反転とその応用

1.反転とその性質(1)

三角形の９点円が内接円，傍接円に接するという フォイエルバッハの定理の証明 で反転を利用しました．反転を利用すると，簡単に解決する問題がたくさんあります． ここでは，反転の定義，基本的性質を説明し，反転を用いた例を紹介します．

中心が点Oの円を円Oと表します．同心円のように，半径で円を区別する場合も必要で，中心が点O，半径が rの円を円O(r)と表します．また，Oを中心とする点Aを通る円は半径OAですからO(OA)と表すこともあります． このように，特別の事情がない限り，円の名前は円の中心の名前を用います．
まず，反転の定義から始めましょう．

（反転の定義）
中心がO，半径rの円O(r)とOと異なる点Ｐが与えられている． このとき，半直線OP上の点Ｐ’を
OP・OP'＝r2　　
によって定める．
Pを与えればP'はただ一つに決まるから，Oを除く平面上の点PにOを除く平面上の点P'を対応させる 変換が定義できる．この変換を反転変換，点Oを反転の中心， r2を反転のべき（または方べき）,rを反転半径という．

ここでは，反転の中心がO，反転のべきがr2 の反転変換をI(Ｏ，r2)で表し，反転のべきを明記する必要がないときはI(O)または 単にIと表します．
さらに，円O(r)をこの反転変換の反転円，この反転による点Pの像P'をPの 逆点といいます．
なお，P'がPの逆点のとき，PはP'の逆点になります．

まず，Pが与えられたとき，円Oが反転円である反転変換の逆点P' がどのような点であるか調べましょう．
点Pが円Oの内部にあるとき．Pを通り半直線OPと垂直な直線と 円Oとの交点の片方をAとし，Aにおける円Oの接線と半直線OPとの交点をP'とすれば この点P'が点Pの逆点です．
実際△ＯＰＡ∽△ＯＡＰ’より
OP・OP'＝OA2＝r2
となります．



Ｐをドラッグするとその反転Ｐ’が分かります

Ｐが円の外部にあるときも同様です．すなわち，Ｐから円への接線を引き接点をＡとし，Ａから半直線 ＯＰに下ろした垂線の足がＰ’です．
それぞれの図形で点Ｐを動かせば 逆点である点Ｐ’が求まります.



Ｐをドラッグするとその逆点Ｐ’が分かります


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2.　反転とその性質（その２）

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