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いろいろな立体の問題

第9節 ベクトルの外積

5.外積の性質(その2)
外積の分配法則が証明できれは大きな問題はありません.
まず,成分表示されたベクトルの外積を調べます.
座標空間の原点をOとし,x軸,y軸,z軸の正の向きと同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ e1,e2,e3とする.
なお,このベクトルe1,e2,e3を,座標軸に関する基本ベクトルという.
空間における任意のベクトルaは基本ベクトルを用いて
a=a1e1+a2e2+a3e3
とただ一通りに表せる.ここで,3つの実数a1,a2,a3aの成分といい,a1x成分, a2y成分,a3z成分という.
また,ベクトルaはその成分を用いて,
a=(a1,a2,a3)
と表し,この表し方をベクトルの成分表示という.

外積の定義より,
e1×e2=e2×e1=e3
e2×e3=e3×e2=e1
e3×e1=e1×e3=e2
e1×e1=0
e2×e2=0
e3×e3=0
が成り立つので,
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
のとき,
a×b
=(a1e1+a2e2+a3e3)×(b1e1+b2e2+b3e3)
=(a2b3a3b2)e1+(a3b1a1b3)e2+(a1b2a2b1)e3
=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)・・・①

外積の成分表示は次のように覚えるとよい.
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
に対して,y成分,z成分,x成分,y成分を並べた
a2a3a1a2b2b3b1b2
対して,順に2列ずつとった,2行2列の行列の行列式を並べたもの.すなわち,
(|a2a3b2b3|,|a3a1b3b1|,|a1a2b1b2|)
である.なお
|abcd|=adbc
である.

外積の定義を成分による①で与えるのも理にかなった方法です.
すなわち,
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
に対して,a,bの両方に垂直なベクトルを求めることにより①のベクトルを導き出し, ①のベクトルの大きさがa,bの決める平行四辺形の面積と一致し, a,bおよび①のベクトルがこの順に右手系をなすことを示す方法です.
なお,この方法で外積を扱った内容が球面幾何学(第2章)にありますので,興味があればご覧ください.
まとめると次のようになります.

命題1
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
のとき,
a×b=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)
が成り立つ.

次に,a,bのなす角をθ,単位ベクトルnaにもbにも垂直で,かつa,b,nがこの順に右手系をなすものと定義すると,
a×b=|a||b|sinθn
であった.したがって,
|a×b|=|a||b|sinθ
であるから.
a0,b0のとき
a×b=0sinθ=0ab
まとめると次のようになります.

命題2
a0,b0のとき
a×b=0ab

外積の定義より,
a,bの決める三角形の面積S
S=|a×b|2
であるから,

命題3
ABC
AB=(a1,a2,a3),AC=(b1,b2,b3)
のとき,ABCの面積S
S=(a2b3a3b2)2+(a3b1a1b3)2+(a1b2a2b1)22
である.


続く



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