反転とその応用

2.反転とその性質(その2)

反転で,直線,円がどのような図形に写るか調べましょう.
なお,反転により,図形Cが図形C’にうつるとき,C’を反転によるCの反形といいます.
当然C’がCの反形のとき,CはC’の反形です.

結果をまとめると次のようになります.

命題
反転円が円Oである反転変換で,
(1)Oを通る直線は同じ直線に写る.
(2)Oを通らない直線はOを通る円に写る.
(3)Oを通る円はOを通らない直線に写る.
(4)Oを通らない円はOを通らない円に写る.


証明
(1)は明らかです.
(2),(3)は右の図を見てください.
点AはOから与えられた直線に下ろした垂線の足で,Aの逆点がA’,およびOA’が直径の円が書いてあります.
Pが直線上の点で,OPと円とのO以外の交点をP’としたとき
△OAP∽△OP’A’より
OP・OP’=OA・OA’=(円Oの半径)
が成り立ちます.
したがって(2)が成り立ちます
(3)与えられた円の直径をOA’とし,A’の逆点をAとし,Aを通りOAに垂直な直線を書く.P’が 与えられた円上の点で,直線OP’と直線との交点をPとすれば,(2)と同様に OP・OP’=OA・OA’=(円Oの半径)
が成り立つので(3)が成り立ちます.

以下の(4)の証明は書き直しました(2016年5月).
(4)
反転変換の中心$O$を通らない円を$C$とする.この円の中心$C$と$O$を通る直線と円$C$の交点を$A,B$とし,
反転変換$I(O)$による$A,B$の像をそれぞれ$A^*,B^*$,$A^*B^*$を直径とする円を$C^*$とする.
$X\in C$のとき必ず$I(O)(X)\in C^*$
を示せばよい.
すなわち
$\angle A^*X^*B^*=90^{\circ}$
を示せばよい.
$I(O)(X)=X^*$とおく.
$OA\cdot OA^*=OX\cdot OX^*$
より
$\triangle OAX$∽$\triangle OX^*A^*$
$\therefore \angle OXA=\angle OA^*X^*$
$OB\cdot OB^*=OX\cdot OX^*$
より
$\triangle OBX$∽$\triangle OX^*B^*$
$\therefore \angle OXB=\angle OB^*X^*$
したがって,
$\angle A^*X^*B^*=\angle AXB$
$\angle AXB=90^{\circ}$より$\angle A^*X^*B^*=90^{\circ}$
点$X$が$AB$を直径とする円上にあるから,$X^*$は$A^*B^*$を直径とする円上にある.



次の性質は,反転変換の不動円についてです.


命題
円$O$が反転円である反転変換$I(O)$で,円$O$に直交(交点における接線が直交する)する円の像は, その円自身である.

これは,右図と方べきの定理($OP\cdot OP'=OT^2$)より成り立ちます.


3. 反転とその性質(その3)

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