6.鋭角三角形$\triangle ABC$で頂点$A$から辺$BC$に下した垂線の足を$D,P$を線分$AD$上の１点とする． $BP$の延長と辺$AC$との交点を$E$,$CP$の延長と辺$AB$と交点を$F$とする． このとき， $\angle EDA=\angle ADF$ が成り立つことを証明せよ． 解答 E',C'を $S(AD):E \mapsto E',C \mapsto C'$ で定義する． このとき，３点$D,E',F$が一直線上にあればよい． $\triangle ABC'$でメネラウスの定理を用いる． $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC'} \cdot \dfrac{C'E'}{E'A}$ $=\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA}=1$ したがって，証明された． 
この問題より，鋭角三角形で，各頂点より対辺に下した垂線を$AD,BC,CF$とすると，
線分$FD,DE,EF$は各辺と等角に交わることが分かる．この場合の証明は上の例題より簡単で， 例えば，右図で $1=4$ は４点$F,B,D,H$および$H,D,C,E$が同一円周上にあり $1=2=3=4$ より示すことができる． この事実より，$D$から$E$に向かった光は$E,F$で反射して$D$に戻る． 光の進んだ跡に注目すれば，どの２点をとっても，その２点を結ぶ最短の経路であるからこの３点$D,E,F$ が次の問題の解であることが予想できる． Fagnanoの問題 $D,E,F$はそれぞれ与えらた鋭角三角形$\triangle ABC$の各辺$BC,CA,AB$上の点である． $DE+EF+FD$ を最小にする$D,E,F$を求めよ． なお，Fagnanoの問題については 垂足三角形とその周辺の話題に詳しい解説があります．細かいことまで証明し， 少しくどいかもしれませんが興味があればご覧ください． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |