いろいろな立体の問題 第3節　正射影を身につけよう(正12面体の正射影4) 一辺の長さ１の正12面体の正射影の最小値を求めよう． 右図で， $O_1A=\dfrac{\sqrt{10\sqrt{5}+50}}{10},O_1C=\dfrac{\sqrt{10\sqrt{5}+25}}{10}$ $O'O_1=\dfrac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20},O'A=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$ である． $\angle O_1O'C=\theta,\angle AO'C=\phi$ とおくと， $\cos \theta =\dfrac{\sqrt{10\sqrt{5}+50}}{10}=0.85\cdots$ $\cos \phi =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=0.93\cdots$ $\overrightarrow{O'C}$が法線ベクトルである平面への正射影はcase1,case2の両方に含まれる．一方， case1の場合の6面の単位法線ベクトルの和は，$\overrightarrow{O'O_1}$と同じ向きの単位ベクトルを$\overrightarrow{n}$ とすると $(\sqrt{5}+1)\overrightarrow{n}$ であり，case2の場合の6面の単位法線ベクトルの和は，$\overrightarrow{O'A}$と同じ向きの単位ベクトルを$\overrightarrow{n}$ とすると $\dfrac{\sqrt{30\sqrt{5}+150}}{5}\overrightarrow{n}$ である．したがって， $(\sqrt{5}+1)\cos \theta=\dfrac{\sqrt{30\sqrt{5}+150}}{5}\cos \phi \ \ \cdots　(\sharp)$ が成り立つはずで，これは簡単な計算で確認できる． さらに，１辺の長さ１の正12面体の正射影の最小値は $(\sqrt{5}+1)\cos \theta \cdot S$ $=(\sqrt{5}+1)\cdot \dfrac{\sqrt{10\sqrt{5}+50}}{10}\cdot \dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}=\dfrac{2\sqrt{5}+5}{2}$ 最後に，ここで考えた3つの場合の正射影の面積を直接求めてみよう． case1の場合は正10角形のなのですでに求めてある． その値は $\dfrac{\sqrt{110\sqrt{5}+250}}{4}=5.567581822\cdots$ であり，この値が正射影の最大値である． 次にcase2の場合． 右図で，緑色が正射影である． $OA=OB=OC=\dfrac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{6}},AB=1$ であり，$\angle AOB=\theta,\angle AOC=\phi$とおけば， $\sin \theta =\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8},\sin \phi =\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$ であり，正射影の面積は $6\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{6}}\right)^2(\sin \theta +\sin \phi)$ $=\dfrac{3\sqrt{15}+5\sqrt{3}}{4}=5.069801019\cdots$ であり，すでに計算した値と一致する． 次に，正12面体の最小値を直接求めよう． 正射影は右図で緑色の6角形$ABCDEF$であり， $AC=FD=BE=a^2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},AF=CD=1$ 正射影の面積は $(\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{1}{2})a^2+a^2=\dfrac{2\sqrt{5}+5}{2}=4.736067977\cdots$ であり，これも前に計算した値と一致する． (正12面体の正射影終わり) 続く 第4節　正多面体の体積 目次