いろいろな立体の問題

第2節　立体の回転体の体積(その6)


正12面体の回転体の体積を求めたので，正20面体の回転体の体積を求めないわけにはいきません．
これも面白い問題です．

ここで求める回転体は，１組の対面の重心を結ぶ直線の周りの回転体です．
まず注意することを述べます． 正20面体の一つの面を$xy$平面上に置き，さらに，底面の正三角形の中心を原点，１つの頂点を$x$軸上にとる．すなわち， 回転軸は$z$軸です(右図)．
$z$軸に垂直な平面でこの立体を切ったときの切り口の図形は$9$角形で，切り口の平面と辺$AB,AC$との交点をそれぞれ$P,Q$ とするとき，$VP,VQ$の大小，同様に辺$BC$上の点$R$で$VQ,VR$の大小を調べる必要があります．これが少し面倒ですが，後は単純な計算です．


それでは，計算に入りましょう．
各面の外接円の半径が$1$すなわち，１辺の長さが$\sqrt{3}$の時計算します．
右図の正20面体を真上から見ると（平面図），$xy$平面上の$\triangle ABC$とその対面の$\triangle LMN$は外接円の半径 $1$の正6角形上にあり，残りの6個の頂点$D,E,F,G,H,K$も正$6$角形の頂点になり，その外接円半径は，$\triangle DEF$に 注目すれば分かるように黄金比
$a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
となります．
$(\because \ $辺$DF$は正5角形$ADLNF$の対角線の長さで，$\triangle ABC$と$\triangle DEF$の相似比は$1:a)$
以後黄金比
$a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
は
$a^2-a-1=0$
を満たすので，
$a^2=a+1,a^3=2a+1,\dfrac{1}{a}=a-1$
が成り立つ．これらの式は以下の変形でよく用いる．
次に，$z$座標を求める．
頂点$F,D,L$の$z$座標を求めればよい．
半径1の正20面体の内接球の半径は
$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$
であるから(第4節正多面体の体積),$L$の$z$座標は
$\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=1+a$

次に$F$の$z$座標を求める．
正20面体の隣り合う２面のなす角を$\theta$とすると，
$\cos \theta =-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
であるから，
$\dfrac{3}{2}\times \sin \theta=1$
残りは$D$の$z$座標であるが，$F,L$の座標より
$(a+1)-1=a$
である.
正20面体を真上から見た図（平面図）に一部の頂点を座標もあわせて書くと右図になる，
右図で，$A,B,C$の$z$座標が$0$,$D,E,F$の$z$座標が$1$,$G,H,K$の$z$座標が$a(=\frac{\sqrt{5}+1}{2})$,$L,M,N$ の$z$座標が$a+1$である．さらに，６頂点$A,B,C,L,M,N$は外接円の半径$1$の正6角形の頂点であり， ６頂点$D,E,F,G,H,K$は外接円の半径$a$の正6角形の頂点である．
なお，
$A(1,0,0),D(\dfrac{a}{2},\dfrac{\sqrt{3}a}{2},1),G(a,0,a),L(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},a+1)$
であり，これは以下計算で用いる．

直線$AG$と平面$z=t$との交点$P$は,
$P(1+\dfrac{(a-1)t}{a},0,t)$
であり，
$\dfrac{a-1}{a}=2-a \ \ (\because \dfrac{1}{a}=a-1,a^2=a+1)$
であるから，
$P(1+(2-a)t,0,t)$
$V(0,0,t)$とおくと
$VP^2=(5-3a)t^2+(4-2a)t+1$

直線$AD$の方程式は
$(x,y,z)=(1,0,0)+s(\dfrac{a}{2}-1,\dfrac{\sqrt{3}a}{2},1)$
であるから，直線$AD$と平面$z=t$との交点$Q$は,
$Q(1+t(\dfrac{a}{2}-1),\dfrac{\sqrt{3}at}{2},t)$
である．
$\therefore VQ^2=2t^2+(a-2)t+1$

直線$DG$と平面$z=t$との交点を$R$とすると，
$R\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a(t-1)}{2(a-1)},\dfrac{\sqrt{3}a}{2}-\dfrac{\sqrt{3}a(t-1)}{2(a-1)}\right)$
であり，$a$の性質を用いて計算すると
$VR^2=(3a+2)t^2-(8a+5)t+(6a+4)$
となる．

$0\leqq t\leqq 1$で$VP^2$と$VQ^2$の大小を調べる．
$VP^2=VQ^2$
を解くと
$t=0,\dfrac{1}{a}(=a-1)$
であり，$OP^2,OQ^2$の$t^2$の係数に注目して，
$0\leqq t \leqq \dfrac{1}{a}$のとき$VQ^2\leqq VP^2$
$\dfrac{1}{a} \leqq 1$のとき$VP^2\leqq VQ^2$

$1\leqq t\leqq \dfrac{a+1}{2}$で$VP^2$と$VR^2$の大小を調べる．
$VP^2=VR^2$
を解く.
$t=a$が解であることに注目してもう一つの解を求めると,
$t=\dfrac{a+1}{2a-1}$
なお，
$\dfrac{a+1}{2a-1}=\dfrac{\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}}$
より
$1$＜$\dfrac{a+1}{2a-1}$＜$\dfrac{a+1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+3}{4}$
がわかる．
したがって，$t^2$の係数に注目することにより,
$1\leqq t \leqq \dfrac{a+1}{2a-1}$のとき$OP^2\leqq OR^2$
$\dfrac{a+1}{2a-1}\leqq t \leqq \dfrac{a+1}{2}$のとき$OR^2\leqq OP^2$

正12面体の$z$軸の周りの回転体の体積は，後は積分の計算だけである．
$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{a}}VP^2dt=\dfrac{7\sqrt{5}-11}{6}$
$\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^1VQ^2dt=\dfrac{27-10\sqrt{5}}{6}$
$\displaystyle \int_1^{\frac{a+1}{2a-1}}VR^2dt=\dfrac{51\sqrt{5}+5}{300}$
$\displaystyle \int_{\frac{a+1}{2a-1}}^{\frac{a+1}{2}}VP^2dt=\dfrac{425-29\sqrt{5}}{1200}$
対称性より，以上の数字の和に２倍して$\pi$をかければよいから，求める値は
$\dfrac{(729-85\sqrt{5})\pi}{120}$
である．
１辺の長さ$1$の正20面体の回転体の体積は$3\sqrt{3}$で割った
$\dfrac{(729-85\sqrt{5})\pi}{360\sqrt{3}}$
である．

ここでの計算は空間図形の問題として直線の方程式を用いて行ったが，平面図を利用して平面の問題として解いてもよい．いずれにしても黄金比 $a=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$の性質を利用しないと，計算が煩雑になる．


立体の回転体の体積(その7)



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