角の２等分線 ここでは，角の２等分線でなりたつ次の定理をいろいろな方法で証明します． 定理 △ＡＢＣの∠Ａの２等分線と辺ＢＣとの交点をＤとすると ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ が成り立つ．  高校の教科書の一般的な証明は次の通りです． 証明１ ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝θとおく． BD:DC＝△ABD：△ADC ＝(AB・ADsinθ)／２：(AD・ACsinθ)／２ ＝AB：AC 中学の教科書の一般的な証明は次の通り． 証明２  Cを通りADに平行な直線とBAの延長との交点をEとする． このとき BD:DC＝BA:AE=AB:AC 証明１を次のように変えれば中学生でも問題ありません． 証明３  DからAB,ACに下ろした垂線の足をそれぞれE,FとするとDE=DF． ∴ AB:AC＝△ABD：△ADC＝BD：DC B,CからADに垂線を下ろせば次の証明になる． 証明４  B,CからADに下ろした垂線の足をそれぞれE,Fとすると △ABE∽△ACF，△BED∽△CFD ∴AB：AC＝BE:CF＝BD：CD 平行線の補助線を引く方法もたくさんある． 証明５  Cを通りABに平行な直線を引き，ADの延長との交点をEとする． △ABD∽△ECDより BD:DC＝AB:CE＝AB:AC 証明６  Dを通りABに平行な直線とACとの交点をEとする． このとき， BD:DC＝AE:EC＝ED:EC＝AB:AC 次の２つの証明も面白い． 証明７  ∠B＜∠Cのとき． AD上に点Eを∠ACE=∠Bを満たすようにとる． このとき， △ABD∽△ACE,CD=CE であるから AB:AC＝BD：CE＝BD：DC 証明８  ∠B＜∠Cのとき． ADの延長上に点Eを∠ABE＝∠Cを満たすようにとる． このとき， △ABE∽△ACD,BE＝BD であるから AB:AC＝BE:DC＝BD:DC 次の△ABCの外接円を利用する証明は，少し面倒であるが，角の２等分線ADの長さを求めるのに便利である． 証明９  △ABE∽△BDE∽△ADCより AB:BE＝AD:DC＝１／DC：１／AD ・・@ BE:BD＝AC:AD＝１／AD：１／AC ・・A @，Aより AB：BD＝１／DC：１／AC＝AC：DC ∴ AB:AC＝BD:DC この証明は面倒で意味があるとは思えないが，用いた上図は角の2等分線ADの長さを求めるのに便利である． △ABE∽△ADCより AB：AE＝AD：AC ∴ AB・AC＝AD・AE＝AD・（AD+DE)＝AD2+AD・DE ここで， AD・DE＝BD・DC が成り立つから AB・AC＝AD2+BD・DC  この結果を利用して，シュタイナー・レームスの定理を証明しよう 定理 △ＡＢＣの∠Ｂ，∠Ｃの２等分線をＢＥ，ＣＦとする． このとき ＢＥ＝ＣＦ → ＡＢ＝ＡＣ が成り立つ． 証明 ａ，ｂ，ｃをサイクリックにかえることにより  Ａ＝ａ＋ｂ，Ｂ＝ｃ＋ａとおくと ｂＢ２（Ａ−ｃ） ＝ｃＡ２（Ｂ−ｂ） ∴ （ｂ−ｃ）｛ａＡＢ＋ｂｃ（Ａ＋Ｂ）｝＝０ Ａ＞０．Ｂ＞０であるから ｂ＝ｃ を得る． 三角形の内角の二等分線の長さを求めるの外接円を用いたが，外接円の直径を求めるには次の図が便利である．  △ABH∽△ADCよりAB:AH=AD:AC すなわちc:h=2R:b ∴ 2R=bc/h ・・・@ 三角形の高さAH=hを求めるのはBH=xとおいて簡単に求められる．これは3辺を与えた三角形の面積を求めるときに用いる 中学生にはおなじみの方法である． h=c sin Bで 2R=bc/h=b/sin B より@は正弦定理を書き直した式であり，正弦定理の証明で似た図を用いている． 三角形の外接円を扱えると，中学の幾何教育も豊かになる． (角の2等分線の項目終わり) 目次 |