以下の(4)の証明は書き直しました(2016年5月)．
(4)
反転変換の中心$O$を通らない円を$C$とする．この円の中心$C$と$O$を通る直線と円$C$の交点を$A,B$とし，
反転変換$I(O)$による$A,B$の逆点をそれぞれ$A^*,B^*$，$A^*B^*$を直径とする円を$C^*$とする．
$X\in C$のとき必ず$I(O)(X)\in C^*$
を示せばよい．
すなわち
$\angle A^*X^*B^*=90^{\circ}$
を示せばよい．
$I(O)(X)=X^*$とおく．
$OA\cdot OA^*=OX\cdot OX^*$
より
$\triangle OAX$∽$\triangle OX^*A^*$
$\therefore \angle OXA=\angle OA^*X^*$
$OB\cdot OB^*=OX\cdot OX^*$
より
$\triangle OBX$∽$\triangle OX^*B^*$
$\therefore \angle OXB=\angle OB^*X^*$
したがって，
$\angle A^*X^*B^*=\angle AXB$
$\angle AXB=90^{\circ}$より$\angle A^*X^*B^*=90^{\circ}$
点$X$が$AB$を直径とする円上にあるから，$X^*$は$A^*B^*$を直径とする円上にある.

これで証明が終了しましたが，(4)の図をもう少し眺めてみましょう．
直線$OX^*$と円$C$との交点のうち$X$でない方を$Y$とする．
このとき
$OY\cdot OX=OA\cdot OB$
$OX\cdot OX^*=OB\cdot OB^*$
したがって
$OY\cdot OX:OX\cdot OX^*=OA\cdot OB:OB\cdot OB^*$
$\therefore OY:OX^*= OA:OB^*$
したがって，2円$C,C^*$は$O$を相似の中心とする相似の位置にある．
相似の中心は，2円$C,C^*$の半径をそれぞれ$r,r^*$とすると, 線分$CC^*$を$r:r^*$に外分した点である．
このことから，半径の異なる2円$C,C^*$が与えれたとき，それらの半径をそれぞれ$r,r^*$ とすれば，線分$CC^*$を$r:r^*$に外分する点$O$を中心とする半径は上の図の$\sqrt{OA\cdot OA^*}(=\sqrt{OB\cdot OB^*})$ である円を反転円とする反転変換で$C$の反形は$C^*$になる．
なお，2円の中心を結ぶ線分を半径の比に内分する点を反転円の中心にすることもできるが，そのためには反転の負のべきを考える必要がある．
2円の半径が等しい時は，その2円は中心を結ぶ線分の垂直二等分線に関して対称である．反転変換は対称変換の拡張とみることができるので，納得できると思う(次のページで扱う)
命題の(2),(3)より,
直線$l$と円$C$が与えられたとき
$C$反形が$l$になる
$l$の反形が$C$になる
反転変換が存在するから次の命題が成り立つ．
命題2-2
2円または円と直線が与えられたとき，片方をもう一方にうつす反転変換(対称変換も含む)が存在する．

反転変換$I(O)$による円$C_1$の反形が$C_2$のとき，$C_1,C_2$の関係を調べましょう．
円$O,C_1,C_2$の半径がそれぞれ$R,r_1,r_2$,および
$OC_1=a,OC_2=b$
のとき
直線$OC_1$と2円$C_1,C_2$との交点を図のように$A,B,D,E$とする．
$OA\cdot OE=OB\cdot OD=R^2$
$2r_1=OB-OA$
$=\dfrac{R^2}{OD}-\dfrac{R^2}{OE}$
$=\dfrac{R^2}{b-r_2}-\dfrac{R^2}{b+r_2}$
$=\dfrac{2R^2r_2}{(b-r_2)(b+r_2)}$
$\therefore r_1=\dfrac{R^2r_2}{(b-r_2)(b+r_2)}$
$a:b=r_1:r_2$であるから
$a=b\times \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{R^2b}{(b-r_2)(b+r_2)}$
まとめると次のようになる．
命題2-3
べきが$R^2$の反転変換$I(O)$で円$C_1$の反形が円$C_2$とする． $C_1,C_2$の半径がそれぞれ$r_1,r_2$,および$OC_1=a,OC_2=b$とすると
$r_1=\dfrac{R^2r_2}{(b-r_2)(b+r_2)},a=\dfrac{R^2b}{(b-r_2)(b+r_2)}$
となる．


例
円$C$と直線$l$が交わるとき，$O,A,B,T$を右図のようにとれば， $l$の反形が$C$である反転変換の反転円は中心が$O$半径が$OT$である．
これは，この反転変換で$T$が不動点であることからもわかるし，
$\triangle OAT$∽$\triangle OTB$
より
$OA\cdot OB=OT^2$
としてもよい．
通常相加平均，相乗平均の関係は右の(fig.2)を用いる.
$AC=a,CB=b$
のとき，方べきの定理より
$TC=\sqrt{ab}$
したがって，
$\sqrt{ab}\leqq SO=\dfrac{a+b}{2}$
(fig.1)は$OA,OB$の始点が同じで同じ向きなので 扱いやすい．

2円が共有点を持つとき，2円のなす角は共有点における，それぞれの方向ベクトルのなす角またはその補角で$\frac{\pi}{2}$以下の方で定める．
2つのベクトルのなす角は，それぞれの法線ベクトルのなす角といってもよいから，2円$C,C^*$のなす角は，交点を$A$とすると，2つのベクトル $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{C^*A}$のなす角である．
なお，2円の共有点は通常2つあるが，その共有点を$A,B$とすると，2円$C,C^*$はその中心を結ぶ直線$CC^*$に関して対称であるから $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{C^*A}$のなす角と$\overrightarrow{CB},\overrightarrow{C^*B}$ のなす角は一致する．
ちなみに，2円$C,C^*$が直交するのは
$\angle CAC^*=\frac{\pi}{2}$
の時である．


次の性質は，反転変換の不動円（反形が同じ円)についてです．


命題2-4
円$O$が反転円である反転変換$I(O)$で，円$O$に直交する円の反形は， その円自身であり逆も成り立つ．

証明
円$C$が円$O$と直交するとする．
2円$O,C$の共有点の片方を$T$,$C$上の任意の点を$P$, $OP$と円$C$の交点のうち，$P$でない方を$P'$とする．
$OT$は円$C$の接線であるから 方べきの定理より
$OP\cdot OP'=OT^2$
したがって
$I(O):P\mapsto P'$
である．
逆に円$C$上の任意の点を$P$として,反転変換$I(O)$による$P$の逆点が円$C$ 上にあるとする．
$O$から円$C$に引いた接線を$OT$とすると，方べきの定理より
$OT^2=OP\cdot OP'=(\text{円}O\text{半径})^2$
したがって，点$T$は円$O$上にある．
したがって，円$O$と円$C$は直交する．

この証明より,反転変換$I(O)$による点$P$の逆点が$P'$のとき，$P,P'$を通る円は反転円$O$ に直交することが分かる．
この性質より，円$O$と2点$A,B$が与えらえたとき，2点$A,B$を通り，円$O$に直交する円の作図は，
円$O$を反転円とする反転変換$I(O)$による点$A$の逆点を$A'$とすれば，3点$A,B,A'$ を通る円が求めるものである．
$I(O)$による$B$の逆点を$B'$とすると
$OA\cdot OA'=OB\cdot OB'$
より，4点$A,A',B,B'$は同一円周上にある．

命題2-5
2つの反転変換の反転円が同心円のとき，２つの反転変換の合成変換は,同心円の中心を中心とする中心相似変換である．
すなわち，$O$を中心とする半径$r$の円を反転円とする反転変換を$I(O,r^2)$,$O$を中心とする相似比$k$の中心相似変換を$H(O,k)$と 表せば
$I(O,R^2)\circ I(O,r^2)=H(O,\frac{R^2}{r^2})$
が成り立つ．
証明
$P\stackrel{I(O,r^2)}{\longmapsto}P'\stackrel{I(O,R^2)}{\longmapsto}P''$
とする．
このとき
$OP\cdot OP'=r^2\cdots (1)$
$OP'\cdot OP''=R^2\cdots (2)$
$\frac{(2)}{(1)}$より
$\dfrac{OP''}{OP}=\dfrac{R^2}{r^2}$

反転変換$I(O,r^2)$による円の$C_1$の反形が$C_2$のとき，点$O$の円$C_2$におけるべき（$O$から円$C_2$に引いた接線$OT$の長さの2乗）を$R^2$とすると(べきが負になるときもあるがここでは考えない)， 反転変換$I(O,R^2)$で円$C_2$の反形は$C_2$，すなわち円$C_2$は$I(O,R^2)$の不動円である($\angle OTC_2=\frac{\pi}{2}$)．
一方
$I(O,R^2)\circ I(O.r^2)=H(O,\frac{R^2}{r^2})$
であるから， 2円$C_1,C_2$は反転変換の中心$O$を相似の中心とする相似の位置にある．
まとめると次のようになる(これはすでに述べた内容であるが，不動円を用いるとわかりやすいので改めて述べた)．
命題2-6
中心が$O$である反転変換による円$C_1$の反形が$C_2$のとき，2円$C_1,C_2$は点$O$を相似の中心とする 相似の位置にある．

例
2円$C_1,C_2$が円$C$に接しており，接点をそれぞれ$A,B$とする．このとき，直線$AB$は2円$C_1,C_2$の相似の 中心を通る．
証明
直線$AB$と2円$C_1,C_2$の中心を結ぶ直線の交点を$O$とする．
反転変換$I(O,OA\cdot OB)$で 円$C$は不動円である($O$から円$C$に接線$OT$を引けば$OT^2=OA\cdot OB$.命題2-4)．
さらに$A$の逆点が$B$より，$A$で接する円の反形は$B$ で接する．
ここで，円$C_1$の反形を円$C_3$とすると，それらの中心$C_1,C_3$と反転円$O$は共線であるから 2円$C_2,C_3$は一致することがわかる（中心が$CB,OC_1$の交点）．
したがって，$O$が2円$C_1,C_2$の相似の中心である．


3.　反転とその性質（その3）

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