6.鋭角三角形△ABCで頂点Aから辺BCに下した垂線の足をD,Pを線分AD上の１点とする． BPの延長と辺ACとの交点をE,CPの延長と辺ABと交点をFとする． このとき， ∠EDA=∠ADF が成り立つことを証明せよ． 解答 E',C'を S(AD):E ↦E′,C↦C′ で定義する． このとき，３点D,E′,Fが一直線上にあればよい． △ABC′でメネラウスの定理を用いる． AFFB⋅BDDC′⋅C′E′E′A =AFFB⋅BDDC⋅CEEA=1 したがって，証明された． 
この問題より，鋭角三角形で，各頂点より対辺に下した垂線をAD,BC,CFとすると，
線分FD,DE,EFは各辺と等角に交わることが分かる．この場合の証明は上の例題より簡単で， 例えば，右図で 1=4 は４点F,B,D,HおよびH,D,C,Eが同一円周上にあり 1=2=3=4 より示すことができる． この事実より，DからEに向かった光はE,Fで反射してDに戻る． 光の進んだ跡に注目すれば，どの２点をとっても，その２点を結ぶ最短の経路であるからこの３点D,E,F が次の問題の解であることが予想できる． Fagnanoの問題 D,E,Fはそれぞれ与えらた鋭角三角形△ABCの各辺BC,CA,AB上の点である． DE+EF+FD を最小にするD,E,Fを求めよ． なお，Fagnanoの問題については 垂足三角形とその周辺の話題に詳しい解説があります．細かいことまで証明し， 少しくどいかもしれませんが興味があればご覧ください． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |