いろいろな立体の問題 第5節　円柱と円錐(その3) 以前，円錐から平面で切り取った立体についての次の問題を扱いました．(第１節その4) 例題6 中心$O$，半径１の円を底面として，高さが１の直円錐がある． 点$O$を通り，１つの母線と平行な平面を$\alpha$とする． 平面$\alpha$はこの円錐を２つの部分に分けるが，そのうちの小さいの方の立体を$V$とする． (1) この円錐を平面$\alpha$で切るとき，その切り口の面積を求めよ． (2) $V$の体積を求めよ． (3) $V$の表面積を求めよ． この問題を，中心$O$を原点，円錐の底面を$xy$平面となるよう座標を設定して解きました．この座標軸では，円錐の 方程式は $x^2+y^2=(1-z)^2 \ \ (0\leqq z \leqq 1)$ となりました． ここでは，円錐に対して他の座標軸を設定して問題を解きます． ここでは円錐の方程式を $z^2=2xy$ として扱います．この曲面は直円錐となるのですが分かるでしょうか．すぐ分かる人はたいしたものです． 一番分かりやすいのは$z$軸の周りに$45^{\circ}$回転してみることでしょう. 実際，$z$軸の周りに$45^{\circ}$回転する一次変換すなわち $(x,y,z) \mapsto (x',y',z')$ を $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $z'=z$ によって定義すると この１次変換で $(\text{曲面}z^2=2xy) \mapsto (\text{曲面}z^2=-x^2+y^2)$ となります．すなわち，$y$軸が軸の直円錐です． このことから，曲面$z^2=2xy$は，$xy$平面上の直線 $x=y,z=0$ を軸とする，$x$軸，$y$軸が母線である直円錐であることが分かる． この事実を直接確かめてみよう． 直線 $x=y,z=0$ 上に点$P$を取り， $OP=t$とおく． このとき $P(\dfrac{t}{\sqrt{2}},\dfrac{t}{\sqrt{2}},0)$ である． $P$を通り$OP$に垂直な平面$\alpha$上の基本ベクトルを $(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0),(0,0,1)$ とすると，平面$\alpha$上の点は $(\dfrac{t}{\sqrt{2}},\dfrac{t}{\sqrt{2}},0)+u(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0)+v(0,0,1)$ $=(\dfrac{t}{\sqrt{2}}+\dfrac{u}{\sqrt{2}},\dfrac{t}{\sqrt{2}}+\dfrac{u}{\sqrt{2}},v)$ この式を $z^2=2xy$ に代入すると， $u^2+v^2=t^2$ となり，軸が $x=y,z=0$ で頂点が$O$の直円錐であることが分かる． この円錐を用いて，例題6を解いてみよう． 例題６の解答 求める立体を不等式で表すと， $z^2\leqq 2xy,x+y\leqq \sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq x$ となります． この立体を平面 $x=t \ \ \ (\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqq t \leqq \sqrt{2})$ で切った切り口の図形は $y=\dfrac{z^2}{2t} \ \ (0\leqq y \leqq \sqrt{2}-t)$ この面積$S(t)$を計算すると， $\displaystyle S(t)=\int_{-\sqrt{2t(\sqrt{2}-t)}}^{\sqrt{2t(\sqrt{2}-t)}}\dfrac{z^2}{2t}dz$ $=\dfrac{\left(2\sqrt{2t(\sqrt{2}-t)}\right)^3}{2t\cdot 6}$ $=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt{\sqrt{2}t-t^2}(\sqrt{2}-t)$ さらに $\displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\sqrt{2}}S(t)dt$ を計算すればよい． $S(t)$は面倒そうな式であるが，ルートの中を $\sqrt{\sqrt{2}t-t^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}-(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-t)^2}$ と変形すれば簡単に計算でき， $\displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\sqrt{2}}S(t)dt$ $=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2}{9}$ を得る． 次に，円錐を母線と平行な２面で切った次の立体の体積と側面積を求めよう． 例題 円錐面 $z^2=2xy$ と２平面 $x=a,y=b \ \ (0\text{<}x,0\text{<}b)$ で囲まれた立体$V$の体積と側面積を求めよ． 解答 立体$V$を平面 $x=t \ \ (0\leqq x \leqq a)$ できると切り口の図形は $y=\dfrac{z^2}{2t} \ \ (0\leqq y \leqq b)$ したがって切り口の面積$S(t)$は $\displaystyle S(t)=\int_{-\sqrt{2tb}}^{\sqrt{2tb}}\dfrac{z^2}{2t}dz$ $=\dfrac{4\sqrt{2}b\sqrt{b}\sqrt{t}}{3}$ したがって，求める体積は， $\displaystyle \int_0^aS(t)dt=\int_0^a\dfrac{4\sqrt{2}b\sqrt{b}\sqrt{t}}{3}dt=\dfrac{8\sqrt{2}ab\sqrt{ab}}{9}$ 側面積はこの円錐を平面$x=a$で切った切り口の面積と平面$y=b$で切った切り口の面積の和である． $z^2=2xy$に$x=a,y=b$を代入すると，それぞれ $z^2=2ay,z^2=2bx$ であるから，求める側面は， $\displaystyle \int_{-\sqrt{2ab}}^{\sqrt{2ab}}\dfrac{z^2}{2a}dz+\int_{-\sqrt{2ab}}^{\sqrt{2ab}}\dfrac{z^2}{2b}dz$ $=\dfrac{4\sqrt{2}\sqrt{ab}(a+b)}{3}$ なお立体$V$の側面積が２つの切り口の面積の和になることは例題６の解説 で詳しく述べてある．右図を見ると分かりやすい． すなわち，立体$V$の側面を底面（右図の赤面）に正射影した図形と，上で求めた２つの切り口の図形の底面への正射影の図形は一致し，さらにともに 底面とのなす角は$45^{\circ}$で等しい． 続く 目次