いろいろな立体の問題 第3節 正射影を身につけよう(立体の正射影４) 例題5 空間内に平面$\alpha$がある．底面が１辺の長さ２の正方形ＢＣＤＥ，高さｈの正四角錐Ａ−ＢＣＤＥをＶとする． Ｖの平面$\alpha$上への正射影の面積をＳとし，Ｖがいろいろ位置を変える時のＳの最大値と最小値を求めよ． <解答> 平面ＢＣＤＥを平面$\beta$とする． Ｐが正方形ＢＣＤＥの内部または周上にあるとき，Ｓの最大値は$4$で， 最小値はＰが正方形の頂点のときで,正方形の中心をGとすると， $\dfrac{4AG}{AB}=\dfrac{4h}{\sqrt{h^2+2}}$ である． 
次に，Ｐが正方形ＢＣＤＥの外部にある時を考える． Ｐは図の緑色の部分または黄緑色の部分にあるとき考えればよい． さらに，Ｐが緑色の部分にあるとき，Ｐを通りＢＣに平行な直線を引き直線ＣＤ，ＢＥとの交点をＲ，Ｓ とする．Ｐが線分ＲＳを動くとき，２平面$\alpha, \ \beta$のなす角を考慮すれば，Ｖの正射影の面積は ＳＲの中点のとき最大で，Ｓ，Ｒのとき最小である． Ｐが黄緑色の部分を動くときも同様に考えることにより次のことが分かる， Ｐが正方形ＢＣＤＥの外部にあるとき， $\bullet \ $正射影の最大値はＰがＢＣの垂直二等分線上(青色の直線)及びＥＣのＣへの延長上（黄色の直線）をうごくとき調べればよい． $\bullet \ $正射影の最小値はＰがＤＣのＣへの延長上（赤色の直線）を調べればよい． (1)Vの正射影の最大値について． 正方形ＢＣＤＥの中心をＧとする． $\bullet \ $ PがＥＣの延長上を動くとき． $PG=x$とおく． ４角形ＢＰＤＥの面積は$\sqrt{2}x+2$であるから，Ｖの正射影の面積は $\dfrac{h(\sqrt{2}x+2)}{\sqrt{x^2+h^2}}$ ・・・@ である． $f(x)=\dfrac{(x+\sqrt{2})}{\sqrt{x^2+h^2}}$ とおく． $f'(x)=\dfrac{h^2-\sqrt{2}x}{(x^2+h^2)\sqrt{x^2+h^2}}$ したがって，$f(x)$は$x=\frac{h^2}{\sqrt{2}}$で最大値をとり，面積の最大値は@に代入して $\sqrt{2h^2+4}$ である． $\bullet \ $ Pが線分ＢＣの垂直二等分線上を動くとき． $PG=x$とおく． ５角形ＰＣＤＥＢの面積は$x+3$であるから，Ｖの正射影の面積は $\dfrac{h(x+3)}{\sqrt{x^2+h^2}}$ である． $f(x)=\dfrac{(x+3)}{\sqrt{x^2+h^2}}$ とおく． $f'(x)=\dfrac{h^2-3x}{(x^2+h^2)\sqrt{x^2+h^2}}$ したがって，$f(x)$は$x=\frac{h^2}{3}$で最大値をとり，面積の最大値は $hf(\frac{h^2}{3})=\sqrt{h^2+9}$ である． $\sqrt{2h^2+4}$と$\sqrt{h^2+9}$の大小を調べると $\sqrt{h^2+9} \leqq \sqrt{2h^2+4} $ $\Longleftrightarrow$ $\sqrt{5} \leqq h$ 一方，4との大小を調べる. $\sqrt{2h^2+4}=4$ を解くと $h=\sqrt{6}$ したがって，正四角錐Ｖの正射影の最大値は次のようになる． $h \leqq \sqrt{6}$のとき$4$ $h \geqq \sqrt{6}$のとき$\sqrt{2h^2+4}$ (2)Vの正射影の最小値について． PがＣＤのＣへの延長上を動くとき調べればよい． 辺ＣＤの中点をＧ’とし，$PG'=x$とおく． 四角形ＰＤＥＢの面積は$x+3$であるからから Ｖの正射影の面積は $\dfrac{h(x+3)}{\sqrt{x^2+h^2+1}}$ である． $f(x)=\dfrac{(x+3)}{\sqrt{x^2+h^2+1}}$ とおく． $f'(x)=\dfrac{h^2-3x}{(x^2+h^2+1)\sqrt{x^2+h^2+1}}$ したがって，$f(x)$は$x=\frac{h^2}{3}$で最大値をとる． 今調べているの最小値であるから，$x \to \infty$の$f(x)$の極限値$h$と $\dfrac{4h}{\sqrt{h^2+2}}$ の大小を調べる必要があるが，その前に$x \to \infty$の時の図形的意味を知る必要がある． （正射影の面積は，有界閉集合上の連続関数であるから最大値，最小値は必ず存在する． 平面$\alpha$を定めれば，その単位法線ベクトルが定まる．そのベクトルにより，単位球面上の１点が決まる． その対応で，正射影の面積Sは単位球面上の連続関数と考えれれるからである．） このときは $AP\parallel DC$ のときで，$\overrightarrow{CD}$が平面$\alpha$の法線ベクトルのときで，正射影の面積は実際$h$である． また，$x=1$のときはＰがＣのときで，正射影の面積は$\frac{4h}{\sqrt{h^2+2}}$である． さらに $\dfrac{4h}{\sqrt{h^2+2}} \leqq h$ $\Longleftrightarrow$ $\sqrt{14} \leqq h$ したがって，Ｖの正射影の最小値は次のようになる． $h \geqq \sqrt{14}$のとき最小値は $\dfrac{4h}{\sqrt{h^2+2}}$ $h \leqq \sqrt{14}$のとき最小値は$h$である． 続く 第4節 正多面体の体積 目次 |