問題の解答
11.
$\triangle ABC$で$\angle B,\angle C$の2等分線と対辺の交点をそれぞれ$D,E$とする.
このとき,
$AB$>$AC$ならば$BD$>$CE$
が成り立つ.



証明
辺$BC$の垂直2等分線を$l$とし,点$D'$を
$S(l):D \mapsto D'$
によって定義する.
$\angle BD'C=\angle BDC$
および
$\angle B$<$\angle C$
より
$\angle BD'C$<$\angle BEC$
したがって,点$E$は3点$B,D',C$の外接円の内部にある.
証明の目標は $BD$>$CE$ であるから,
$\triangle ED'C$で
$\angle D'EC$>$90^{\circ}$
を証明すれば,証明が終了する.
それを示す.
$\angle D'EF=\angle D'EB+ \angle BEC$
>$\angle D'CB+\angle BEF$
$=\angle 1+\angle BEF$
$=\angle BFC>90^{\circ}$
$(\because ) \ \angle 1+\angle 2<90^{\circ}$


解説 Steiner-Lehmus の定理とは次の定理です.

定理
$\triangle ABC$で$\angle B,\angle C$の2等分線と対辺の交点をそれぞれ$D,E$とする.
このとき,
$BD=CE$ならば$AB=AC$が成り立つ


この定理を直接証明しようとすると,簡単に見えるがなかなか難しい.
この定理をSteinerは転換法を用いて証明しました.
すなわち,
$AB$>$AC \ \Rightarrow BD$>$CE$・・・@
$AB$=$AC \ \Rightarrow BD=CE$・・・A
$AB$<$AC \ \Rightarrow BD$<$CE$・・・B
を証明すれば定理が証明されることになります.
Aは明らかなので,@を証明すればBも同様なので証明が終了します.
したがって,この問題の証明が上記の定理の証明になっています.

なお,Steiner-Lehmus の定理の直接証明は角の2等分線をご覧ください.


Steiner-Lehmus の定理にまつわる面白い話は
H.S.M.Coxeter.S.L.Greitzer,Geometry Revisited,New Mathematical Library,
邦訳あり 「幾何学再入門」(寺坂英孝 訳)
に詳しく載っています.この本はとてもすばらしい本です.現在は邦訳はなかなか手に入りませんが,英語版は すぐ手に入ります.
この本は
The Mathematical Association of America (通常MAAといいます)
による
New Mathmatical Library
というシリーズのなかの1冊です.
若い方は知らないかもしれませんが,スプートニク危機より,アメリカでは1960年代理数科教育の現代化が急務になり, SMSG(School Mathmatics Study Group)という団体が作られ,当時中学生,高校生向けのすばらしい数学のテキストが 多数作られました.
多くは河出書房より邦訳が出版されたと記憶していますが,今では翻訳本は手に入らないでしょう. 原書で読むことをお勧めします.
私はこれらの本を先輩より教えてもらったのですが,教員になってからこれらの本で とても鍛えられました.





平面における幾何学変換の目次


全体の目次