いろいろな立体の問題

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いろいろな立体の問題

第9節　ベクトルの外積

5.外積の性質(その2)
外積の分配法則が証明できれは大きな問題はありません．
まず，成分表示されたベクトルの外積を調べます．
座標空間の原点を

$O$ とし，

$x$ 軸，

$y$ 軸，

$z$ 軸の正の向きと同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ

$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ とする．
なお，このベクトル

$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ を，座標軸に関する基本ベクトルという．
空間における任意のベクトル

$\overrightarrow{a}$ は基本ベクトルを用いて

$\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}$
とただ一通りに表せる．ここで，３つの実数

$a_1,a_2,a_3$ を

$\overrightarrow{a}$ の成分といい，

$a_1$ を

$x$ 成分，

$a_2$ を

$y$ 成分，

$a_3$ を

$z$ 成分という．
また，ベクトル

$\overrightarrow{a}$ はその成分を用いて，

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$
と表し，この表し方をベクトルの成分表示という．

外積の定義より，

$\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2}=-\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_3}$

$\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3}=-\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_1}$

$\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1}=-\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_2}$

$\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_1}=0$

$\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2}=0$

$\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_3}=0$
が成り立つので，

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$
のとき，

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$

$=(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})\times (b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3})$

$=(a_2b_3-a_3b_2)\overrightarrow{e_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\overrightarrow{e_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{e_3}$

$=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$ ・・・①

外積の成分表示は次のように覚えるとよい．

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$
に対して，

$y$ 成分,

$z$ 成分,

$x$ 成分,

$y$ 成分を並べた

$\begin{matrix} a_2 & a_3 & a_1 & a_2 \\ b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \end{matrix}$
対して，順に２列ずつとった，２行２列の行列の行列式を並べたもの．すなわち，

$\biggl(\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}_{,} \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}_{,} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}\biggr)$
である．なお

$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$
である．

外積の定義を成分による①で与えるのも理にかなった方法です．
すなわち，

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$
に対して，

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めることにより①のベクトルを導き出し， ①のベクトルの大きさが

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ の決める平行四辺形の面積と一致し，

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ および①のベクトルがこの順に右手系をなすことを示す方法です．
なお，この方法で外積を扱った内容が球面幾何学(第２章)にありますので，興味があればご覧ください．
まとめると次のようになります．

命題１

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$
のとき，

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$
が成り立つ．

次に，

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ のなす角を

$\theta$ ,単位ベクトル

$\overrightarrow{n}$ を

$\overrightarrow{a}$ にも

$\overrightarrow{b}$ にも垂直で，かつ

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{n}$ がこの順に右手系をなすものと定義すると，

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta \overrightarrow{n}$
であった．したがって，

$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$
であるから．

$\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}$ のとき

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=0 \Longleftrightarrow \sin \theta =0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$
まとめると次のようになります．

命題2

$\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}$ のとき

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$

外積の定義より，

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ の決める三角形の面積

$S$ は

$S=\dfrac{|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|}{2}$
であるから，

命題3

$\triangle ABC$ で

$\overrightarrow{AB}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{AC}=(b_1,b_2,b_3)$
のとき，

$\triangle ABC$ の面積

$S$ は

$S=\dfrac{(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}{2}$
である．

続く

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