いろいろな立体の問題 第9節 ベクトルの外積 5.外積の性質(その2) 外積の分配法則が証明できれは大きな問題はありません. まず,成分表示されたベクトルの外積を調べます. 座標空間の原点をOとし,x軸,y軸,z軸の正の向きと同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ →e1,→e2,→e3とする. なお,このベクトル→e1,→e2,→e3を,座標軸に関する基本ベクトルという. 空間における任意のベクトル→aは基本ベクトルを用いて →a=a1→e1+a2→e2+a3→e3 とただ一通りに表せる.ここで,3つの実数a1,a2,a3を→aの成分といい,a1をx成分, a2をy成分,a3をz成分という. また,ベクトル→aはその成分を用いて, →a=(a1,a2,a3) と表し,この表し方をベクトルの成分表示という. 外積の定義より, →e1×→e2=−→e2×→e1=→e3 →e2×→e3=−→e3×→e2=→e1 →e3×→e1=−→e1×→e3=→e2 →e1×→e1=0 →e2×→e2=0 →e3×→e3=0 が成り立つので, →a=(a1,a2,a3),→b=(b1,b2,b3) のとき, →a×→b =(a1→e1+a2→e2+a3→e3)×(b1→e1+b2→e2+b3→e3) =(a2b3−a3b2)→e1+(a3b1−a1b3)→e2+(a1b2−a2b1)→e3 =(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)・・・① 外積の成分表示は次のように覚えるとよい. →a=(a1,a2,a3),→b=(b1,b2,b3) に対して,y成分,z成分,x成分,y成分を並べた a2a3a1a2b2b3b1b2 対して,順に2列ずつとった,2行2列の行列の行列式を並べたもの.すなわち, (|a2a3b2b3|,|a3a1b3b1|,|a1a2b1b2|) である.なお |abcd|=ad−bc である. 外積の定義を成分による①で与えるのも理にかなった方法です. すなわち, →a=(a1,a2,a3),→b=(b1,b2,b3) に対して,→a,→bの両方に垂直なベクトルを求めることにより①のベクトルを導き出し, ①のベクトルの大きさが→a,→bの決める平行四辺形の面積と一致し, →a,→bおよび①のベクトルがこの順に右手系をなすことを示す方法です. なお,この方法で外積を扱った内容が球面幾何学(第2章)にありますので,興味があればご覧ください. まとめると次のようになります. 命題1 →a=(a1,a2,a3),→b=(b1,b2,b3) のとき, →a×→b=(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1) が成り立つ. 次に,→a,→bのなす角をθ,単位ベクトル→nを →aにも→bにも垂直で,かつ→a,→b,→nがこの順に右手系をなすものと定義すると, →a×→b=|→a||→b|sinθ→n であった.したがって, |→a×→b|=|→a||→b|sinθ であるから. →a≠→0,→b≠→0のとき →a×→b=0⟺sinθ=0⟺→a∥→b まとめると次のようになります. 命題2 →a≠→0,→b≠→0のとき →a×→b=0⟺→a∥→b 外積の定義より, →a,→bの決める三角形の面積Sは S=|→a×→b|2 であるから, 命題3 △ABCで →AB=(a1,a2,a3),→AC=(b1,b2,b3) のとき,△ABCの面積Sは S=(a2b3−a3b2)2+(a3b1−a1b3)2+(a1b2−a2b1)22 である. 続く 目次 |