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相似比$k$が0<$k$<1
の相似変換$f$で，ある正方形$S$の像が$S$の内部に縮小されるとき，相似変換を繰り返せば１点に収束するので，その点が不動点に
なることなることが分かる． 実際， 正方形$S_n$を $S_1=S,S_{n+1}=f(S_n)$ で定義すると $S_1 \supset S_2 \supset \cdots \supset S_n \supset \cdots $ であるから，$0$<$k$<$1$より極限は１点でありその点を$O$とする． 点$O$は任意の$n$で $O \in Sn$ であり，一方任意の$n$で $f(O) \in S_{n+1}=f(S_n)$ であるから $f(O)=O$ である． したがって，点Oが相似変換$f$の不動点である． と不動点の存在が分かるがここではこの立場をとらない． 実際の問題を扱うときは，不動点の位置が重要であるからである． 
ここでは，相似比$k$が$k\neq 1$の相似変換が与えられたときにその相似の中心
（唯一の不動点）をアポロニウスの円の性質を利用してもとめる．相似変換$f$による，$A,B$の像が$A',B'$のとき． $AB:A'B'=1:k$ とする． 相似の中心を$P$とすると $\triangle PAB$∽$\triangle PA'B'$ であるから， $PA:PA'=PB:PB'=1:k$ がなりたつ． 
したがって，$PA:PA'=1:k$ の軌跡と $PB:PB'=1:k$ の軌跡の交点が求める点である． この２円の交点は２つあり，片方が正の相似変換すなわち中心相似回転変換の中心であり， もう一方が負の相似変換すなわち中心相似対称変換の中心である． 求め方は簡単で，線分$AA'$を$1:k$に内分，外分する点を$C,D$とし，$CD$を直径とする円と， 線分$BB'$を$1:k$に内分，外分する点を$E,F$とし，$EF$を直径とする円の交点である． アポロニウスの円は通常，座標を用いて求めているが，初等幾何的に証明すれば次のようになる． 定理（アポロニウスの円） ２定点$A,B$からの距離の比が$m:n$の点の軌跡は線分$AB$を$m:n$に内分する点，外分する点を直径の両端とする円である． 
$(\Rightarrow)$$PA:PB=m:n$のとき $\triangle PAB$で$\angle PAB$の内角，外角の２等分線と辺$BC$との交点を$C,D$とすれば$C,D$は線分$AB$を$m:n$ に内分，外分する点であるから， $\angle CPD=90^{\circ}$ したがって，$P$は$CD$を直径とする円周上にある． 
$(\Leftarrow)$線分$AB$を$m:n$に内分，外分する点を$C,D$とし，点$P$は$\angle CPD=90^{\circ}$を満たすとき， $B$を通り，$AP$と平行な直線を引き$PD$および$PC$の延長との交点をそれぞれ$Q,R$とする． このとき， $BQ:AP=n:m=RB:AP$ より $BQ=BR$ さらに， $\angle RPQ=90^{\circ}$ より $BP=BQ$ $\therefore PA:PB=PA:BQ=m:n$ ちなみにこの定理をベクトルを用いて証明すると次のようになる． $AP:BP=m:n$ より $n^2 |\overrightarrow{PA}|^2-m^2 |\overrightarrow{PB}|^2=0$ $(n\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB})\cdot (n\overrightarrow{PA}-m\overrightarrow{PB})=0$ $\dfrac{n\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}}{m+n}\cdot \dfrac{n\overrightarrow{PA}-m\overrightarrow{PB}}{-m+n}$=0 線分$AB$を$m;n$に内分，外分する点をそれぞれ$C,D$とすれば $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}=0$ したがって，点$P$は$CD$を直径とする円． このようにベクトルを用いると簡単になり（座標を用いても簡単な計算にある），初等幾何による証明に目が行かなくなる．現在の高校生は，ベクトルや解析幾何 を学ぶには初等幾何の知識がとても貧弱である．できるだけ，初等幾何による別解を紹介し， 図形に慣れさせることが必要だと思う． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |