いろいろな立体の問題 第5節　円柱と円錐(その2) 次に円錐の側面を考えます． $P_0(\overrightarrow{p_0})$を頂点とし，$P_0$を通り方向ベクトル$\overrightarrow{v}$の直線 $\overrightarrow{p_0}+t\overrightarrow{v}$ を中心軸（または単に軸）とする，頂角が$2\theta$（中心軸とのなす角が$\theta$）の円錐面の方程式を求めよう． 円錐面上の点を$P(\overrightarrow{p})$とする． このとき，$\overrightarrow{P_0 P}$と中心軸とのなす角は$\theta$であるから， $\overrightarrow{P_0 P} \cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{P_0 P}||\overrightarrow{v}|\cos \theta$ となる． ここで， $P(x,y,z),P_0 (x_0,y_0,z_0),\overrightarrow{v}=(a,b,c)$ とおくと， $(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0))^2$ $=((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2)(a^2+b^2+c^2)\cos ^2 \theta$ となる． もし，$P_0$を原点，中心軸を$z$軸とすると， $\overrightarrow{v}=(0,0,1)$ であるから，この円錐面の方程式は $z^2=(x^2+y^2+z^2)\cos ^2 \theta$ $\therefore x^2+y^2=z^2 \tan ^2 \theta$ 頂点が原点，中心軸が$x=y=z$,さらに$x$軸，$y$軸，$z$軸を含む直円錐面を求めよう． 中心軸の方向ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,1,1)$と$x$軸とのなす角を$\theta$とすると， $\cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ したがって， $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2$ $\therefore yz+zx+xy=0$・・・�@ 逆に方程式�@が与えれたとき，この曲面がどのような曲面であるかを考えてみよう． 円柱面で行ったことと同じことを行う． 曲面を調べるには，曲面を平面で切った切り口の図形を調べることになる． 式�@は$x,y,z$に関する対称式であるから，直線 $x=y=z$ に垂直な平面で切ったときの切り口の図形を調べるのが自然である． 曲線�@と平面 $x+y+z=3t$ の交線の図形を求めよう． 平面 $x+y+z=3t$ 上の直交する単位ベクトルはすでに求めてあり， $\overrightarrow{u}=\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}}$ $\overrightarrow{v}=\dfrac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}}$ で考える． 切り口の平面 $x+y+z=3t$ 上の点$(t,t,t)$と $\overrightarrow{u}=\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}}$ $\overrightarrow{v}=\dfrac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}}$ を用いて平面$x+y+z=3t$上の点$(x,y,z)$を $(x,y,z)=(t,t,t)+h\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{u}$ $=(t+\dfrac{h}{\sqrt{2}}+\dfrac{k}{\sqrt{6}},t-\dfrac{h}{\sqrt{2}}+\dfrac{k}{\sqrt{6}},t-\dfrac{2k}{\sqrt{6}})$ と表し，�@に代入し$h,k$の関係式を求めると $h^2+k^2=6t^2$ をえる． すなわち，この切り口は$(t,t,t)$を中心とする半径$\sqrt{6}t$の円である． 一方，原点と平面 $x+y+z=3t$ との距離は$\sqrt{3}t$ したがって，この曲面上の点$P$について，$\overrightarrow{OP}$と直線$x=y=z$とのなす角は$t$によらず一定であり， その角$\theta$ は $\cos \theta =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ である． したがって，曲面 $yz+zx+xy=0$ は原点が頂点，中心軸が$x=y=z$,頂角$2\theta$の円錐面である． ただし$\theta$は$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$を満たす． 続く 第6節　線織面(その1) 目次