いろいろな立体の問題 第9節 ベクトルの外積 6.外積の性質(その3) 
$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$の決める平行６面体の体積$V$を求めよう．
$O$を原点として，4点$A,B,C,D$を$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}, \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ によって定める． (1) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$がこの順に右手系のとき． $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$と同じ向きの単位ベクトルを$\overrightarrow{n}$， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$の決める平行四辺形の面積を$S$， $C$から直線$OD$におろした垂線の足を$C'$とする． $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=S\overrightarrow{n}$ $OC'=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{n}$ であるから， $V=S\cdot OC'=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ 
(2) $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$がこの順に左手系のとき．$A,B,C,C',D$の決め方は右手系の場合と同様である． $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$と同じ向きの単位ベクトルを$\overrightarrow{n}$， $\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{n}$とのなす角を$\theta$とすると， $OC'=OC\cos (\pi -\theta)=-OC\cos \theta$ したがって， $V=S\cdot OC'=S\cdot (-OC\cos \theta)=-(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ 以上をまとめると次のようになる． 命題4 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$の定める平行６面体の体積を$V$とすると， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$がこの順に右手系のとき $V=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$がこの順に左手系のとき $V=-(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ である． いずれの場合にも $V=|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}|$ である． 平行６面体の体積$V$は$V\text{＞}0$であるから，次の命題も成り立つ． 命題5 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$が１次独立のとき， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$がこの順に右手系 $\Longleftrightarrow (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}\text{＞}0$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$がこの順に左手系 $\Longleftrightarrow (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}\text{＜}0$ 3つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$よりきまる $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ の値をもう少し調べよう． 平行６面体の体積$V$を底面を変えて計算することより， $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ $=(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}$ $=(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}$ また，内積は交換可能であるから１，２行目の式より $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c} =\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$ 次に $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ を別の見方をしてみよう． $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ $=\biggl(\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}_{,} \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}_{,} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}\biggr)$ であるから， $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ $=\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}c_1+ \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}c_2+ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}c_3$ であり，この式は，３行３列の行列の行列式 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ の第３行に関する展開である．したがって，次の命題が成り立つ． 命題6 $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3),\overrightarrow{c}=(c_1,c_2,c_3)$ のとき， $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c} =\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$ である． 命題6より，行列式は3つのベクトルの決める平行６面体の向きまで考えた体積と考えてよい． 実際平面で考えると， $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$ 決まる平行四辺形の面積$S$は $S=\pm \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$ となっている． 目次 |