求めよう．
最初の3点の対応より，射影変換を表す行列を$A$とすると
$A\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{pmatrix}$
$\left(\begin{smallmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{smallmatrix}\right)$の逆行列を右からかけ
$A=\begin{pmatrix}0&-k_1&k_1\\-k_2&0&k_2\\k_3&k_3&-k_3\end{pmatrix}$
第４の点の像より
$k_4\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\-k_3\end{pmatrix}$
したがって
$(k_1,k_2,k_3)=k(1,1,-1)$
より
$A=k\begin{pmatrix}0&-1&1\\-1&0&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}$

どの3点も一直線上にない4点の像で射影変換がただ一つ決まることが分かりました．
もし4点$A,B,C,D$およびその像$A',B',C',D'$および直線の像が直線の条件だけで変換(1対1上へを意味する) が決まるなら，射影変換は直線の像は直線であるから射影変換の定義は
定義2
射影平面の点を点にうつす変換で，一直線上にある点は一直線上にうつすものを射影変換という．

でよいことになる．それを示す．
直線の像が直線より，2直線$l,m$の交点の像は$l,m$の像である$l',m'$の交点である
を用いることになる．なおこの内容は1章§５アフィン変換で述べた方法と同様である．

4点$A,B,C,D$はどの3点も同一直線上になくそれらの像が定まるとする．
2直線$AD,BC$の交点を$E$,$AB,CD$ の交点を$F$,$AC,BD$の交点を$G$とすると$E,F,G$の像も定まる．
直線$EG,FG$で四角形$ABCD$を4つの四角形に分けると，それぞれの四角形の頂点も像が定義できる．
この操作を繰り返せば，四角形$ABCD$の内部または周上の点のうちで像が定義できる点は稠密である．
この操作により像が定義できる点は高々可算個であるので，濃度を考えることより，四角形$ABCD$の内部または 周上の全ての点の像が定まるわけではない．
四角形$ABCD$の内部または周上の任意の点$P$に対して
四角形$ABCD$を4つに分けたときの$P$を含む四角形を$A_1B_1C_1D_1$とする．もし2つ以上あるときはいずれかを取ればよい．
さらに，四角形を$A_1B_1C_1D_1$を4つに分けたときの$P$を含む四角形を$A_2B_2C_2D_2$とし，この操作を繰り返せば
$P$を含む四角形の列
四角形$ABCD,A_1B_1C_1D_1,A_2B_2C_2D_2,\dots$
ができる．各四角形の頂点のいずれかを取る．例えば$A_n$をとれば
$A,A_1,A_2,\dots ,A_n,\dots$
はそれぞれ像が定義でき，点$P$に収束する．
各$A_i$の像を$A_i'$とすれば
$A',A_1',A_2',\dots ,A_n',\dots$
の極限により$P$の像を定義すれば，四角形$ABCD$の内部および周上の点の像が定義できる.

議論の進め方からわかるように連続性（位相）の性質を用いているのでそれが 気になる人がいるかもしれない．
ここで，大家の書
窪田忠彦著　解析幾何学　第一巻　　内田老鶴甫
を見てみよう．射影変換(射影対応)の定義をそのまま書くと次のようになる．
定義(窪田)
二つの相異なるまたは相合したる(一致する)平面上の点と点との間に1対1の対応が成立し， 一点が連続的に任意の一直線上を動けば常にこれに対応する点も連続的に一直線上を動くとき，かかる対応を 射影的対応と云う．

このように連続性まで言及している．私の見た範囲では，連続性まで言及しているものは他にない．

アフィン変換や射影変換について，アフィン変換，射影変換の持つ性質まで定義に入れて内容の説明を行い， 最後に通常の定義を示すという方法を取った．この方が初めて学ぶには分かりやすいと考え行ったのであるが，やはり不自然である．
以下，上述の窪田忠彦の著書に従い，定義(窪田)より，一直線上の点の複比が保たれることを証明する．
今までの内容のよい復習になると思う．
いくつかに分けて説明する．
step1
一直線上に3点が与えらえたとき，調和点列をなす第4点は直線を引くだけで求められる．

これは完全四角形の性質より得られる．
4点$A,B,C,D$がどの3点も同一線上にないとき，$AD,BC$の交点を$P$,$AC,BD$の交点を$Q$,$AB,CD$ の交点を$R$とし，さらに$PQ,CD$の交点を$G$とする(右図)．
このとき，$Q$を配景中心とする配景対応より
$[A,B;S,R]=[C,D;G,R]$
$P$を配景中心とする配景対応より
$[C,D;G,R]=[B,A;S,R]$
したがって
$[A,B;S,R]=[B,A;S,R]$
$[A,B;S,R]=-1$
$A,B,S,R$は調和点列をなす．
3点より調和点列をなす第4の点を見つけるのは次のようにすればよい．
直線上に3点$A,B,S$が与えられたとき，
直線外に点$P$取り，$PA,PB,PS$を引く．
$PA$上に1点$D$を取り，$BD$を引き，$PS$との交点を$Q$とする．
$AB,BP$の交点を$C$とし，$AB,DC$の交点$R$が求める点である．

step2
直線上に3点を与える．この3点より調和点列をなす点として求められる点は直線上稠密である．

直線上に3点$A,B,E$をとり，それぞれの射影座標を$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{e}$とする． $A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b})$を基本点，$E(\boldsymbol{e})$を単位点とする射影座標系 $[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};\boldsymbol{e}]$のもとで考える．
この直線上
$\boldsymbol{p}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}=\alpha \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
である点のこの座標系における斉次(射影)座標は$(s,t)$であり，非斉次(射影)座標は$\alpha$である．
$A,B,E$の斉次座標はそれぞれ$(0,1),(1,0),(1,1)$で非斉時座標はそれぞれ$0,\infty,1$である．
ここでは非斉次座標を用いる．
なお，非斉時座標で$P(\alpha),Q(\beta),R(\gamma),S(\delta)$のとき，
$[P,Q;R,S]=\dfrac{(\gamma -\alpha)(\delta -\beta)}{(\gamma-\beta)(\delta -\alpha)}$
であることに注意する．
補助命題1
直線上の点$P(a_n),Q(a_{n+1})$について
$[A,P;B,Q]=-1$
を満たすなら
$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}$
である．
証明
$[A,P;B,Q]=\dfrac{\infty -0}{\infty -a_n}\cdot \dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_{n+1}-0}=-1$
より
$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}$

補助命題1より，直線上の点列$\{P_n\}$を$P_0$としてを単位点に取れば$P_n$の非斉次座標は$\frac{1}{2^n}$である．
すなわち，非斉次座標$\frac{1}{2^n}$の点が直線だけで求められることが分かる．
補助命題2
直線上の点$P(a_n),Q(a_n+1),R(a_{n+1})$について
$[Q,B;P,R]=-1$
を満たすなら
$a_{n+1}=a_n+2$
である．
証明
$[Q,B;P,R]=\dfrac{a_n-(a_n+1)}{\infty -(a_n+1)}\cdot \dfrac{a_{n+1}-\infty}{a_{n+1}-(a_n+1)} =-1$
より
$a_{n+1}=a_n+2$
をえる．

補助命題2より，直線上の点列$\{P_n\}$を$P_0$として点$A(0)$,$P_1$として単位点$E(1)$を 取れば$P_n$の非斉次座標は$n$である．
すなわち，非斉次座標が自然数$n$の点が直線だけで求められることが分かる．
さらに，$P(x),Q(y)$が
$[A,B;P,Q]=-1$
のとき$y=-x$であるから,任意の正の整数$n$および任意の整数$m$に対して非斉次座標が
$\dfrac{m}{2^n}$
の点は直線だけで求められる．したがって，step 2が示された．

次の性質が議論の根幹です．
step3
平面(射影平面)の変換$f$が定義(窪田)を満たすとき，調和点列の像は調和点列である．

これはstep1 より得られる．
4点$A,B;S,R$は一直線上にあり調和点列とし，$A,B,S,R$の$f$による像をそれぞれ$A',B',S',R'$とする．
$A,B,C,D$より作った完全四角形のstep 1で用いた図をそのまま$f$でうつす．
実際$A,B,C,D$の像を$A',B',C',D'$とし，$A'D',B'C'$の交点を$P'$・・・とすればよい．
このとき，$A',B';S',R'$が調和点列であることを示せばよいが，それはstep 1 で行なったように，点$G'$が配景中心である配景対応および$P$が配景中心出る配景対応の合成より 示すことができる．

step4
平面(射影平面)の変換$f$が定義(窪田)を満たす.
直線$l$の$f$による像を$l'$とし，$l$上の3点$A,B,E$の$f$による像を$A',B',E'$とする．
$l$上の$A(\boldsymbol{a}),B(\boldsymbol{b})$を基本点，$E(\boldsymbol{e})$を単位点とする 射影座標系$\sigma =[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};\boldsymbol{e}]$,
$l'$上の $A'(\boldsymbol{a'}),B'(\boldsymbol{b'})$を基本点，$E'(\boldsymbol{e'})$を単位点とする 射影座標系$\sigma '=[\boldsymbol{a'},\boldsymbol{b'};\boldsymbol{e'}]$
を考える．
$l$上の任意の点$P(\boldsymbol{p})$の座標系$\sigma$のもとでの非斉次座標を$x$，$f$による$P$の像 $P'(\boldsymbol{p'})$の座標系$\sigma '$のもとでの非斉次座標を$x'$とすると
$x'=x$
である．

まず，$A,B,E$について調べる．
$A,B,E$の$\sigma$のもとでの非斉次座標はそれぞれ$0,\infty ,1$で， $A',B',E'$の$\sigma '$のもとでの非斉次座標はそれぞれ$0,\infty ,1$で対応点の非斉次座標が一致する．
つぎに$P(\frac{1}{2})$の像を考える．
$[A,E;B,P]=-1$であるから，step 3より
$[f(A),f(E);f(B),f(P)]=-1$
したがって，$f$による$P$の像$P'$の非斉次座標は$\frac{1}{2}$で$P,P'$の非斉次座標は一致する．
step 2は調和点列の性質すなわち$f$の定義(窪田)の性質しか用いていないから，非斉次座標 $\frac{m}{2^n} (m\text{は整数},n\text{は正の整数})$である点$P$ の像$P'$の非斉次座標も$\frac{m}{2^n}$であるので一致する．
これで，$l,l'$で$f$による非斉次座標が一致する対応点が稠密であることが分かった．
$l$上の任意の点$P$に対して，対応点の斉次座標が一致する点列$\{P_n\}$で
$P_n \to P (n\to \infty)$
を満たすようにとる．このとき， 定義(窪田)の定義の中の
一点が連続的に任意の一直線上を動けば常にこれに対応する点も連続的に一直線上を動く
に注目する．$f$が直線上連続であるから
$f(P_n) \to f(P) (n\to \infty)$
$P_n$と$f(P_n)$は一致するから，$P$と$P$の対応点$f(P)=P'$の非斉次座標は一致する．
$f$の対応点すべてで非斉次座標が一致することが分かった．

これで，変換$f$が定義(窪田)を満たすとき，直線上の点の複比を変えないことが証明された．
蛇足であるが付け加えると
一直線上にある4点$P_1,P_2,P_3,P_4$の非斉次座標それぞれ$t_1,t_2,t_3,t_4$とすれば,複比は
$[P_1,P_2;P_3,P_4]=\dfrac{t_1-t_3}{t_2-t_3}\cdot \dfrac{t_2-t_4}{t_1-t_4}$
と斉次座標で表せるからである．

6.射影変換の引き戻し

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