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三角形の外側に作った正三角形からフェルマ点が求められ，その点の性質を調べましたが，三角形の外側に作った相似な三角形でも
似たことが成り立つのだろうか,と考えることは自然なことです． これについて調べましょう． 
右の図は$\triangle ABC$の外側に相似な$\triangle PCB,\triangle QAC,\triangle RBA$を作ったものです．ただし，相似の対応は $\triangle BPC$∽$\triangle QAC$∽$\triangle BAR$ となっていることに注意しましょう． このとき，この３つの相似な三角形の外心を頂点とする三角形が外側に作った三角形と相似であることはすでに示してあります． これから示すことの目標を書いておきます． $AP$と$BQ$の交点を$F$とし，外側に作った三角形，たとえば$\triangle PCB$で $BC:PC:BP=a:b:c$ とすると， １．４点$F,B,P,C; \ F,C,Q,A; \ F,A,R,B$はそれぞれ同一円周上にある． ２．AP,BQ,CRは１点で交わる ２の交点をＦとする． ３．平面上の任意の点XでaXA+bXB+cXCを最小にする点がFである． が成り立つことです． それでは証明に入ります．（右上の図を見ましょう） 右上図で， $H(C,\dfrac{BC}{PC},\angle PCB):P \mapsto B,A \mapsto Q$ より $H(C,\dfrac{BC}{PC},\angle PCB):\triangle PCA \mapsto BCQ$ である． したがって，右上図で1,2がそれぞれ等しいので，4点$B,P,C,F; \ A,F,C,Q$は同一円周上にある． 
さらに，B,P,C,Fが同一円周上にあるから3の角が等しく，A,R,B,Fが同一円周上にあることが分かる．すなわち，外側に作った３つの三角形の外接円が１点で交わること分かった． あとは，右図で1の角，2の角，3の角がそれぞれ等しいので3点R,F,Cが一直線上にあり，AP,BQ,CR が一点で交わることが示された． 次に，AP,BQ,CFの長さの関係を求めよう． $BC:PC:BP=a:b:c$とおく． このとき $H(C,\dfrac{a}{b},\angle PCB):AP \mapsto QB$ より $aAP=bQB$ $H(B,\dfrac{a}{c},\angle PBC):AP \mapsto RC$ $aAP=cRC$ $\therefore aAP=bBQ=cCR$ 
つぎに，任意の点Xに対してYを$H(A,\dfrac{AQ}{AC},\angle CAQ):X \mapsto Y$ で定義する． このとき $H(A,\dfrac{AQ}{AC},\angle CAQ):\triangle AXC \mapsto \triangle AYQ$ である． さらに $\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{c}{b}$ であるから， $XC\cdot \dfrac{c}{b}=YQ,AX\cdot \dfrac{a}{b}=XY$ $(\because \triangle AXY$ ∽ $\triangle ACQ )$ したがって， $BX+XY+YQ \leqq BQ$ $BX+AX\cdot \dfrac{a}{b}+XC\cdot \dfrac{c}{b}\leqq BQ$ $\therefore bBX+aAX+cCX\leqq bBQ$ 等号が成り立つのは $\angle AYQ+\angle AYX=180^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $\angle AXC+\angle AQC=180^{\circ}$ かつ $\angle AXY+\angle AXB=180^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $\angle ARB+\angle AXB=180^{\circ}$ より，$\triangle ACQ$の外接円と$\triangle RGA$の外接円の交点である． すなわちすでに調べたように， $X$が$BQ$と$CR$の交点のとき $aAX+bBX+cCX$ が最小になる． 
ここで考えた問題の背景を説明する．３つの都市$A,B,C$があるとき，この３都市を結ぶ最短の道路はフェルマ点Pを用いて $PA+PB+PC$ で与えられることはすでに説明したことである． しかし，実際には都市の大小があり，道路を作るとしたら，定数a,b,cは都市の大きさに関連した数で $aPA+bPB+cPC$ を最小にするPの場所を求めることが求められる． 実際にアルフレッド・ウェバーは１９０９年に出版した著書 「工業立地論」 （篠原泰三訳） のなかの数学付録(友人の数学者が書いたもの)で次の問題を扱っている． 「３地点$A,B,C$があり，$A$は原料供給地，$B$は動力原料供給地，$C$は消費地である．生産物$ｚ$トンの生産のために， $x$トンの原料と$y$トンの動力原料が必要なとき，工場を$P$に置くとすると$z$トンの生産物に対する輸送費は $R=xAP+yBP+zCP$ である． どこに$P$をとれば輸送費$R$を最小にできるか」 今まで述べてきた内容は，この問題の解答でもある．なおこの本の中の解答はここで述べた内容とは異なる ベクトルを用いた優れたものです．一度図書館で眺めて見ましょう．一流の数学者が書いたものは味わい深いものです． 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |