いろいろな立体の問題

いろいろな立体の問題

第3節　正射影を身につけよう(正12面体の正射影3)

正12面体の正射影の最大値と最小値の仕上げを行おう．
今までの内容で，最大値は予想はついたが，最小値についてはまだ何も示していない．

正12面体の正射影の状況を調べよう．
右上図は正12面体を真上から見たもので，面①と面②は平行で，両方が正射影の対象になることはない．この場合は，青色の正5角形とその周りの5個の正5角形の正射影の面積の和が正12面体の正射影である．この場合の最大値が，最初に面積を求めたものである(6個の対象の正5角形の法線ベクトルの和が$z$軸と平行)．

次に上の正12面体を面①が隠れるよう回転する．面①が隠れると面②が現れる．それが右図である．
このときは，3個の青色の正5角形およびその周りに3個の5角形が正射影の対象のなっている．
もちろん，この2つの場合の境界になっている場合すなわち，正5角形が５個および4個で正射影が作られる場合もあるが，それはいずれかの場合に含まれると考えればよい．他の場合はないので，すでに求めた2つの場合の面積の大きいほうが正射影の最大値であることがわかる．
ここで考えた，第１の場合をcase1とし，2番目の場合をcase2とする．

次に正射影の最小値を調べよう.
正12面体の平面$\alpha$への正射影を考えるとき，平面$\alpha$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}$とし$\overrightarrow{n}$ の始点を正12面体の中心$O'$とする．
$\overrightarrow{n}$の終点は右図の$\triangle O_1AB$の内部および周上を考えればよい．$O_1$は面の中心である．
なお，case1は法線ベクトルの和は$\overrightarrow{O'O_1}$と同じ向きであり，case2は法線のベクトルの和は$\overrightarrow{O'A}$ と同じ向きである．
また右図で線分$CE$は$O'$を通り面①と平行な平面と$\triangle O_1AB$との交線であり， $CD$は$O'$を通り面②と平行な平面と$\triangle O_1AB$との交線である．点$P$が線分$CE$上にあるときは面①の正射影は線分となる．すなわち，点$P$が線分$CD,CE$上にあるときは，case1とcase2 の境界である．さらに，点$P$が四角形$O_1DCB$の内部または周上にあるときはcase1の場合であり，点$P$が$\triangle ACD,\triangle BCE$ の内部または周上にあるときはcase2の場合である．

したがって，正12面体の正射影の最小値を調べるには，点$P$が四角形$O_1DCB$上にあるときの$\angle O_1O'P$が最大になる位置と，点$P$が$\triangle ACD$上にあるときの$\angle AO'P$が最大になる位置を調べればよい．
右図で，$CD$は$FG$と平行であり，$CE$は$HG$と平行である．
$\angle O_1D=\frac{\pi}{2}$
であるから，$P$が四角形$O_1DCE$上を動くとき$PO_1$が最大になるのは点$C$ のときである．また点$P$が$\triangle ACD$を動くときは$AP$の長さだけでは判断できないが，$\angle AO'P$が最大になるのは線分$CD$上の場合だけ考えればよく，これは四角形$O_1DCE$の場合に含まれる．
以上のことより，正射影の最小値は法線ベクトルが$O'C$の場合であるあることが結論できた．なお，点$C$はcase1にもcase2にも含まれるので，$\angle AO'C$と$\angle O_1O'C$の大小を調べることにより，どちらが大きいかが判断できる．

続く

第4節　正多面体の体積

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