いろいろな立体の問題 第9節　ベクトルの外積 5.外積の性質(その2) 外積の分配法則が証明できれは大きな問題はありません． まず，成分表示されたベクトルの外積を調べます． 座標空間の原点を$O$とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸の正の向きと同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$とする． なお，このベクトル$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$を，座標軸に関する基本ベクトルという． 空間における任意のベクトル$\overrightarrow{a}$は基本ベクトルを用いて $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}$ とただ一通りに表せる．ここで，３つの実数$a_1,a_2,a_3$を$\overrightarrow{a}$の成分といい，$a_1$を$x$成分， $a_2$を$y$成分，$a_3$を$z$成分という． また，ベクトル$\overrightarrow{a}$はその成分を用いて， $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ と表し，この表し方をベクトルの成分表示という． 外積の定義より， $\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2}=-\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_3}$ $\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3}=-\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_1}$ $\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1}=-\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_2}$ $\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_1}=0$ $\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2}=0$ $\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_3}=0$ が成り立つので， $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき， $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ $=(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})\times (b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3})$ $=(a_2b_3-a_3b_2)\overrightarrow{e_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\overrightarrow{e_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{e_3}$ $=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$・・・�@ 外積の成分表示は次のように覚えるとよい． $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ に対して，$y$成分,$z$成分,$x$成分,$y$成分を並べた $\begin{matrix} a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\ b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \end{matrix}$ 対して，順に２列ずつとった，２行２列の行列の行列式を並べたもの．すなわち， $\biggl(\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}_{,} \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}_{,} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}\biggr)$ である．なお $\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$ である． 外積の定義を成分による�@で与えるのも理にかなった方法です． すなわち， $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ に対して，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の両方に垂直なベクトルを求めることにより�@のベクトルを導き出し， �@のベクトルの大きさが$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の決める平行四辺形の面積と一致し， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$および�@のベクトルがこの順に右手系をなすことを示す方法です． なお，この方法で外積を扱った内容が球面幾何学(第２章)にありますので，興味があればご覧ください． まとめると次のようになります． 命題１ $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき， $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$ が成り立つ． 次に，$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$,単位ベクトル$\overrightarrow{n}$を $\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直で，かつ$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{n}$がこの順に右手系をなすものと定義すると， $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta \overrightarrow{n}$ であった．したがって， $|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$ であるから． $\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}$のとき $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=0 \Longleftrightarrow \sin \theta =0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$ まとめると次のようになります． 命題2 $\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}$のとき $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$ 外積の定義より， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の決める三角形の面積$S$は $S=\dfrac{|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|}{2}$ であるから， 命題3 $\triangle ABC$で $\overrightarrow{AB}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{AC}=(b_1,b_2,b_3)$ のとき，$\triangle ABC$の面積$S$は $S=\dfrac{(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}{2}$ である． 続く 目次