いろいろな立体の問題 第7節 双曲線(その8) 例題3 $O$を原点とする座標平面上の曲線 $S:y=\dfrac{x}{2}+\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+2}$ と，その上の相異なる２点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$を考える． (1) $P_i(i=1,2)$を通る$x$軸に平行な直線と，直線$y=x$との交点を，それぞれ$H_i(i=1,2)$とする．このとき$\triangle OP_1H_1$と $\triangle OP_2H_2$の面積は等しいことを示せ． (2)$x_1$＜$x_2$とする．このとき，$C$の$x_1 \leqq x \leqq x_2$の範囲にある部分と，線分$P_1O,P_2O$とで囲まれる図形の面積を $y_1,y_2$を用いて表せ． （平成22年 東京大） 
解答まず，与えられたグラフから調べよう． $y=\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+2}$ 平方することより $-\dfrac{x^2}{4}+y^2=2,y$＞$0$ となる． したがって，漸近線が$y=\pm \frac{x}{2}$の双曲線である． その双曲線に$\frac{x}{2}$を加えたものであるから，漸近線が $y=x,y=0$ の曲線である． もし，きちんと調べたければ $y-\dfrac{x}{2}=\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+2}$ を$y-\dfrac{x}{2}$＞$0$のもとで平方し $y^2-xy=2$ 
さらに原点の周りに$-\frac{\pi}{8}$だけ回転すればよい．(1) $2\triangle OP_1H_1$の値は $y_1(y_1-x_1)$ $=(\dfrac{x}{2}+\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+2})(-\dfrac{x}{2}+\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+2})=2$ したがって，$P_1$の場所によらないことが示された． (2) ３線分$OP_1,OH_2,P_2H_2$およに曲線$P_1P_2$で囲まれた図形の面積より，$\triangle OH_1P_1,\triangle OH_2P_2$のそれぞれを引いた面積 を考えることより，$OP_1,OP_2$および曲線$P_1P_2$で囲まれた図形の面積$S_1$と$P_1H_1,H_1H_2,H_2P_2$および曲線$P_1P_2$で囲まれた図形の 面積$S_2$は等しい． 一方，$S_2$は図より$y$で積分したほうが計算しやすい． $y=\dfrac{x}{2}+\sqrt{\dfrac{x^2}{4}+2}$ を$x$について解くと $x=y-\dfrac{2}{y},(y-\dfrac{x}{2}$＞$0)$ より， $\displaystyle S_2=\int_{y_1}^{y_2}\{y-(y-\dfrac{2}{y})\}dy=2\log \dfrac{y_2}{y_1}$ 
＜解説＞一般の双曲線で双曲線上の点$P$から，漸近線と平行な直線を引きもう一方の漸近線との交点を$H$とすれば $\triangle OPH$の面積は$P$によらず一定である．ただし$O$は双曲線の中心． なぜならば，１次変換により平行線は平行線に移り，２つの図形の面積の比は変えないから，同じ面積の図形は同じ面積にうつる． 一方，直角双曲線で特に$xy=k$の場合を考えれば，ここで示した性質は定義そのものである． したがって，$OP,OQ$および双曲線で囲まれた図形の面積は，$PH,HR,RQ$および双曲線で囲まれた図形の面積に等しい． この性質を理解したうえで，もう一度双曲線の最初から読んでみましょう．多分，双曲線関数の意味がよく分かると思います． 数学のテストの時も， さあこれからゆっくり考えて楽しんでやるぞ となれたら，すなわち知識で問題を解くのではなく，考えることで問題を解くのだという姿勢が身についたら， 数学の勉強もまたたのし となるんですが．実際，数学をこんなに楽しく学べるのは大学入試が最後です．受験勉強もう１年やってもいいかなんて思うと 余裕が生まれて結果はよくなるものです． 目次 全体の目次 |