通常はアフィン平面から射影平面(拡大アフィン平面)を導き出しますが，ここでは， 射影平面からアフィン平面導き出します．
拡大アフィン平面から，無限遠点が分からないように(普通点と無限遠点の区別がつかないように) したのが射影座標系$[a,b,c;e]$でした．射影座標系で考える拡大アフィン平面が 射影平面(の一つのモデル)です．
射影座標系$[a,b,c;e]$のもと，射影平面上の任意の点$p$に対して
$p=xa+yb+zc$
のとき，$(x,y,z)$が点$p$の斉次座標です．
射影平面からアフィン平面を導き出しましょう．
射影平面の１つの直線を無限遠直線と定めその直線を$l_{\infty}$とする．
射影平面の射影変換$f$のうち
$f(l_{\infty})=l_{\infty}$
を満たす全体を$H$とする．集合$H$は射影変換群$G$の部分集合であり，かつ
$f,g\in H$のとき
$g\circ f\in H,f^{-1}\in H$
であるから，$H$は$G$の部分群である．$H$を射影平面上のアフィン群と呼ぶ．

定義
無限遠直線が定められた射影平面にアフィン群を付属した幾何学をアフィン幾何という．

まずアフィン群を調べよう．
無限遠直線$l_{\infty}$上の２点$A(a_{\infty}),B(b_{\infty})$および普通点$C(c),E(e)$より定まる， 射影座標系$\sigma =[a_{\infty},b_{\infty},c;e]$で考える．この座標系を射影平面の斉次アフィン座標系と呼ぶ.
射影平面上の無限遠点を除いた点を普通点または有限点と呼ぶ．
任意の射影変換$f$は
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\det \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\neq 0$
である．一方無限遠直線上の点は
$(x,y,0)\mapsto (x',y',0)$
であるから,
$a_{31}=0,a_{32}=0$
したがって，アフィン群は
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&p\\c&d&q\\0&0&r\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\det \begin{pmatrix}a&b&p\\c&d&q\\0&0&r\end{pmatrix}\neq 0$
すなわち
$\begin{cases}x'=ax+by+p\\y'=cx+dy+q\\z'=rz\end{cases}\cdots (\sharp)$
ただし，
$\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\neq 0,r\neq 0$
である．
普通点だけを扱うとき，$(\sharp)$を非斉次座標($z$成分が$1$の座標)で表す．
$(x',y',z')=(\dfrac{x'}{z'},\dfrac{y'}{z'},1)$
$(\sharp)$の第１式，第２式をそれぞれ第３式で割り，
$\frac{x}{z},\frac{y}{z},\frac{x'}{z'},\frac{y'}{z'}$をそれぞれ$x,y,x',y'$と書き換え，$a,b,c,d,p,q$を 書き換え
$\begin{cases}x'=ax+by+p\\y'=cx+dy+q\end{cases},\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\neq 0$
となる．
これは，これはよく見慣れたアフィン変換である．
アフィン変換で重なる図形は同じ図形として扱うのがアフィン幾何学である．


3.アフィン変換で保たれる性質

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