アポロニウスの問題
アポロニウスの問題を扱います.アポロニウスの問題とは次の問題をいいます.

アポロニウスの問題
平面上に任意に3円与えられている.このとき,3円の全てに接する第4円を求めよ.


反転変換を用いると簡単に解決しますが,それではこの問題の面白さがわかりません. ここでは円の性質を利用して,初等的に扱います.なお,証明の中で相似の位置の性質が何度も用いられます. 相似変換のすばらしさもあわせて感じ取って欲しいと思います.

本題に入ります.与えられた3円の状況で結果は異なります. 一番標準的な,3円が互いに他の外部にある場合から始めます.この問題の面白さ,難しさを感じ取ってください.

第1節 3円が互いに他の外部にあるとき

結論から述べると次のようになります.
定理
平面上に任意に3円与えられている.この3円が互いに他の外部にあるなら,与えられた3円のすべて に接する円は8つある.


まず,下の図を見てください.3円O1,O2,O3が与えられ,太円は2円O1,O2に接する円です,さらに点Pを ドラッグし円の赤い部分をうごかせば,太円が変わり,円O3に接するのが2つ(外接と内接)見つけられます. 用意した4つの図形でそれぞれ2つずつ見つけられるから,3円O1,O2,O3に接する円が8つ存在することがわかります.

次の図を説明します.点Pを赤色の円弧上をドラッグすれば,太いO1,O2に共通に接する円が変わります. 点Aは図1,2において2円O1,O2の共通外接線の交点,図3,4においては共通内接線の交点です. すなわち,いずれの場合も2円O1,O2の相似の中心です.円O1,O3および点Aをドラッグしていろいろ調べてみましょう. 円については,円の中心をドラッグすると円が平行移動し,周をドラッグすると半径が変わります.


図1(太円はO1,O2に外接する)


 図2(太円はO1,O2に内接する)



図3(太円はO1に内接,O2に外接する)



図4(太円はO1に外接,O2に内接する)



8つの円とは 与えられた3つの円のそれぞれの内接,外接を考えると思うでしょうが,それほど単純ではありません. その辺を検討いたしましょう. 次の図は図1を少し書き直したものです.Pをどのように動かしても,2ヶ所の太い赤い円弧,線分で囲まれた領域は 通りません.


図5



すなわち,次の図の赤い太線で囲まれた部分に含まれる円O’と2円O1,O2の共通外接円 が接することはありませんし,赤い太線からはみ出ている円O"とは2円O1,O2の共通外接円 が接するのは1つしかありません.


それでは,2円O1,O2ともう1つの円がO’ならどうなるのでしょうか.そのヒントが次の図にあります. すなわち,Pを動かしたとき,2円O1,O2の共通外接円のうち円O'と接するのは4つ存在します.この赤い太線 で囲まれた部分は2円O1,O2の共通内接円の通らない部分なのです.


図6


すなわち,図2の赤い線で囲まれた部分に含まれる円O'と接する2円O1,O2の共通内接円は4つあるのです.それを 次の図で確かめてみましょう.



図7


2円O1,O2の共通内接円,共通外接円のうち,円O3に接するものが4つあり,2円O1,O2の片方に内接,もう一方に 外接する円が同様に4つあることがわかります.


第2節 初等幾何的取り扱い

以上で存在についてはわかりました.しかし,3円に接する円を作図せよ,すなわち,求める円の中心を求める ことの解答にはなっていません.これから,求める円の中心の見つけ方を考えていきます.


なお,証明を通して円のすばらしい性質を学んで欲しいと思います.


まず,与えられた2円O,O’の両方に接する円を求めます.
右の図で,点Aは相似の中心(上は2円の共通外接線の交点,下は2円の共通内接線の交点), Aを通る直線と2円O,O'との交点を図のようにP,Q,R,Sとする.
OQとO'Rとの交点をTとおけば,OPO'RよりTQ=TRが成り立ちます.
したがって,Tを中心とする半径TQの円は2円O,O'に外接します.

上図でPOの延長とSO'の延長の交点をTとすれば,点Tは2円O,O'の共通内接円の中心です.



次に,右図で,点Aはもう一つの相似の中心(共通内接線の交点)です.
OSの延長とO'Qの延長の交点をTとすれば,点Tは TS=TQより円Oに内接し円O'に外接する円の中心です.同様にORとO'Pの交点をTとすれば 点Tは円Oに外接し,円O'に内接する円の中心となります.以上の原理より作成したのが上の4つの図です.
さて,話を戻しましょう.

命題1
2円O,O'が互いに他の外部にあるとき,2円O,O'の相似の中心Aを通る直線と円O,O'との交点を順に P,Q,R,Sとするとき,円O,O'とそれぞれ点Q,Rで外接する円Tが存在する

ことがわかりました.(右図)

次に逆も示しましょう.
幾何学では,1つの命題が証明できたとき,その逆も示し,同値である命題にするのが 証明をすっきりさせるコツです(逆の命題といってもひとつとは限りません.命題を前提,仮定,結論と分ける方法 はいろいろあり,その場に応じて考えます).


すなわち,
命題2
円Tが円O,O'と外接し接点をそれぞれB,Cとするとき直線BCは相似の中心Aを通る


を証明しましょう.

BCとOO'の交点をA,BCと円Oの交点のうち,CでないほうをDとします. このとき,
∠TBC=∠TCB=∠OCD=∠ODC
より
ODO'T
したがって,
OA:O'A=OD:O'B
より,点Aは相似の中心(共通外接線の交点)である.


少し変形し,次の形の命題も証明しておきます.




命題3

円O,O'の共通外接線の交点をAとする.Aを通る直線と円O,O'との交点B,C,Dを図のようにとる.
B,Cを通る円Tが点Cで円O'と外接するなら,円Tは点Bで円Oと外接する.

証明
ODO'Cより
∠TBC=∠TCB=∠ODB=∠OBD
したがって,T,B,Oは一直線上にあり,円Tは円Oに外接する.




以下,これから用いる円の性質について復習いたします.


性質1

2円O,O'は互いに他の外部にあり,点Aは2円O,O'の共通外接線の交点(相似の中心)である. 点Aを通る2直線と2円O,O'との交点を図のようにP,Q,R,S;P',Q',R',S'とする.このとき 次が成り立つ.
(1) AP・AS=AQ・AR=AP'・AS'=AQ'・AR'
(2) AP・AQ・AR・AS=AT・AT'
(3)4点P,P',S',S;Q,Q',R',Rは同一円周上にある.
証明 円O,O'に関する点Aの方べきをそれぞれK2,L2とおく. 円O,O'の相似比を1:mとおくと,
AP・AS=AP・mAQ=m・K2=(一定)
より(1)が成り立つ.
AP・AQ=AT,AR・AS=AT’
より(2)が成り立つ. (1)および方べきの定理の逆より(3)が成り立つ.

注意
AP・AS=m・K2=(一定) より,Aを中心とする(半径)2=m・K2の円を 反転円とする反転変換に よる円Oの像が円O’である.

性質2
3つの円があり,2つずつが2点で交わるとする.それぞれの2円の交点 を結んでできる3本の直線は平行であるか,1点で交わる.

証明
3本の直線が平行でないとき示せばよい. 円O,O'の交点をA,B,円O,O"の交点をC,Dとし,ABとCDの交点をPとする. 2円O',O"の交点を片方をEとする.PEの延長と円O',O"との交点をそれぞれF',F" とすると
PE・PF'=PA・PB
PE・PF"=PC・PD
PA・PB=PC・PD
よりPE・PF'=PE・PF"
したがって,F'とF"は一致し,その点は円O’,O"の交点である.したがって,3本の直線は点Pで交わる.

注意
点Pは3円O,O',O"までの接線の接線の長さの等しい点である.この点Pを3円O,O',O"の根心という.

性質2の応用として,次の例を考えてみよう.この例は後で用いられる.


2点A,Bと円Oが与えられている.このとき,2点A,Bを通り,円Oに接する円を作図せよ.

2点A,Bを通るOと2点で交わる円を2つ書き, 円Oとの交点をC,D;E,Fとすると性質2より 3直線AB,CD,EFは一点で交わる.

このことは,2点A,Bを通る任意の円と円Oとの交点をC,Dとすると 直線CDは定点を通ることを意味している.
この定点をP(ABとCDの交点)とする.
Pから円Oに引いた接線をPT,PT’とすると,
PA・PB=PC・PD=PT=PT’

方べきの定理の逆より,3点A,B,T;A,B,T’を通る円はそれぞれPT,PT’に接する.
一方,PT,PT’は円OとそれぞれT,T’で接するから3点A,B,T:A,B,T’を通る円はそれぞれ円Oに外接する.

準備は整いました.


問題
  3円O1,O2,O3がどの2つも互いに他の外部にある.このとき,この3円に外接する円の中心を求めよ.
解答


O1,O2,O3の半径をそれぞれr,r,rとし,
≦r,r≦r
とします.
O2,O3を中心とする半径
−r,r−r
の円をかき,O1を通り新しいO2,O3に外接する円が画ければ(ピンクの円),中心を変えず,半径をrだけ 小さくすれば求める円です.

したがって, 1点Aと2円O,O'が与えられたとき,点Aを通り2円O,O'に外接する円を求める問題に帰着されました.
その問題を解決しましょう.

2円O,O'の共通外接線の交点をXとすると,Xは2円の相似の中心になります. Xを通り,2円O,O'と交わる任意の直線を引き,O,O'のとの交点をP,Q,R,Sとします.ここで3点A,Q,Rを通る円を 考え,これらの円のうち,円O'と外接するのが見つけられればその円は円Oにも外接する(命題3)ので 終了します.
あと一息です.ここで,Q,Rのとり方にかかわらずXQ・XRの値は一定ですから,直線XAと3点A,Q,Rを通る円 とのAでない方の交点は定点です.この定点をBとします.
3点A,R,Qを通る円は,3点A,B,Rを通る円と一致します.
言い方を変えれば,円O'上に一点Rを取り,3点A,B,Rを通る円を作り,その円とXRとの交点のうちRでない方を Qとすれば点Qは円O上にあるとなります.
したがって,2点A,Bを通り,円にO'に外接する円を求める問題に帰着されました.
この問題はすでに例で解決しているので,問題が完全に解決しました.

次の図は込み入っていますが,問題解決の作図法を表しています.黒円がAを通り,2円O,O'に外接する円です.




第3節 2円が交わるとき

第1節で3円が互いに他の外部にある場合を調べました.これから残された場合を調べます. まず,3円のうち,2円が交わる場合から調べます.これからは,いろいろな場合があるので, 注意深く調べる必要があります.
つぎの2つの図は,交わる2円O1,O2(青の太円)に共通に接する円を求めた図です.図1は共通に外接または共通 に内接する円,図2は片方に外接し,もう一方に内接する円になっています.なお,図1の点Pを通る直線はプログラム上 どうしても消せないので無視してください.どちらの図でも点Pをドラッグすれば,いろいろ変わり,点Pを円O1の周上を 一周すれば,2円O1,O2に共通に接する円はすべて表します.

図の説明
半径の異なる2円はどこにあっても相似の位置にあり,相似の中心は,2円O1,O2の半径をそれぞれr1,r2 とすると,線分O1O2をr1:r2に外分する点,内分する点です.図1,図2とも点Aが2円O1,O2の相似の中心です. 点P,円O1の中心,相似の中心Aをドラッグしていろいろ確かめてみましょう.また,円O1の周上の点をドラッグすると 円の大きさが変わります.



図1





図2



(T)円O3がO1,O2と交わらない場合

円O3が円O1,O2と交わらないのは次のピンクの円の場合です.


次の図で調べれば,いずれの場合も3円に接する円は4つ存在することがわかります.



図3





図4


したがって,次の結論を得ます.
定理
2円O1,O2が2点で交わり,円O3がO1にもO2にも交わらないとき,3円に接する円は4個存在する.

(U)円O3がO1,O2のいずれかだけと2点で交わる(接する場合を除く)とき

この場合はO3(赤円)が次の3つの場合を調べればよい.ただし太円がO1,O2で,赤い円がO3.


次の図5,図6で確かめてみましょう.円O3の中心をドラッグすると中心が変わり,円の周上をドラッグすると 半径が半径が変わります.



図5





図6



実験により,次の結論を得ます.

定理
2円O1,O2が2点交わり,円O3がO1またはO2のいずれかと2点で交わるとき,3円に接する円は4個存在する.


(V)円O3がO1,O2のいずれとも2点で交わり,その4点は異なるとき(O3がO1,O2の交点は通らない) 黒円(円C3)が次の図の場合を調べればより. 2円O1,O2の交点をC,Dとするとき,上の図は円C3は2点C.Dを含まない.下の図は,円C3が2点C,D の片方または両方を含む.








図7





図8



実験により,次の結論を得ます.

定理
2O1,O2が2点交わり,円O3がO1,O2のいずれとも異なる2点で交わりそれらの4点が異なるとき, 3円に接する円は8個存在する.


(W)円O3がO1,O2の交点の片方を通る.

図で,円O3の中心O3をドラッグすると,2円O1,O2の交点を通る円O3が変わります.



図9


実験により次の結論を得ます.

定理
2O1,O2が2点交わり,円O3がO1,O2の交点のうち片方を通るとき, 3円に接する円は4個存在する.




図10






(X)円O3がO1,O2の両方の交点を通る.
これは少し見方を変える. 2円O,O'が与えられたとき,2円に関する方べきの等しい点の軌跡は直線にない, この直線を2円O,O'の根軸という.3円O1,O2,O3が与えられ,この3円のどの2つの根軸も一致するとき, この3円を共軸系をなすというポンスレの閉形定理(第3節) を参照.

3円が共軸系をなすのは次の場合である.




いずれの場合も,3円に共通に接する円はない.


第4節 2円が接するとき

(T)2円O1,O2が外接するとき



図11





図12



定理
2円O1,O2が外接するとき次が成り立つ.
円O3が2円O1,O2の外部にあるか,O1,O2の両方と2点で交わるとき,3円に接する円は6個.
円O3が2円O1,O2の片方だけて2点で交わるとき,3円に接する円は4個.
円O3が2円O1,O2の接点を通るとき,3円に接する円は2個
円O3が2円O1,O2のいずれかの円の内部にあるとき,3円に接する円は2個
円O3が2円O1,O2のいずれかに内接するとき,3円に接する円は3個
円O3が2円O1,O2のいずれかの円外接するとき,3円に接する円は4個
円O3が2円O1,O2のいずれとも外接するとき.3円に接する円は5個


(U)O1,O2が内接する場合



図13



定理
2円O1,O2が内接する場合次が成り立つ.
円O3が2円O1,O2の外部にあるとき3円に接する円は2個
円O3が2円O1,O2の両方と2点で交わるとき,3円に接する円は6個.
円O3が2円O1,O2の片方だけと2点で交わるとき,3円に接する円は4個.
円O3が2円O1,O2の接点を通るとき,3円に接する円は2個
円O3が2円O1,O2の小さい円の内部にあるとき3個,
円O3が2円O1,O2の大きい円の内部かつ小さい円の外部にあるとき,3円に接する円は6個,
円O3が2円O1,O2の大きい円に内接するとき,3円に接する円は5個
円O3が2円O1,O2の小さい円に内接するとき,3円に接する円は3個
円O3が2円O1,O2の大きい円に外接するとき,3円に接する円は3個
円O3が2円O1,O2の小さい円に外接するとき,3円に接する円は5個
円O3が2円の大きい円に内接し,小さい円に外接するとき,3円に接する円は5個

3円O1,O2,O3が同じ点で接するとき,3円に接する円は無数に存在する.


第5節アポロニウスの問題のまとめ

与えられた3円に接する円の個数は次のとおりである.
なお,以下の分類は,2円O1,O2の位置関係を利用した.なお,図のO1,O2は太い青線で,O3は太い黒円を 用いている.

(T)2円O1,O2が互いに他の外部にあるとき

円O3が2円の外にあるか,2円を含むとき,3円に接する円の個数は

(U)2円O1,O2が2点で交わるとき

円O3が2円の外にあるか,片方の円だけと2点で交わるか,2円の交点のうち片方を通るか ,2円の外部にあるとき,3円に接する円の個数は
円O3が2円の両方とそれぞれ2点で交わるとき,3円に接する円の個数は

(V)2円O1,O2が外接するとき

円O3が2円の外にあるか,両方の円とそれぞれ2点で交わるとき, 3円に接する円の個数は
円O3が2円の外にあるか,2円を含むとき,3円に接する円の個数は
円O3が2円と外接するとき,3円に接する円の個数は
円O3が片方の円に内接するとき,3円に接する円の個数は
円O3が片方の円に含まれるか2円の接点を通るとき,3円に接する円の個数は

(W)2円O1,O2が内接するとき

円O3が両方の円と2点で交わるか,または大きな円の内部にありかつ小さな円の外部に あるとき,3円に接する円の個数は
円O3が大きい円に内接するか,小さい円外接するか,大きい円に内接しかつ小さい円に外接する とき,3円に接する円の個数は
円O3がいずれかの円だけと2点で交わるとき,3円に接する円の個数は
円O3が大きい円に外接するか,小さい円に内接するか,小さい円に含まれるとき ,3円に接する円の個数は
円O3が大きい円の外部にあるか,接点を通るとき,3円に接する円の個数は

(X)それ以外




3円が2点で交わるか,2円が互いに他の外部にありかつもう1つの円が 片方の円に含まれるか,または1つの円の中にもう1つの 円があり,さらにその中にもう1つの円がある場合(これらの条件は3円が共軸系をなすか,または各円を交 わらない範囲で平行移動したものということができる),3円に接する円の個数は
3円が1点で接するとき,3円に接する円の個数は無数



表の見方
1.与えられた3円について,接する2円があるかどうかを調べ,もしあれば表V,W,Xでどの場合かを調べる.
2.接する2円がないとき,交わる2円があるかどうかを調べ,あれば表Uで調べる.
3.3個の円が交わらないときはTまたはXで調べる.



第6節 軌跡を利用する方法

ここではアポロニウスの問題を軌跡を利用して考えます. まず,2円が与えられ3たとき,2円に接する円の中心の軌跡は双曲線か楕円です(2円が外接する,内接 するときは直線も考える必要がありますがここでは考えません).


上の左図で円O,O'の半径をそれぞれr,r’とすると 左図は
PO−r=PO'−r’ 
∴ PO−PO'=r−r’=(一定) したがって,点Pの軌跡は2点O,O'を焦点とする双曲線の片方です.
右図は r−PO=PO'−r’ ∴ PO+PO'=r+r’ 点Pの軌跡は2点O,O'を焦点とする楕円です.
2円が与えられたとき,両方に接する円の中心の軌跡をもう少し調べましょう. 2円に共に外接,内接する円は,

図より, PO−r=PO'−r’ ∴PO−PO'=r−r’(左図) PO+r=PO'+r’ ∴PO−PO'=r’−r(右図) したがって,2つの軌跡合わせて1つの双曲線になります. 次に片方に外接,もう一方に内接する円の中心の軌跡を間がます.

左図は PO-r=PO'+r' ∴ PO−PO'=r+r’ 右図は PO+r=PO’−r’ ∴ PO−PO'=−r−r’ したがって,この場合も2つの軌跡をあわせて1つの双曲線になります. 準備が整いました.3円O,O',O"に接する円を求めるのに,2円O,O'に接する円の中心の軌跡と, 2円O,O"に接する円の中心の軌跡の交点を調べることはとても自然な発想です.この方法で アポロニウスの問題を考えます.


まず,2円O,O'に接する円の中心の軌跡は2つの2次曲線で,2円O,O"に接する円の中心の軌跡も2つの2次曲線なので, これらの交点は全部で最大限16個あります.当然すべてが3円に接する円の中心になるわけではありません. 図を用いて説明していきます.


まず,2円O,O'の両方に接する円の中心の軌跡は次の図です.F,F'が焦点の赤い2次曲線が求める軌跡です. なお,4つの軌跡の曲線は右側から
(円Fに内接し円F'に外接する円の中心の軌跡)
(2円F,F'に外接する円の中心の軌跡)
(2円F,F'に内接する円の中心の軌跡)
(円Fに外接し円F外接し円F'に内接する円の中心の軌跡)
となっています.




(図の説明)A,Bは2円F,F'の相似の中心.点Aと円Fの中心および周上の点をドラッグしてみましょう.
また,黒い円を赤い軌跡上の点におき,半径を変え,2円に接することを確かめましょう.



次に,3円F,F',F"が与えらたとき考えます.まず,2円F,F'に接する円の中心の軌跡は上で調べましたから, それに,2円F,F"の両方に接する円の中心の軌跡を重ねてみましょう.全部を重ねると,複雑になりすぎるので, 2つに分けて考えます. 次の図は,2円F,F"外接する円の中心と内接する円の中心の軌跡を加えた図です.




(図の説明)A,Bは2円F,F'の相似の中心,A'は2円F,F"の相似の中心です.
点A,A'と円Fの中心および周上の点をドラッグしてみましょう.
また,黒い円を赤い軌跡上の点におき,半径を変え,2円に接することを確かめましょう.




上の図で交点の個数は最大限8ですが,円Fに内接するか外接するかに注目することにより, 3円F,F',F"に接する円の個数は 最大限4であることがわかります.


次の図は,2円Fに外接,F"内接する円の中心と2円Fに内接,F"外接する円の中心の軌跡を加えた図です.




(図の説明)A,Bは2円O,O'の相似の中心,点B'は2円F,F"の相似の中心です.
点A,B'と円Fの中心および周上の点をドラッグしてみましょう.
また,黒い円を赤い軌跡上の点におき,半径を変え,2円に接することを確かめましょう.


やはりこの場合も,交点の個数は最大限8ですが,円Fに内接するか外接するかに注目することにより,3円F,F',F"に接する円の個数は 最大限4であることがわかります.


次の図は,3円にを与えたときの円錐曲線がわかるものです.説明にしたがって,ご利用ください.
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図の動きが悪い場合はこちらをお試しください

(図の説明)

3円F,F',F"に対して,A,A'は2円F,F'の相似の中心,B,B'は2円F,F"の相似の中心です. F,F'を焦点とする円錐曲線(赤,こげ茶)は,2円F,F'に共通に接する円の中心の軌跡, F,F"を焦点とする円錐曲線(黒,緑)は,2円F,F”に共通に接する円の中心の軌跡です. 左上の黒円は実際に接する円を調べるときに利用するためのもので,自由に動き,大きさも変わります. 中心,周上の点をドラッグしてみましょう. 次に,右側の点Pの横の数字は2円F,F'の相似比で点Qの横の数字は2円F,F"の相似比です. P,Qを上下に動かすと相似比が変わります.また,円Fは自由に変わります.Fの中心,周上の点を ドラッグして調べましょう.一番小さい円を円Fとすればすべての3円の関係が作れ調べられます. (パソコンの容量が大きくないと動きが悪いかもしれません)


あとがき

第5節の分類は表だけではまだ不十分です.例えば,2円が交わるとき,第3円が, 2円と共に2点で交わる場合を調べると次の 図のようにいろいろあるからです.


ただ,反転変換を用いてすぐわかる場合を付け加えれば表は完成します. なお,反転変換によると,円の内部の円は外部に,外部の円は内部に,内接する円は外接します. 例えば表Tの
は黒円に関する反転変換を行えば互いに同じものです.すなわち,反転変換で接する条件は保たれるから, 左側の図で3円に接する円が8個あれば右の図でも8個あります.この考えを用いて,求める図がないとき, いずれかの円に関する反転変換を行って探してください.必ず見つかると思います.


第6節の軌跡を利用する方法は図を是非利用してください(動きが悪いかもしれません). 円Fを小さくすれば,遠方も調べやすくなります.
なお,アポロニウスはこの問題をどのように考えたか私はわかりませんが, 多分第6節の方法で調べたのではないでしょうか. アポロニウスなら,2円を与えたとき,共通に接する円の中心の軌跡は即座にわかるでしょうし, 結果は得ることはそれほど困難なことではありません.


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