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11. $\triangle ABC$で$\angle B,\angle C$の２等分線と対辺の交点をそれぞれ$D,E$とする． このとき， $AB$>$AC$ならば$BD$>$CE$ が成り立つ． 
証明辺$BC$の垂直２等分線を$l$とし，点$D'$を $S(l):D \mapsto D'$ によって定義する． $\angle BD'C=\angle BDC$ および $\angle B$<$\angle C$ より $\angle BD'C$<$\angle BEC$ したがって，点$E$は３点$B,D',C$の外接円の内部にある． 
証明の目標は
$BD$>$CE$
であるから，$\triangle ED'C$で $\angle D'EC$>$90^{\circ}$ を証明すれば，証明が終了する． それを示す． $\angle D'EF=\angle D'EB+ \angle BEC$ >$\angle D'CB+\angle BEF$ $=\angle 1+\angle BEF$ $=\angle BFC>90^{\circ}$ $(\because ) \ \angle 1+\angle 2<90^{\circ}$ 解説 Steiner-Lehmus の定理とは次の定理です． 定理 $\triangle ABC$で$\angle B,\angle C$の２等分線と対辺の交点をそれぞれ$D,E$とする． このとき， $BD=CE$ならば$AB=AC$が成り立つ この定理を直接証明しようとすると，簡単に見えるがなかなか難しい． この定理をSteinerは転換法を用いて証明しました． すなわち， $AB$>$AC \ \Rightarrow BD$>$CE$・・・@ $AB$=$AC \ \Rightarrow BD=CE$・・・A $AB$<$AC \ \Rightarrow BD$<$CE$・・・B を証明すれば定理が証明されることになります． Aは明らかなので，@を証明すればBも同様なので証明が終了します． したがって，この問題の証明が上記の定理の証明になっています． なお，Steiner-Lehmus の定理の直接証明は角の２等分線をご覧ください． Steiner-Lehmus の定理にまつわる面白い話は H.S.M.Coxeter.S.L.Greitzer，Geometry Revisited,New Mathematical Library, 邦訳あり 「幾何学再入門」(寺坂英孝 訳) に詳しく載っています．この本はとてもすばらしい本です．現在は邦訳はなかなか手に入りませんが，英語版は すぐ手に入ります． この本は The Mathematical Association of America (通常MAAといいます) による New Mathmatical Library というシリーズのなかの１冊です． 若い方は知らないかもしれませんが，スプートニク危機より，アメリカでは1960年代理数科教育の現代化が急務になり， SMSG(School Mathmatics Study Group)という団体が作られ，当時中学生，高校生向けのすばらしい数学のテキストが 多数作られました． 多くは河出書房より邦訳が出版されたと記憶していますが，今では翻訳本は手に入らないでしょう． 原書で読むことをお勧めします． 私はこれらの本を先輩より教えてもらったのですが，教員になってからこれらの本で とても鍛えられました． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |