いろいろな立体の問題 第3節 正射影を身につけよう(正多面体の辺の正射影１) 正多面体の正射影の面積の最大値，最小値を求めたが， 正多面体の各辺の正射影の和はどうなるのだろうと興味を持つことは自然なことです． なお，立体の辺のことを通常は稜または稜辺と呼ぶが，ここでは，高校の教科書に従い辺と呼ぶ． 正多面体の各辺の正射影については次の定理が成り立つ． 定理 正多面体Ｖの各辺の任意の平面$\alpha$上への正射影の長さの２乗の和は一定である． 
証明の中で用いる事実を２点述べる．性質１ 空間における線分ABの平面$\alpha$への正射影をA'B'とする． 平面$\alpha$の法線と直線ABとのなす角を$\theta$とすれば $A'B'=AB\cos (\dfrac{\pi}{2}-\theta)=AB\sin \theta$ が成り立つ． 右の図から読み取りましょう． この角$\frac{\pi}{2}-\theta$が平面$\alpha$と直線ABのなす角です． 性質２ 平行四辺形ＡＢＣＤで次が成り立つ． $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2$ これは中線定理よりすぐ出ます．実際ACとBDの交点をＯとすると $2(AB^2+BC^2)=4(AO^2+BO^2)=AC^2+BD^2$ それでは証明に入りましょう．立方体が一番簡単なのでそこから証明します． 
命題１立方体Ｖの各辺の任意の平面$\alpha$上への正射影の長さの２乗の和は一定である． さらにＶの１辺の長さを$a$とすると，その和は$8a^2$である． 証明 立方体Vを座標軸上右図のようにとる． 平面$\alpha$の法線ベクトルの方向余弦を $(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)$ とおくと，辺OA,OB,OCの正射影の長さはそれぞれ $a\sin \alpha ,a\sin \beta,a\sin \gamma$ 立方体の辺はＯＡ，ＯＢ，ＯＣに平行な辺がそれぞれ４本ずつあるから， 立方体の各辺の正射影の２乗の和は $4(a^2 \sin ^2 \alpha +a^2 \sin ^2 \beta +a^2 \sin ^2 \gamma)$ $=4a^2(3-\cos ^2 \alpha -\cos ^2 \beta -\cos ^2 \gamma)$ $=8a^2$ 証明から分かるように，直方体では，各辺の正射影の長さの２乗の和は一定にはなりません． 正四面体では，正四面体に付随する立方体を考えれば簡単に解決します． 
命題2正四面体Ｖの各辺の任意の平面$\alpha$上への正射影の長さの２乗の和は一定である． さらにＶの１辺の長さを$a$とすると，その和は$4a^2$である． 証明 立方体を与えれば，対面上の４点が正四面体になっているし，正四面体を与えれば対面の４点がその正四面体である立方体が存在する． ここでは，正四面体に対してこの立方体を正四面体に付随する立方体と呼ぶことにする． 正四面体ＡＢＣＤについて，右図で $CD\parallel FE$ であり，さらに，正方形の正射影は平行四辺形および性質２より AB,CDの正射影の長さの２乗の和は AE,EB,BF,FAの正射影の長さの２乗の和 に等しい． AC,BD;AD,BCも同様に考えることにより，正四面体の各辺の正射影の長さの平方の和は，付随する立方体の各辺の 正射影の長さの平方の和に等しいことが分かる． 立方体の各辺の正射影の長さの平方の和は平面$\alpha$によらず一定であるから， 正四面体の場合も証明された． 正四面体の１辺の長さを$a$とすると，付随する立方体の１辺の長さは$\frac{a}{\sqrt{2}}$である． したがって，１辺の長さ$a$の正四面体の各辺の正射影の長さの平方の和は $8(\dfrac{a}{\sqrt{2}})^2=4a^2$ である． 
命題3正八面体Ｖの各辺の任意の平面$\alpha$上への正射影の長さの２乗の和は一定である． さらにＶの１辺の長さを$a$とすると，その和は$8a^2$である． 証明 右図のように正八面対ＡＢＣＤＥＦをＡＣがｘ軸上，ＢＤがｙ軸上，ＥＦがｚ軸上に置く． 正方形ＡＢＣＤに注目すれば，線分ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡの正射影の長さの２乗の和はＡＣ，ＢＤの 正射影の長さの平方の和に等しい． 同様のことを，正方形ＥＤＦＢ，ＥＡＦＣでも考える. 平面$\alpha$の法線ベクトルの方向余弦を $(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)$ とすれば，正八面体Ｖの各辺の平面$\alpha$上への正射影の長さの２乗の和は $2(AC^2\sin ^2 \alpha +BD^2\sin ^2 \beta+EF^2\sin ^2 \gamma)$ (この正八面体の１辺の長さを$a$とすると $AC=BD=EE=\sqrt{2}a$ であるから，) $=4a^2(3-\cos ^2 \alpha -\cos ^2 \beta -\cos ^2 \gamma)$ $=8a^2$ したがって，各辺の正射影の長さの平方の和は$\alpha$によらないことが証明された． 続く 目次 |