いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第5節　円柱と円錐(その4)

(このページは2013年12月に追加したものです)
2013年度，東京大と大阪大で円錐に関しての出題がありました．ここではその解説をします．
まず，円錐の側面の方程式の求め方について本文ですでに述べましたが，もうすこしわかりやすく説明します．
$O$を原点とする$xy$座標平面で考えます．

平面上の点$P(x,y)$で$\overrightarrow{OP}$が$x$軸と角$\theta$をなすときの点$P$の軌跡を求めましょう．
もちろん答は
$y=\pm (\tan \theta)x $
です．
次のように解くこともできます．
$\overrightarrow{e_1}=(1,0)$とおけば
$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{e_1}=OP\cos \theta$
$x=\sqrt{x^2+y^2}\cos \theta $
両辺を平方して
$x^2=(x^2+y^2)\cos ^2\theta $
$\sin ^2 \theta x^2=\cos ^2\theta y^2 $
$\therefore (\sin \theta )x=\pm (\cos \theta )y$
この解答の優れている点は，$\overrightarrow{e_1}$がどのようなベクトルでも使えることです．

この考えを空間図形で用いると円錐の側面の方程式が出てきます．すなわち，$\overrightarrow{e}$と角$\theta $をなす点$P$の軌跡を空間で考えたものです．

具体的には
$P_0(\overrightarrow{p_0})$を頂点とし，$P_0$を通り方向ベクトル$\overrightarrow{v}$の直線
$\overrightarrow{p_0}+t\overrightarrow{v}$
を中心軸（または単に軸という）とする，頂角が$2\theta$（中心軸とのなす角が$\theta$）の円錐面の方程式は．
$\overrightarrow{P_0 P} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{P_0 P}||\overrightarrow{v}|\cos \theta$
となる．
回転軸の方向ベクトル$\overrightarrow{v}$を単位ベクトルとすると
$\overrightarrow{P_0 P} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{P_0 P}|\cos \theta$
となる．
両辺を平方して得られる方程式が円錐の側面の方程式です．左辺の正負により，２つの円錐面があられます．区別するのは当然，左辺の正負によります．
このように考えれば，円錐の方程式は高校生でも扱えます．
例題7はこの考えを用いて解くのが標準的です．
出題者はもちろん円錐の方程式は高校生が学んでいないことは承知しているでしょう．しかし，その場で考えて，円錐の側面の方程式は求められる，少なくても将来に自然科学の研究をしたいと考えているならこの程度はできなければならないという意図の元で作成したのでしょう．出題者の受験生へのエールと考え，合否には関係ない難問だなどというスタンスにはたたないで欲しいものです．ちなみに，円錐の側面の方程式さえ分かれば，以下の解答からわかるように，過去の東大の体積を求める問題と比較するとはるかに穏やかです．
ところで，この問題は円錐の側面の方程式の知識がないと解けないのかというとそうではそうではありません，高校生が誰でも知っている知識だけで，解答できそれが解答2です．

例題7
座標空間において，$xy$平面内に不等式
$|x|\leqq 1,|y|\leqq 1$
により定まる正方形$S$の４つの頂点を
$A(-1,1,0),B(1,1,0),C(1,-1,0),D(-1,-1,0)$
とする．正方形$S$を，直線$BD$を軸として回転させてできる立体を$V_1$,直線$AC$ を軸として回転させてできる立体を$V_2$ とする．
(1)$0\leqq t <1$を満たす$t$に対して，平面$x=t$による$V_1$の切り口の面積を求めよ．
(2)$V_1$と$V_2$の共通部分の体積を求めよ．

東京大（2013年）

解答
(1)右図は，$V_1$のうち，片方の円錐をはずしたものです．切り口の図形は，２つの平面による切り口を片方を逆さにしてくっつけたものです(２つの円錐を書くと分かりづらい図になるのでこの図にした)．
まず線分$BC$を$BD$の周りに回転して得られる円錐の側面の方程式を求める．
$P(x,y,z)$おくと
$\overrightarrow{BP}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,-1,0)=|\overrightarrow{BP}|\cos \dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{-(x-1)-(y-1)}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2+z^2}}{\sqrt{2}}$
両辺を平方して
$z^2=2(1-x)(1-y)　\cdots (\sharp)$
ただし，$0\leqq x+y \leqq 2$

同様に線分$CD$を$BD$の周りに回転して得られる円錐の側面の方程式は
$z^2=2(1+x)(1+y) \ \ \ (-2\leqq x+y \leqq 0)\cdots (\flat) $
$x=t$を代入すると$(\sharp),(\flat)$はそれぞれ
$z^2=2(1-t)(1-y) \ \ (-t\leqq y \leqq 1)$
$z^2=2(1+t)(1+y) \ \ (-1\leqq y\leqq -t)$
グラフは右下図の①，②（太線）．
２式の交点のy座標は$y=-t$である．図は右下図の太線．求める面積は
$\displaystyle 2\int_{-1}^{-t}\sqrt{2(1+t)}\sqrt{1+y}dy+2\int_{-t}^{1}\sqrt{2(1-t)}\sqrt{1-y}dy=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt{1-t^2}$

(2)
(1)と同様に，線分$AD,CD$を軸$AC$の周りに回転した曲面を平面$x=t$で切ったときの切り口の図形は，それぞれ
$z^2=2(1-t)(1+y)$
$z^2=2(1+t)(1-y)$
である．$V_1,V_2$の共通部分を平面$x=t$で切ったときの切り口の図形は４つの放物線の共通部分であり（右図参照），幅がせまい放物線(図の①、④) $z^2=2(1-t)(1-y),z^2=2(1-t)(1+y)$
で囲まれた部分である．
その面積を$S(t)$とすると
$\displaystyle 4\int_0^1\sqrt{2(1-t)}\sqrt{1-y}dy=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\sqrt{1-t}$
したがって，求める体積は
$\displaystyle 2\int_0^1S(t)dt=\dfrac{32\sqrt{2}}{9}$

さて，受験生はどのようにこの問題を解いたのでしょう．これは採点者しか分からないことですが，優秀な受験生は蔓延している特殊な受験技術など用いず，問題の本質をとらえ，シンプルな解答をします．たぶん次のような解答が多かったのではないでしょうか．

解答2
(1)
直円錐を母線に平行な平面で切ると，切り口の図形は放物線である．
したがって，立体$V_1$を平面$x=t$で切った切り口は右下図のように，２つの放物線で囲まれた図形である．
上に凸の放物線は
$y=\dfrac{b}{a^2}(a^2-x^2)$
下に凸の放物線は

$y=\dfrac{c}{a^2}(x^2-a^2)$
この２つの放物線で囲まれた図形の面積は，受験生お馴染みのいわゆる$\dfrac{1}{6}$公式により
$\dfrac{b}{6a^2}(2a)^3+\dfrac{-c}{6a^2}(2a)^3=\dfrac{4a(b-c)}{3}$
あとは$a,b,c$を求めるだけである．
まず$b,c$の値を求める．

２つの円錐よりできている立体$V_1$を真上から見た図（平面図）は右図，
点$Q$の$y$座標は$-t$より，
$b=1+t,c=t-1$

次に$a$の値を求める．
右図で，
$OQ=\sqrt{2}t,OR=\sqrt{2}$
であるから，
$a=PR=\sqrt{2-2t^2}$
以上の$a,b,c$を代入して，求める切り口の面積は
$\dfrac{4a(b-c)}{3}=\dfrac{8\sqrt{2}\sqrt{1-t^2}}{3}$

(2)
次に立体$V_2$を考える．
真上から見ればわかりやすいと思うが，$V_2$を平面$x=t$で切った切り口は(1)で求めた切り口, すなわち上に凸の放物線と下に凸の放物線で囲まれた図形を直線
$y=\dfrac{b+c}{2}$
に関して対称移動したものである．
したがって，$V_1,V_2$の共通部分を平面$x=t$で切った切り口の面積は
$y=\dfrac{b}{a^2}(a^2-x^2)$
と直線
$y=\dfrac{b+c}{2}$
で囲まれた図形の面積の２倍である．

$b=1+t,c=t-1$
$a=\sqrt{2-2t^2}$
であるから，放物線
$y=\dfrac{1+t}{2-2t^2}(2-2t^2-x^2)=1+t-\dfrac{x^2}{2(1-t)}$
と直線
$y=t$

で囲まれた図形の面積の２倍が$V_1,V_2$の共通部分を平面$x=t$で切ったときの切り口の図形の面積である．
放物線と直線の交点の$x$座標は
$x=\pm \sqrt{2(1-t)}$
であるから，切り口の面積$S(t)$は
$S(t)=2\dfrac{6}{1}\cdot \dfrac{1+t}{2(1-t^2)}\cdot (2\sqrt{2}\sqrt{1-t})^3=\dfrac{8\sqrt{2}\sqrt{1-t}}{3}$
したがって，求める体積は
$\displaystyle 2\int_0^1S(t)dt=\dfrac{32\sqrt{2}}{9}$

参考
円錐を平面で切ったときの切り口は，母線と平行な平面で切ると放物線ですが，それ以外の平面で円錐を切ると切り口の図形は楕円か双曲線です．楕円や双曲線で囲まれた図形の面積を求めるのは簡単でなく，体積を求めるのは，さらにその値を積分する必要があるので，切り口が放物線以外になるような円錐の切り方を考えることは入試問題では起こりません．例外が，円錐を中心軸に垂直な平面で切って調べる方法です．これは，切り口が円になります．このときは円の一部を求めることになるので置換積分を用いることになります．
たとえば
1994年　東京大　第３問
です．この問題も解いてみましょう．

続く

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