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つぎに，$\triangle ABC$内に $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ}$・・・@ を満たす点を求めよう． まず$\triangle ABC$のいずれかの内角が$120^{\circ}$以上のとき． 例えば$\angle A\geqq 120^{\circ}$とすると Pが$\triangle ABC$の内部にあれば $\angle BPC$>$120^{\circ}$ であるから@を満たす点Pは$\triangle ABC$の内部には存在しない． したがって，ここでは内角がすべて$120^{\circ}$より小さい$\triangle ABC$を考える． 
@を満たす点Pは$\angle APB=\angle BPC=120^{\circ}$ であるから，右図のように正三角形AZB，XCBの外接円の交点を求めればい． このとき $\angle CPA=120^{\circ}$ であるから，正三角形ACYを作れば，４点Y,A,P,Cは同一円周上にあるから， 各辺の外側に作った３つの正三角形ZBA,XCB,YACの外接円は１点で交わりその交点がPであるということができる． 次に３点A,P,Xに注目する． $\angle APB=120^{\circ},\angle BPX=\angle BCX=60^{\circ}$ より３点A,P,Xは一直線上にあることがわかる． 同様に線分BY上に点Pがあり，線分CZ上に点Pがあることがわかるから ３直線AX,BY,CZは一点で交わり，その交点が点Pであるということもできる． この点を$\triangle ABC$のフェルマ点という． きちんと書くと次のようになる． 定義 どの内角も$120^{\circ}$より小さい$\triangle ABC$で $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^{\circ}$ を満たす点Pを$\triangle ABC$のフェルマ点という． 三角形のフェルマ点に関しての重要な性質は次の定理である． 
定理$\triangle ABC$はどの内角も$120^{\circ}$より小さい三角形でその三角形のフェルマ点を$P$とする． このとき任意の点$Q$に対して $AP+BP+CP \leqq AQ+BQ+CQ$ が成り立つ． 証明 点$Q',R$を $R(A,60^{\circ}):Q \mapsto Q',C \mapsto R$ で定義すると，$\triangle AQQ',\triangle ACR$はともに正三角形であり， $R(A,60^{\circ})：\triangle AQC \mapsto \triangle AQ'R$ であるから $BQ+AQ+CQ=BQ+QQ'+Q'R \geqq BR$ 等号が成り立つのは$\triangle AQQ'$が正三角形より $\angle AQ'R=\angle AQC=120^{\circ}$, かつ $\angle AQB=120^{\circ}$ のとき． すなわちQがフェルマ点のときである． すなわち $AP+BP+CP \leqq AQ+BQ+CQ$ が成り立つことが証明された． 
このように三角形のフェルマ点は，３頂点までの距離の和を最小にする点であり，その最小値は三角形の頂点と
その対辺上の外側に作った
正三角形の頂点との距離である．この距離はすでに計算してあり, 右図で， $AQ^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+2\sqrt{3}S$ である．ここで$S$は$\triangle ABC$の面積である． さらに,三角形の三辺の長さ$a,b,c$と三角形の面積Sについて $a^2+b^2+c^2 \geqq 4\sqrt{3}S$ が成り立つことが分かっている． したがって， $AQ^2 \geqq 4\sqrt{3}S$ が成り立つ． ただし，等号が成り立つのは正三角形のとき． したがって，次の定理が証明された． 定理 $\triangle ABC$はどの内角も$120^{\circ}$より小さい三角形である．このとき，任意の点Qに対して $(AQ+BQ+CQ)^2 \geqq 4\sqrt{3}S$ が成り立つ. ただし，等号が成り立つのは$\triangle ABC$が正三角形のときである． 続く（工業立地論を含む） 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |