いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第6節　線織面(その1)
空間内を直線が動くときのその軌跡として定義される曲面を線織面（せんしょくめんorせんしきめん）という．
当然，円錐面，円柱面は線織面です．
なお，母線とは線織面で用いられる言葉で，線織面を作るそれぞれの直線のことです．
ここで扱うのは，ねじれの位置にある2直線を，片方の周りにもう一方を回転させることにより得られる曲面の性質を調べることです．
この曲面も，直線が動くことにより得られるものですから当然線織面です．
この曲面を一葉双曲面とよび，大学入試でもしばしば扱われます．

具体的に問題を見てみましょう．

例題1
空間内の2点$P(1,0,1),Q(0,1,-1)$を通る直線$l$を$z$軸の周りに１回転し得られる曲面を$S$とする．
(1) $S$および２つの平面$z=1,z=-1$により囲まれる部分の体積を求めよ．
(2) $k$を正の数とする．点$(1,0,k)$を通り$y$軸を含む平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と曲面$S$が交わってできる曲線を$C$とする．そして，$C$上の各点を通り$z$軸に平行な直線と$xy$平面との交点の描く図形を$C_0$とする．$C_0$方程式を求めよ.
(3)(2)で求めた図形$C_0$が平行な２直線になるときの$k$の値を求めよ.

慶応大（2004年）

解答
直線$PQ$上の点$S$は
$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OQ}+s\overrightarrow{QP}$
$=(s,1-s,-1+2s)$
と媒介変数表示される．
$z$軸上の点$R(0,0,t)$に対して，
$RS \perp (z軸)$
を満たすように$s$を求めると
$\overrightarrow{RS}\cdot (0,0,1)=0$
より(もちろん，$z$座標が$1$としてもよい)
$s=\dfrac{t+1}{2}$
$\therefore S(\dfrac{t+1}{2},\dfrac{-t+1}{2},t)$
したがって，
$RS^2=\dfrac{t^2+1}{2}$
求める体積は
$\displaystyle \pi \int_{-1}^1RS^2dt$
$=\dfrac{4\pi}{3}$

（２）曲面$S$の方程式を求めよう．曲面$S$を平面$z=t$で切ったときの切り口は半径$\sqrt{\frac{t^2+1}{2}}$の円であるから，
$x^2+y^2=\dfrac{t^2+1}{2},z=t$
$t$を消去して
$x^2+y^2=\dfrac{z^2+1}{2}$・・・①

一方，点$(1,0,k)$を通り$y$軸にを含む平面$\alpha$とは，$zx$平面上の直線$z=kx$を$y$軸方向に平行移動することにより得られる(右図)ので
$z=kx$・・・②
求めるのは，①，②の交線のxy平面への正射影であるから，①，②より$z$を消去すればよい．
したがって，$C_0$の方程式は
$x^2+y^2=\dfrac{k^2x^2+1}{2}$
$\therefore (2-k^2)x^2+2y^2=1$

(3)　$C_0$が平行な２直線になるのは
$k^2-1=0$,$k$＞$0$
$\therefore k=\sqrt{2}$

続く

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