射影平面では，点と直線は同等に扱う．
配景写像で，直線上の点と線束の対応
$\{l,m,n,p\}\stackrel{O}{\doublebarwedge} \{A,B,C,D\}$
を考えたように, ここでは，点を直線に，直線を点にうつす射影平面の変換を考える．
なぜこんなものを考えるのかと思う人もいるでしょう．その時は，ユークリッド平面の話題である 極と極線，相反変換が参考になる． 少し説明を加える．
ユークリッド平面上の2次曲線
$\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&h&k\\h&b&l\\k&l&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0\cdots (*)$
を考える．
2次曲線$(*)$上の点$(x_0,y_0)$における接線の式は
$\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&h&k\\h&b&l\\k&l&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\1\end{pmatrix}=0\cdots (*_1)$
である．
2次曲線$(*)$の外側(外側の意味があいまいであるがここでは，接線が引け側という意味)に点$P$を取る．
$P$から$(*)$に接線が2本引けるが，その接点を$Q,R$とする.$P(x_0,y_0)$のとき， 直線$QR$の方程式は$(*_1)$ である（証明は円の場合と同様）．
直線$(*_1)$を2次曲線$(*)$に関する点$P(x_0,y_0)$の極線という．
直線$(*_1)$を斉次座標で表す．$x,y,x_0,y_0$をそれぞれ$x/z,y/z,x_0/z_0,y_0/z_0$に置き換えて
$\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&h&k\\h&b&l\\k&l&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}=0\cdots (*_2)$
直線$ax+by+cz=0$の座標(線座標という)は
$(a,b,c)$
であるから直線$(*_2)$の座標は
$\begin{pmatrix}a&h&k\\h&b&l\\k&l&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}$
である．したがって，点$P(x_0,y_0,z_0)$に極線を対応させる関係式は
$\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}a&h&k\\h&b&l\\k&l&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}$
である．

本論に入る．
定義
射影平面上の点を直線，直線を点にうつす変換で，直線上にある点の像は１点で交わる直線に，１点で交わる直線の像は 一直線上の点であり(この条件を，共線条件を満たす点は共点条件を満たす直線にうつし，共点条件を満たす直線は共線条件を満たす点に宇sつということも多い．またこの条件を 結合性を保つということもある)，かつ複比を保つ変換を相反変換(correlation)という．

相反変換は，射影変換と同様の方法で射影座標系のもとで行列表示するのですが，点は列ベクトル，直線は行ベクトル表示であるので，少し変更をして
$k\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}=\left(\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right)^T \ \ \cdots (\sharp)$
ただし$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\neq 0 \ \,( \ \ )^T$は転置行列
とする．

つぎに相反変換$(\sharp)$の引きも戻しを求めよう．
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$
とおく．
直線$L=(L_1,L_2,L_3)$の像が$\left(\begin{smallmatrix}x'\\y'\\z'\end{smallmatrix}\right)$のとき
$\left(\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}B\right)^T =k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$
となる行列$B$を求めることである．
ここで，
$L=(L_1,L_2,L_3)\mapsto \left(\begin{smallmatrix}x'\\y'\\z'\end{smallmatrix}\right)$
とは，直線$L$上の点$\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)$の像である直線$(A\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right))^T$が 点$\left(\begin{smallmatrix}x'\\y'\\z'\end{smallmatrix}\right)$を通ることである．したがって$\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)$ は
$\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}A^T\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=0$
を満たす．
一方，直線$L$は
$\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$
すなわち
$\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=0$
であるから
$k\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}=\left(A^T\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\right)^T=\begin{pmatrix}x'&y'&z'\end{pmatrix}A$
$A$の逆行列を右からかけ
$k\begin{pmatrix}x'&y'&z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}A^{-1}$
点，直線の区別はしないで，$(x.y,z),(L_1,L_2,L_3),(x',y',z')$の各成分だけに注意し， $(\sharp)$を合わせて書くと，相反変換は次のようになる．
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
$k\begin{pmatrix}x'&y'&z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}^{-1}$
ただし$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\neq 0$
相反変換では，点を直線にうつすときは点を列ベクトルとして行列を左側からかける．計算結果は列ベクトルであるが，転置をとり行ベクトルとみる． 直線を点にうつすときは，直線は 行ベクトルとして，行列を右側からかける．計算結果は 行ベクトルであるが，転置をとり列ベクトルとみる．
なかなか分かりづらい内容です．たとえば
福原万州雄著　　射影幾何　　実教出版
では，２枚の射影平面$\Pi_1,\Pi_2$をとり，$\Pi_1$では今まで通り点は その座標を列ベクトルに取り，直線は行ベクトルにとる．これに対して， $\Pi_2$上では点を行ベクトル，直線を列ベクトルにとって議論の展開している．合わせて参考にしていただきたい．


まず，相反変換の合成は射影変換であるが相反変換ではない．

相反変換で重要なのは相反変換$f$のうち
$f\circ f=\mathrm{id}$(恒等変換)
のときである．この相反変換を相反対合変換(polarity)と呼ぶ．
相反変換$f$が相反対合変換になるときの，$f$を表す行列$A$の条件を求めよう．
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\stackrel{f}{\mapsto}(L_1,L_2,L_3) \stackrel{f}{\mapsto}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$
最初の$f$で
$(L_1,L_2,L_3)=\left(A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\right)^T=(x,y,z)A^T$
ここで$( \ \ )^T$は転置行列．
したがって$f\circ f$は
$k(x',y',z')=(x,y,z)A^TA^{-1}$
$f\circ f=\mathrm{id}$(恒等変換)
である.斉次性を考え
$A^TA^{-1}=kE, \ \ \therefore A^T=kA$
成分に注目すると
$a_{ij}=ka_{ji},a_{ji}=ka_{ij}$
より
$k^2=1$
したがって
$k=\pm 1$
$A^T=-A$
のとき
$\det A=0$
であるから
$A^T=A$
が成り立つ．
相反対合変換を表す行列は対称変換であることが分かった．
相反対合変換を行列表示すると次のようになる．
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
$\left(\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{smallmatrix}\right)$の余因子行列(逆行列に行列式をかけたもの)を $\left(\begin{smallmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{smallmatrix}\right)$とおくと
$k\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}$
となる．
これから，相反変換を扱うときは，すべて相反対合変換である．
射影変換を表す行列は対称行列であるから，点も直線もともに列ベクトル,行ベクトルを自由使い，
$k\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
$k\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}$
及び
$k\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix} $
$k\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}$
とする．点と直線の区別は前後関係及び，点の場合は$\left(\begin{smallmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{smallmatrix}\right), \left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)$のように成分は小文字を用い，直線は$\left(\begin{smallmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{smallmatrix}\right)$ のように成分は大文字を用いる．


8.極と極線

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