ここでは，この射影変換で直線の像はどうなるかを調べる．
まず，よく知られた１次変換で直線の像がどうなるかを調べよう．
一次変換
$f:\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
で直線の像を調べよう．
直線$l$の像が直線$m$のとき
$m$の方程式が
$px+qy=r$
のとき，直線$l$の方程式は，$l$上の点$(x,y)$の像
$(ax+by,cx+dy)$
が$m$上より
$p(ax+by)+q(cx+dy)=r$
として求める．
すなわち，直線は戻しているわけです．
同じことをこれから行う．

射影変換は，射影座標系を用いて
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}, \text{ただし} \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\neq 0$
と表せる．
この射影変換で直線の像はどうなるかを調べよう．
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$
とおく．
$A$で決まる射影変換で,直線$l:L_1x+L_2y+L_3z=0$の像が$l':L_1'x+L_2'y+L_3'z=0$のとき
$(x,y,z)$が直線$l$上にあるための必要十分条件は $A\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)$が$l'$上にあることであるから
$\begin{pmatrix}L_1'&L_2'&L_3'\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$
この直線が$l:L_1x+L_2y+L_3z=0$である.したがって
$\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_1'&L_2'&L_3'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$
ここで，$(L_1,L_2,L_3),(L_1',L_2',L_3')$は斉次座標であるから
$k\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_1'&L_2'&L_3'\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\cdots (\sharp)$
となる．
この変換は，線型代数では双対変換，微分幾何では引き戻しといわれる写像です．
ここで，
$(\det A)A^{-1}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}$
(余因子行列，転置していることに注意)を$(\sharp)$の右側からかけ，
$k\begin{pmatrix}L_1'&L_2'&L_3'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L_1&L_2&L_3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}\cdots (\flat)$
を得る．
この変形を見ればわかるように，射影平面で，点は列ベクトルで，直線は行ベクトルで表すと便利である(ベクトルの反変ベクトル，共変ベクトルを参考)．

射影変換の不動点，不動直線を調べよう．
射影変換
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
の不動点は
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$
の固有ベクトルである．３次方程式は少なくとも１つの実数解をもつから，射影変換は少なくとも１つの不動点を持つ．
$A\neq kE$のとき，不動点は多くとも３個である．
射影変換の不動直線は，上記$(\flat)$の固有ベクトルであるが，$(\flat)$の転置をとった式
$k\begin{pmatrix}L_1'\\L_2'\\L_3'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{pmatrix}$
で考えれば，$A$が逆行列を持つとき
$A\boldsymbol{x}=k\boldsymbol{x}$なら$A^{-1}\boldsymbol{x}=\dfrac{1}{k}\boldsymbol{x}$
より，$A$とその逆行列の固有ベクトルは変わらない．
したがって，$A$の転置行列の固有ベクトルが不動直線であり，$A$とその転置行列の固有値は変わらないから， 容易に固有ベクトルは求められる．

例
射影変換
$k\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1&0\\6&-3&0\\1&-1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
の不動点，不動直線を求めよう．
行列$A$の固有方程式は
$x^3-x-6=0$
より$A$の固有値は$3,-2,-1$
固有ベクトルは
$(1,1,0),(1,6,5),(0,0,1)$
であり，これが不動点である．
不動直線は行ベクトルの変換すなわち転置行列で考えればよいから，
固有値は変わらず，固有ベクトルは
$(6,-1,0),(1,-1,0),(1,-1,1)$
である．したがって，不動直線は
$6x-y=0,x-y=0,x-y+z=0$
である．

7.相反変換

射影幾何の目次


全体の目次