反転とその応用

1.反転とその性質(その1)

三角形の9点円が内接円,傍接円に接するという フォイエルバッハの定理の証明 で反転を利用しました.反転を利用すると,簡単に解決する問題がたくさんあります. ここでは,反転の定義,基本的性質を説明し,反転を用いた例を紹介します.

中心が点Oの円を円Oと表します.同心円のように,半径で円を区別する場合も必要で,中心が点O,半径が rの円を円O(r)と表します.また,Oを中心とする点Aを通る円は半径OAですからO(OA)と表すこともあります. このように,特別の事情がない限り,円の名前は円の中心の名前を用います.
まず,反転の定義から始めましょう.

(反転の定義)
中心がO,半径rの円O(r)とOと異なる点Pが与えられている. このとき,半直線OP上の点P’を
OP・OP’=r  
によって定める.

Pを与えればP’はただ一つに決まるから,Oを除く平面上の点PにOを除く平面上の点P’を対応させる 変換が定義できる.この変換を反転変換,点Oを反転の中心, r反転のべき(または方べき),rを反転半径といいます.
ここでは,反転の中心がO,反転のべきがr の反転変換をI(O,r)で表し,反転のべきを明記する必要がないときはI(O)または たんにIと表します.
反転変換をI(O,r2)よりI(O,r)と表してはと思うかもしれませんが,べきは負になることもあるので I(O,r2と表します.
さらに,円O(r)をこの反転変換の反転円,この反転による点Pの像P’をPの 逆点といいます.
なお,P’がPの逆点のとき,PはP’の逆点になります.

まず,Pが与えられたとき,円Oが反転円である反転変換の逆点P’ がどのような点であるか調べましょう.
点Pが円Oの内部にあるとき.Pを通り半直線OPと垂直な直線と 円Oとの交点の片方をAとし,Aにおける円Oの接線と半直線OPとの交点をP’とすれば この点P’が点Pの逆点です.
実際△OPA∽△OAP’より
OP・OP’=OA=r
となります.


Pをドラッグするとその反転P’が分かります

Pが円の外部にあるときも同様です.すなわち,Pから円への接線を引き接点をAとし,Aから半直線 OPに下ろした垂線の足がP’です.
それぞれの図形で点Pを動かせば 逆点である点P’が求まります.



Pをドラッグするとその逆点P’が分かります


2. 反転とその性質(その2)

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