いろいろな立体の問題 第3節 正射影を身につけよう(正20面体の正射影) 
正20面体の正射影の最大値，最小値を求めよう．求める方法は正12面体とまったく同様です． 平面$\alpha$への正射影を考えるとき，右図で，平面$\alpha$ の法線ベクトルが$\overrightarrow{OO_1}$または$\overrightarrow{OA}$のとき正射影は最大になり， $\overrightarrow{OD}$のとき，正射影は最小になる． ただし，$O$は正20面体の外接球の中心であり，点$D$は辺$AB$の中点である． 1辺の長さ1の正20面体のそれぞれの場合の正射影の面積を求めよう． なお，以下正20面体の模型を見ながら読むと分かりやすい． 
$\bullet \ \ $法線ベクトルが$\overrightarrow{OO_1}$のとき．正20面体を机の上に置いて真上から見ると，正射影が正6角形であることが分かります． この正6角形の外接円の半径を求めましょう． 右図で$AB$の中点を$D$,$C$から底面に下した垂線の足を$E$とすると， 正20面体の隣り合う2面のなす角を$\theta$とすると $\cos \theta =-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ であるから， $R=OD+DE$ $=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$ したがって，正射影の面積$S$は $S=\dfrac{1}{2}\cdot R^2\cdot \sin \dfrac{\pi}{3}\cdot 6=\dfrac{(3+\sqrt{5})\sqrt{3}}{4}=2.2672\cdots$ 
$\bullet \ \ $法線ベクトルが$\overrightarrow{OA}$のとき．このときは正射影が正10角形になります． 右図で，辺$AB$は平面$\alpha$と平行であるから，正射影である正10角形の外接円の半径$r$は， 1辺の長さ1の正5角形の外接円の半径と一致します． $\angle A'OC'$とおくと $r\sin \dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1}{2}$ である．したがって，正射影の面積を$S$とすると， $S=\dfrac{1}{2}\cdot r^2 \sin \dfrac{\pi}{5}\cdot 10$ ここで， $\sin \dfrac{\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ であるから， $S=\dfrac{\sqrt{10\sqrt{5}+50}}{4}=2.1266\cdots$ 
$\bullet \ \ $法線ベクトルが$\overrightarrow{OD}$のとき．正射影は右図の6角形$ABCDEF$で $AC=FD=BE=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},AF=CD=1$ である．したがって，求める正射影の面積$S$は $S=AC\cdot AF +\dfrac{1}{2}\cdot AC \cdot (BE-1)$ 以上のことより，1辺の長さ1の正20面体の正射影の最大値は$\dfrac{(3+\sqrt{5})\sqrt{3}}{4}$，最小値は $\dfrac{2+\sqrt{5}}{2}$であることが分かる． 続く 第4節 正多面体の体積 目次 |