|
ここでは，合同変換を別の立場から眺めてみましょう． 合同変換の定義は 定義 平面$R^2$から平面$R^2$への変換のうち２点間の距離を変えない変換を合同変換という でした． 合同変換は平行移動，回転移動，対称移動だけです. したがって，原点を原点にうつす合同変換は回転移動と対称移動だけです． 一方合同変換は２点の像が決まれば，正の合同変換，負の合同変換一つずつ決まるので， 原点を原点にうつす合同変換は原点以外の点の像で決まり，正の変換，負の変換はそれぞれ回転移動，対称移動が条件を 満たすので，原点を原点に移す合同変換は回転移動，または対称移動，すなわち線型変換であることが分かります． ここでは直接，原点を原点にうつす合同変換が線型変換であることを証明します．これは高次元の場合も成り立つ性質で， 原点を保つ合同変換は線型変換の一部でありとても扱いやすくなります なお，距離を保つ線型変換が回転移動か対称移動である ことを示すのは簡単です． 実際，線型変換を表す行列を $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ とおけば $ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{pmatrix}$ より任意の$x,y$で $(ax+by)^2+(cx+dy)^2=x^2+y^2$ $\therefore (a^2+c^2-1)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2-1)y^2=0$ したがって， $a^2+c^2=1,b^2+d^2=1,ab+cd=0$ $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} $, $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix} $ とおくことができ $\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix}$ より $\phi =\theta \pm \dfrac{\pi}{2}$ $\therefore A= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix} $ を得る． このように，線型変換であることが分かれば，行列の問題になり扱いやすくなります． すなわち， 定理 原点を原点にうつす合同変換は線型変換である が合同変換の本質にかかわる定理のなのです． この定理の証明がこの付記の目標です． 以後，ユークリッド平面上の点$A$に， 原点を始点とする位置ベクトル$\overrightarrow{a}(=\overrightarrow{OA})$を対応させて点をベクトル表記する． $R^2$の変換 $f:R^2 \longrightarrow R^2$ が合同変換とは，任意の点$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b})$に対して， $|f(\overrightarrow{a})-f(\overrightarrow{b})|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$・・・@ を満たすことである． @で$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ とおくことにより，次の命題が成り立つ． 命題 原点を原点にうつす合同変換では，任意の$A(\overrightarrow{a})$に対して $|f(\overrightarrow{a})|=|\overrightarrow{a}|$ が成り立つ． 次に，２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$に対して内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ は， $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} =\dfrac{|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2}{2}$ と表せるので $2f(\overrightarrow{a}) \cdot f(\overrightarrow{b})$ $=|f(\overrightarrow{a})|^2+|f(\overrightarrow{b})|^2-|f(\overrightarrow{a})-f(\overrightarrow{b})|^2$ $=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2$ $=2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ したがって，次に命題が成り立つ． 命題 原点を原点にうつす合同変換では，内積を保つ．すなわち，任意の$A(\overrightarrow{a})，B(\overrightarrow{b})$ に対して $f(\overrightarrow{a})\cdot f(\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ が成り立つ． 準備が済んだので，定理の証明に入る． 定理の証明 任意のベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$と任意の実数$k,l$に対して $f(k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b})=kf(\overrightarrow{a})+lf(\overrightarrow{b})$ が成り立つことを証明するのであるが，そのためには 任意のベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$と任意の実数$k,l$に対して $\left(f(k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b})-(kf(\overrightarrow{a})+lf(\overrightarrow{b})\right)\cdot \overrightarrow{c}=0$ を示せばよい． ここで，$\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2$を平面上の基本ベクトルとすると，$f$は内積を保つから $f(\overrightarrow{e}_1),f(\overrightarrow{e}_2)$はそれぞれ大きさが$1$で直交するベクトルである．さらに内積 は線型性を持つから， $\left(f(k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b})-(kf(\overrightarrow{a})+lf(\overrightarrow{b})\right)\cdot f(\overrightarrow{e}_i)=0$ が成り立つことを示せばよい． $\left(f(k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b})-(kf(\overrightarrow{a})+lf(\overrightarrow{b})\right)\cdot f(\overrightarrow{e}_i)$ $=f(k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b})\cdot f(\overrightarrow{e}_i)- kf(\overrightarrow{a})\cdot f(\overrightarrow{e}_i)-lf(\overrightarrow{b})\cdot f(\overrightarrow{e}_i) $ $=(k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{e}_i -k\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{e}_i-l\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e}_i $ $=(k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a}-l\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{e}_i=0$ したがって，定理が証明された． 証明を振り返ってみよう．2次元ユークリッド空間の$R^2$の変換の場合で考えたが，$2$次元の性質はまったく使っていないので， $n$次元ユークリッド空間$R^n$で成り立つことがわかる． さらに，合同変換を表す行列を$A$とすれば，内積を保つことは，任意のベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ に対して， $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=A\overrightarrow{a}\cdot A\overrightarrow{b}$ $={}^tAA\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ が成り立つことであるから ${}^tAA=E$ すなわち，距離を保つ$R^n$の変換とは直交変換のことである．まとめると，次の定理になる． 定理 ２点間の距離を変えない$R^n$の変換のうち，原点を原点にうつすものは直交変換である． ２次元のユークリッド平面に話を戻そう． 合同変換で残りは平行移動だけである． 一般の合同変換$f$ $f:R^2 \longrightarrow R^2$ の原点の像を$\overrightarrow{a}$とする．平行移動$h$を $h(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}$ で定義すると， $g=h\circ f$ は原点を原点にうつす合同変換より回転移動か対称移動である．この２つの変換をあわせてここでは直交変換と呼ぶ． 平行移動$h$の逆変換を新しく$h$とすれば $f=h\circ g$ と表せる．すなわち，任意の合同変換は直交変換と平行移動の合成で表せることができる． 一意性についても調べよう． $f=h\circ g=h_1\circ g_1$ が成り立つとすると， $f(0)=h(0)=h_1(0)$ より $h=h_1$ さらに，$g,g_1$はともに$h^{-1}\circ f$より等しい． したがって，一意性も示された． 以上のように，合同変換は直交変換と平行移動のもとで整理されている．このような完成した理論は数学者は興味を示さないので， 合同変換があまりかえりみられない理由の一つだと思う． しかし，研究と教育は切り離して考えるべきで，初等幾何を扱う上で，合同変換や相似変換はとても便利で驚くほどの効果を発揮することが少なくない．さらに， 秋山武太郎著 幾何学つれづれ草 サイエンス社 に接し幾何学変換の重要性を確信している． 6．相似変換 平面における幾何学変換の目次 全体の目次 |