いろいろな立体の問題

第5節 円柱と円錐(その1)

ここでは,円柱と円錐の側面について考えます.
大学入試で時々見かける曲面
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1$

$xy+yz+zx=0$
は円柱や円錐の代表となる曲面であることが分かります.


円柱の側面から始めます.
円柱の側面の方程式を求めるには,空間における点と直線の距離を求める必要があり,それから説明します.
直線$l$と点$A$が与えれれたとき,
直線$l$上の点を$P_0$,単位方向ベクトルを$\overrightarrow{v}$とすると,
直線$l$と点$A$との距離は
$|\overrightarrow{P_0 A}\times \overrightarrow{v}|$
である.ただし$\times$は外積のことである.
なぜならば,$|\overrightarrow{v}|=1$であるから,右図で $A$から直線$l$に下した垂線の長さ$AH$と$\overrightarrow{v},\overrightarrow{P_0 A}$の決める平行四辺形の面積が等しいからである.
もし$\overrightarrow{v}$の大きさが$1$でなければ,直線$l$と点$A$との距離は
$\dfrac{|\overrightarrow{P_0 A}\times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|}$
となる.


中心軸$l$が$\overrightarrow{p_0}+t\overrightarrow{v}$で半径$r$の直円柱の側面の方程式を求めよう.
この直円柱の側面上の点を$P(\overrightarrow{p})$とおくと
$|(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p_0})\times \overrightarrow{v}|=r$
が成り立つ.
ここで,$\overrightarrow{v}$は$l$の単位方向ベクトルである.
$\overrightarrow{p}=(x,y,z),\overrightarrow{p_0}=(x_0 ,y_0 ,z_0),\overrightarrow{v}=(a,b,c)$
とおくと
$|(x-x_0 ,y-y_0 ,z-z_0)\times (a,b,c)|=r$
$\therefore (b(z-z_0)-c(y-y_0))^2+(c(x-x_0)-a(z-z_0))^2$
$+(a(y-y_0)-b(x-x_0))^2=r^2$
これが,円柱の側面の方程式である.
もし,$P_0$が原点であれば,
$(bz-cy)^2+(cx-az)^2+(ay-bx)^2=r^2$
である.ただし,$(a,b,c)$は円柱の中心軸の単位方向ベクトルである. さらに,中心軸が
$x=y=z$
媒介変数表示すれば
$(x,y,z)=t(1,1,1)$
となる.このとき,底面の半径$1$の直円柱の側面の方程式は
$(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=3$・・・@
である,

逆に方程式@が与えれたとき,この曲面がどのような曲面であるかを考えてみよう.
曲面を調べるには,曲面と平面で切った切り口の図形を調べることになる.
式@は$x,y,z$に関する対称式であるから,直線
$x=y=z$
に垂直な平面で切ったときの切り口の図形を調べるのが自然である.
すなわち,曲面@と平面
$x+y+z=3t$
の交線の図形を求めよう.
平面
$x+y+z=3t$
の法線ベクトルとして
$\overrightarrow{n}=(1,1,1)$
をとる.
この平面上の2点
$A(t,0,0),B(0,t,0)$
より,
$\overrightarrow{BA}=(t,-t,0)$.
平面上のベクトルとして
$\overrightarrow{u}=(1,-1,0)$
をとる.さらに
$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{u}=(1,1,-2)$
で$\overrightarrow{v}$を定義する.
ここで,$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$を新しく同じ向きの単位ベクトルで置き換えて,
$\overrightarrow{u}=\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}}$
$\overrightarrow{v}=\dfrac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}}$
とすれば,$\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}$が平面
$x+y+z=3t$
上の基本ベクトルである.
すなわち,平面
$x+y+z=3t$
上の点$P(\overrightarrow{p})$をこの平面上の定点$P_0(\overrightarrow{p_0})$をもちいて
$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_0}+h\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{p}$
と置けば,この平面上の曲線は$h,k$の関係式で表せ,それは通常の平面上の議論と一致する.

ここで,元に戻って,曲面
$(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=3$・・・@
と平面
$x+y+z=3t$・・・A
の交線を求めよう.
平面A上の点
$(t,t,t)$

$\overrightarrow{u}=\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt{2}}$
$\overrightarrow{v}=\dfrac{(1,1,-2)}{\sqrt{6}}$
を用いて平面A上の点$(x,y,z)$を
$(x,y,z)=(t,t,t)+h\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{u}$
$=(t+\dfrac{h}{\sqrt{2}}+\dfrac{k}{\sqrt{6}},t-\dfrac{h}{\sqrt{2}}+\dfrac{k}{\sqrt{6}},t-\dfrac{2k}{\sqrt{6}})$
と表し,@に代入し$h,k$の関係式を求めればよい.
$(-\dfrac{h}{\sqrt{2}}+\dfrac{3k}{\sqrt{6}})^2+(-\dfrac{h}{\sqrt{2}}-\dfrac{3k}{\sqrt{6}})^2+(\sqrt{2}h)^2=3$
より,
$h^2+k^2=1$
をえる.
したがって,@を平面Aで切ったときの切り口の図形は単位円.この半径が$t$によらない ので,曲面@が半径1の直円柱であることが分かった.

もちろん当たり前の結論を出しただけであるが,曲面がどのような図形であるかを調べる方法として学んで欲しい.



続く


第4節 正多面体の体積



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