曲面$\boldsymbol{f}(u^1,u^2)$を$u^1u^2$平面に第1基本形式
$I=g_{ij}du^idu^j$
を定義したものとして扱う．
$\Gamma:(u^1(s),u^2(s)),0\leqq s\leqq a$
は弧長変数の$u^1u^2$平面上の曲線とする．このとき$[0,a]\times (-\varepsilon,\varepsilon)$から$u^1u^2$平面への微分可能な関数
$(u^1(s,t),u^2(s,t))$
で
任意の$s$で$(u^1(s),u^2(s))=(u^1(s,0),u^2(s,0))$
および任意の$t\in (-\varepsilon,\varepsilon)$で
$u^1(0,t)=u^1(0),u^2(a,t)=u^2(a)$
を満たすとき，$(u^1(s,t),u^2(s,t))$を曲線$\Gamma :(u^1(s),u^2(s))$の端点を固定した変分という．
$(u^1(s,t),u^2(s,t))$は$t$を固定したとき
$\Gamma _t:(u^1(s,t),u^2(s,t))$
は端点が$\Gamma$と同じ曲線であり$\Gamma _0$と$\Gamma$は一致する．ただし，$t\neq 0$のとき$\Gamma _t$は弧長変数とは限らない．
すなわち曲線$\Gamma $の変分とは両端点を固定したまま，滑らかに動かすことで得られる曲線族のことである．
曲線$\Gamma$の長さを$L(\Gamma)$と表す．曲線$\Gamma$が$\Gamma$の端点を結ぶ最短曲線とすると$\Gamma$の変分$\{\Gamma _t\}$ の任意の$\Gamma _t$に対して
$L(\Gamma )\leqq L(\Gamma _t)$
が成り立つ．
$\Gamma _0=\Gamma$であるから
$\dfrac{d\Gamma _t}{dt}\Big|_{t=0}=0\cdots (\sharp)$
が成り立つ．
したがって，$(\sharp)$は最短曲線であるための必要条件である．
これから，測地線の条件を変分法を用いて導き出す．

$\displaystyle L(\Gamma _t)=\int_0^a \sqrt{g_{ij}(u^i(s,t),u^j(s,t))\dfrac{\partial u^i(s,t)}{\partial s}\dfrac{\partial u^j(s,t)}{\partial s}}ds$
である．
$\displaystyle \dfrac{d}{dt}L(\Gamma _t)=\int_0^a\dfrac{d}{dt} \sqrt{g_{ij}(u^i(s,t),u^j(s,t))\dfrac{\partial u^i(s,t)}{\partial s}\dfrac{\partial u^j(s,t)}{\partial s}}ds\cdots (1)$

$t=0$のとき$(1)$式のルートの中が$1$($\Gamma$が弧長変数)であるから
$\displaystyle \dfrac{d}{dt}L(\Gamma _t)\Big|_{t=0}=\dfrac{1}{2}\int_0^a\dfrac{d}{dt} \left(g_{ij}(u^i(s,t),u^j(s,t))\dfrac{\partial u^i(s,t)}{\partial s} \dfrac{\partial u^j(s,t)}{\partial s}\right)\Big|_{t=0}ds$
以下
$\dfrac{\partial u^i(s,t)}{\partial s}=u^i_s,\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}=g_{ij,k}$
と偏微分，微分は下付きの添字を用いる．
$\dfrac{d}{dt} \left(g_{ij}(u^i(s,t),u^j(s,t))\dfrac{\partial u^i(s,t)}{\partial s} \dfrac{\partial u^j(s,t)}{\partial s}\right)\Big|_{t=0}$
$=g_{ij,k}u^k_tu^i_su^j_s+2g_{ij}u^i_{st}u^j_s\cdots (2)$
$(2)$の第2項を部分積分する．$u^i_{st}=u^i_{ts}$に注意して
$\displaystyle \int_0^ag_{ij}u^i_{st}u^j_sds$
$=\displaystyle [u^i_t(g_{ij}u^j_s)]_0^a-\int_0^a(u^i_tg_{ij,k}u^k_su^j_s+u^i_tg_{ij}u^j_{ss})ds$
$u^i_t(0)=0,u^i_t(a)=0$および$g_{ij,k}u^k_su^j_s=g_{ik,j}u^k_su^j_s$より
$\displaystyle =-\int_0^a\dfrac{1}{2}u^i_t(g_{ij,k}u^k_su^j_s+g_{ik,j}u^k_su^j_s)ds-\int_0^au^i_tg_{ij}u^j_{ss}ds$
添字をそろえて整理すると
$\displaystyle \dfrac{d}{dt}L(\Gamma _t)\Big|_{t=0}=-\int_0^au^i_t(\dfrac{1}{2}(g_{ij,k}+g_{ik,j}-g_{jk,i})u^j_su^k_s+g_{ij}u^j_{ss})ds$
ここで
$\Gamma_{jki}=\dfrac{g_{ji,k}+g_{ki,j}-g_{jk,i}}{2}$
および
$\Gamma _{jki}=g_{il}\Gamma_{jk}^l$
より(§3.3 曲面の基本方程式)
$\displaystyle =-\int_0^au^i_tg_{il}(\Gamma _{jk}^lu^j_su^k_s+u^l_{ss})ds$
$u^i_t$は変分より決まる変分ベクトル場である．
曲線$\Gamma $が曲面上の2点を結ぶ最短曲線のとき$\Gamma$の端点を固定した変分$\Gamma _t$で
$\dfrac{dL(\Gamma _t)}{dt}|_{t=0}=0$
であるから$\Gamma$は
$u^{i}_{ss}+\Gamma_{jk}^iu^j_su^k_s=0 \ \ (i=1,2)$
(∵　変分ベクトル場として区間$(0,a)$で正かつ$0,a$で$0$となる関数例えば$(s(a-s))$を用い $s(a-s)(\Gamma _{jk}^lu^j_su^k_s+u^l_{ss})$を考えればよい)
$u^{i}_{ss}+\Gamma_{jk}^iu^j_su^k_s=0$
を通常の表記法で表せば
$\dfrac{d^2u^i}{ds^2}+\Gamma ^i_{jk}\dfrac{du^j}{ds}\dfrac{du^k}{ds}=0\cdots (\sharp)$
となり，曲面上の測地線の方程式である．

ここで用いた$\Gamma _{ij}^k$は曲面の基本公式で導き出した
$f_{ij}=\Gamma _{ij}^kf_k+b_{ij}n$
の$\Gamma _{ij}^k$と同じ値です．
本稿では，内在幾何の領域である測地曲率を用いて測地線を定義しその後測地線が局所的最短性を満たす と説明した．しかし，歴史を辿れば，変分法で測地線を扱い，その中で求まる$\Gamma_{ij}^k$を用いて曲面を 調べるとという立場をとっていたと思う．
リーマンが行った$n$次元多様体の研究方法をワイルの解説にしたがって述べる, といっても筆者が理解できるのは途中までであることをお断りする．

測地線$(u^1(s),u^2(s))$の接ベクトルの性質を調べよう．
$\dfrac{d}{ds}(g_{ij}u^i_su^j_s)=g_{ij,k}u^k_su^i_su^j_s+2g_{ij}u^i_{ss}u^j_s$
$(\sharp)$より
$=g_{ij,k}u^k_su^i_su^j_s-2g_{ij}\Gamma _{kl}^iu^k_su^l_su^j_s$
ここで
$g_{ij,k}=\Gamma_{ikj}+\Gamma _{jki},g_{ij}\Gamma _{kl}^i=\Gamma_{klj}$
であるから
$\dfrac{d}{ds}(g_{ij}u^i_su^j_s)\equiv 0$
が分かる．
なお，これは共変微分を用いると
曲線を$\boldsymbol{r}(s)$とすると
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{dr(t)}{dt},\dfrac{dr(t)}{dt})$
$=2(\dfrac{D}{dt}\dfrac{dr(t)}{dt},\dfrac{dr(t)}{dt})=0$
はすぐにわかる．($\frac{D}{dt}(\frac{dr(t)}{dt})=0$は$r(t)$が測地線の定義)

測地線についてはすでに述べたが，ここでもう少し説明を加える．
なお，考える曲面
$\boldsymbol{f}:U\to \mathbb{R}^3$
は,$U(\subset \mathbb{R}^2)$上に第一基本形式$I$を定めた$(U,I)$であることを再度注意する．
曲面上の測地線の満たす微分方程式は
$\dfrac{d^2u^i}{ds^2}+\Gamma ^i_{jk}\dfrac{du^j}{ds}\dfrac{du^k}{ds}=0 \ \ \ (i=1,2)\cdots (\sharp)$
である．
$u^1(P)=0.u^2(P)=0$とする．
ここでは点$P$を通る測地線だけを考える. $P$における接ベクトルが$v$の$(\sharp)$の解すなわち測地線を
$c(P;v)$
とおく．
$r(t)=c(P,v)$
のとき，$a$を定数とすると
$r(at)$も$(\sharp)$の解である.(∵　$a^2$が外に出るだけ)
$r(t)$と$r(at)$は同じ曲線(動く速さが異なるだけ)．
$\bar{r}(t)=r(at)$とおけば
$\bar{r}'(t)=av$より
$\bar{r}(t)=c(P,av)$
である(微分方程式の解の一意性)．すなわち$c(P,v)$と$c(P,av)$は同じ曲線．
つぎに$r(t)$と$\bar{r}(t)$の定義域を調べよう．
$r(t)$の定義域が$-\varepsilon < t < \varepsilon$とき
$-\varepsilon < at < \varepsilon$
であるから$\bar{r}(t)=r(at)$の定義域は
$-\dfrac{\varepsilon}{a} < t < \dfrac{\varepsilon}{a}$
である．
このことは，点$P$における接ベクトル$v$で決まる測地線の定義域は$av$で$a$を小さくすることにより いくらでも伸ばすことができることを意味している．
したがって，点$P$における接ベクトル空間の原点を含む小さな領域$V$を取れば
$v \in V$のとき$r(t)=c(P,v)$は$r(1)$が定義できるとしてよい．このとき
$\exp _P:V\to U$
を
$\exp _P(v)=r(1)$ただし$r(t)=c(P,v)$
で定義する．
この$\exp_P$を曲面の$P$における指数写像またはべき写像と呼ぶ．
$\exp_P$をもう少し調べよう．
$r(t)=c(P,v)$
のとき
$\exp_P(v)=r(1)$
である．
ここで
$\bar{r}(t)=c(P,\frac{v}{|v|})$
を考える．このとき，$\bar{r}$は弧長変数で
$\bar{r}(|v|t)=r(t)$
したがって
$\exp_P(v)=r(1)=\bar{r}(|v|)$
これは$P$と$\exp_P(v)$の(測地線で測った)距離が$|v|$という意味である．
$\exp _P$を用いれば
$r(t)=c(P,v)$
は
$r(t)=\exp_P(tv)$
が成り立つ．
実際
$r(t)=c(P,v),\bar{r}(t)=c(P,av)$
のとき
$\bar{r}(t)=r(at)$
したがって
$\exp_P(av)=\bar{r}(1)=r(a)$

指数写像$\exp_P$を用いて曲面に新しい座標系を定義する．
曲面上の点$P$において$P$が原点で，基本接ベクトルが正規直交基底をなす座標系を導入する．
これは曲面を
$\boldsymbol{f}:U\to \mathbb{R}^3,(u^1,u^2)\mapsto \boldsymbol{f}(u^1,u^2)$
とすると,点$P$において
$\boldsymbol{f}_1\cdot \boldsymbol{f}_1=1,\boldsymbol{f}_2\cdot \boldsymbol{f}_2=1, \boldsymbol{f}_1\cdot \boldsymbol{f}_2=0$
を満たす座標系．言い方を変えれば
$\boldsymbol{f}(0,0)=P$かつ$g_{11}(0,0)=1,g_{22}(0,0)=1,g_{12}(0,0)=0$
を満たす座標系である．
測地平行座標系がこの条件を満たすことはすでに述べてある．
曲面$U$の点$P$(原点)における接平面の原点を含む小さな領域$V$をとれば
$\exp _P:V\to U$
が定義でき，$V$が曲面$U$の新しい座標系になる．この座標系を測地法座標系または測地標準座標系という．
測地法座標系の第1基本量$\bar{g}_{ij}$および$\Gamma _{ij}^k$を調べよう．
$F:V\to U;(v^1,v^2)\mapsto (u^1,u^2)$
とすると
$u^i=u^i(\exp_P(v^1,v^2))$
である．
$v^1v^2$平面上の直線
$r(t)=t(v^1,v^2)$
を考える．
$\dfrac{d}{dt}|_{t=0}r(t)=(v^1,v^2)$
一方
$\dfrac{d}{dt}|_{t=0}f(r(t))=\dfrac{d}{dt}|_{t=0}(\exp_P(tv^1,tv^2))=(v^1,v^2)$
したがって，したがって，$F$のヤコビ行列$dF$は任意の$v^1,v^2$で
$(v^1,v^2)\mapsto (v^1,v^2)$
であるから単位行列である．
したがって,$V$の第1基本量$\bar{g}_{ij}(v^1,v^2)$は
$\bar{g}_{11}(0,0)=1,\bar{g}_{22}(0,0)=1,\bar{g}_{12}(0,0)=0,\bar{g}_{21}(0,0)=0$
である．
次に，$v^1v^2$平面上で直線
$r(t)=(tv^1,tv^2)$
を考える．このとき$r(t)$は測地線であり
$v^i(r(t))=v^it$
である.このとき
$\dfrac{dv^i(t)}{dt}=v^i,\dfrac{d^2v^i(t)}{dt^2}=0$
であるから
測地線の微分方程式を考えることにより点$P$においては
$\bar{\Gamma}_{ij}^kv^iv^j=0$
$v^i,v^j$は任意であるから任意の$i,j,k$で
$\bar{\Gamma }_{ij}^k(0,0)=0$
が分かる．
次に，曲面$\boldsymbol{f}$で,$( \ , \ )$を内積とすると
$g_{ij}=(\boldsymbol{f}_i,\boldsymbol{f}_j)$
より
$\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}= (\boldsymbol{f}_{ik},\boldsymbol{f}_j)+(\boldsymbol{f}_i,\boldsymbol{f}_{jk}) =\Gamma _{ik}^lg_{lj}+\Gamma _{jk}^lg_{li}$
であるから，すべての$i,j,k$で$\Gamma _{ij}^k=0$が成り立つなら， その点で$\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}=0$ が成り立つ．
このことより点$P$において
$\dfrac{\partial \bar{g}_{ij}}{\partial u^k}(0,0)=0$
が成り立つことが分かる．
測地法座標系についてまとめると次のようになる．
命題
曲面の点$P$における測地法座標系$(v^1,v^2)$は次の条件を満たす．ただし$(v^1(P),v^2(P))=(0,0)$とする．
第1基本量を$g_{ij}$,クリストッフェル記号を$\Gamma _{ij}^k$とすると
$g_{11}(0,0)=1,g_{22}(0,0)=1,g_{12}(0,0)=0,g_{21}(0,0)=0$
$\Gamma _{ij}^k(0,0)=0 \ \ (\forall i,j,k),\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial v^k}(0,0)=0 (\forall i,j)$

点$P$における測地法座標系は点$P$における情報はたくさんあるが，それ以外は何もわからない．
次に，測地法座標系の下で極座標を考える．
曲面上の点$P$における測地法座標系を$(v^1,v^2)$とし，$(v^1,v^2)$平面上の点$Q$の極座標$(s,\theta)$を
$v^1=s\cos \theta,v^2=s\sin \theta, (0 < s,0 < \theta < 2\pi)$
で定める．すなわち$\theta$は$v^1$軸と半直線$PQ$のなす角で，$s$は$PQ$の測地線で測った長さである (この長さを測地的距離という)．
点$P$における接平面から曲面への
$(s,\theta )\mapsto \exp_P(s\cos \theta,s\sin \theta)$
で定まる$P$の周りの座標系を測地極座標系という．
$\theta$線は$s$が一定の曲線．すなわち，$P$からの測地的距離が一定の曲線で，この曲線を測地的円，一定の長さを測地円の測地的半径という．
$s$線は$\theta$が一定の曲線でこれは$P$を通る測地線である．
命題(ガウスの補助定理)
$s$線と$\theta$線は直交する．
証明
測地極座標系
$F(s,\theta)=\exp_P(s\cos \theta,s\sin \theta)$
を$s$線($\theta =\theta _0)$の変分とみる．
このとき$\frac{\partial F}{\partial s}$(以後$F_s$)は$s$線の接ベクトル， $F_{\theta }$は$\theta$線の接ベクトルである．
$\theta =\theta _0$の$s$線を$\Gamma _{\theta _0}$とおく．
$s$線の$0\leqq s \leqq s_0$における長さ$L(\Gamma _{\theta})$は一定($s_0$)であるから
$\dfrac{d}{d\theta }\Big|_{\theta =\theta _0}=0$
一方，左辺は，ここで扱う変分とこの節の最初に述べた変分との違いは片方の端点が固定していないだけであるから
$\displaystyle \dfrac{d}{d\theta }\Big|_{\theta =\theta _0}=[g_{ij}F_{\theta}F_s]_0^{s_0}- \int_0^{s_0}g_{ij}F^i_\theta (F^j_{ss}+\Gamma _{kl}^jF^k_sF^l_s)ds$
第1項は$s=0$では$0$になり，第2項は$s$線が測地線であるから$0$である．
したがって
$g_{ij}F^i_tF^j_\theta |_{s=s_0}=0$

である，これは$s$線と$\theta$線が直交することを示している．

したがって，測地線である$s$線を弧長変数にとれば，測地極座標系の第１基本形式は
$I=ds^2+G(s,\theta)d\theta ^2　\cdots (\sharp)$
となる．
ここで
$v^1=s\cos \theta,v^2=s\sin \theta$
であるから
$dv^1=\cos \theta ds-s\sin \theta d\theta$
$dv^2=\sin \theta ds+s\cos \theta d\theta$
より$ds,d\theta$について解くと
$ds=\cos \theta dv^1+sin \theta dv^2=\dfrac{v^1dv^1+v^2dv^2}{s}$
$d\theta =\dfrac{-\sin \theta +\cos \theta dv^2}{s}=\dfrac{v^1dv^2-v^2dv^1}{s^2}$
第1基本形式$(\sharp)$に代入して
$I=(\dfrac{v^1dv^1+v^2dv^2}{s})^2+G(s,\theta)(\dfrac{v^1dv^2-v^2dv^1}{s^2})^2$
となる．これが測地法座標系の一つである．

このように，測地線の方程式より出発して新しい扱いやすい座標系が作られた．
　 窪田忠彦著　微分幾何学　　岩波全書
には，その後定曲率曲面を調べているので参考にされたら良いと思う．
ちなみに，この書は前書きによれば1933年に出版されたものが基にあるとあるが驚くほどの名著です．
さて，ワイルは$n$次元多様体の幾何学をこの節で述べた内容を前提として展開し曲率テンソルを求めている．
ただ私の能力を超える内容であり，一方，曲率テンソルはすでに曲面の基本方程式より求めている．
第1基本形式が
$I=du^2+Gdv^2$
のときのガウス曲率はすでに求めている．
ここでは
$I=Edu^2+Gdv^2$
のとき，ガウス曲率を計算する．
まず，
$R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ m} =-\left((\Gamma _{ij}^m)_k-(\Gamma _{ik}^m)_j+\Gamma _{ij}^s\Gamma_{sk}^m-\Gamma_{ik}^s\Gamma _{sj}^m\right)$
$R_{ijkl}=g_{lm}R_{ijk}^{\ \ \ \ \ \ \ m}$
で
$R_{1212}=b_{11}b_{22}-b_{12}^2$
であることはすべに§2.7で述べた．
$R_{ijkl}$を計算する．
これまでもしばしば用いたように，偏微分は下付きの文字で表示する．
例えば
$\dfrac{\partial \Gamma _{ij}^k}{\partial u^l}=(\Gamma _{ij}^k)_l,\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}=g_{ij,k}$
と表す．
まず
$g_{lm}(\Gamma _{ij}^m)_k=(g_{lm}\Gamma _{ij}^m)_k-g_{lm,k}\Gamma _{ij}^m =\Gamma _{ijl,k}-(\Gamma _{lkm}+\Gamma _{mkl})\Gamma _{ij}^m$
より
$R_{ijkl}=-(\Gamma _{ijl,k}-(\Gamma _{lkm}+\Gamma _{mkl})\Gamma _{ij}^m) +(\Gamma _{ikl,j}-(\Gamma _{ljm}+\Gamma _{mjl})\Gamma _{ik}^m)$
$-g_{lm}(\Gamma _{ij}^s\Gamma_{sk}^m-\Gamma_{ik}^s\Gamma _{sj}^m)$
$=-\Gamma _{ijl,k}+\Gamma _{ikl,j}+\Gamma _{lkm}\Gamma _{ij}^m-\Gamma _{ljm}\Gamma _{ik}^m$
ここで
$\Gamma _{ijl}=\dfrac{g_{il,j}+g_{jl,i}-g_{ij,l}}{2}$
であるから
$=\dfrac{-(g_{il,jk}+g_{jl,ik}-g_{ij,lk})+(g_{il,kj}+g_{kl,ij}-g_{ik,lj})}{2} +\Gamma _{lkm}\Gamma _{ij}^m-\Gamma _{ljm}\Gamma _{ik}^m$
$=\dfrac{-g_{jl,ik}+g_{ij,lk}+g_{kl,ij}-g_{ik,lj}}{2} +\Gamma _{lkm}\Gamma _{ij}^m-\Gamma _{ljm}\Gamma _{ik}^m$
したがって，通常の表記をすると
$R_{ijkl}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^l\partial u^k} +\dfrac{\partial g_{kl}}{\partial u^i\partial u^j} -\dfrac{\partial g_{ik}}{\partial u^l\partial u^j} -\dfrac{\partial g_{jl}}{\partial u^i\partial u^k}\right) +\Gamma _{lkm}\Gamma _{ij}^m-\Gamma _{ljm}\Gamma _{ik}^m $
となる．曲率テンソルの性質を調べるときにこの式を用いることが多い.例えばガウスの可積分条件がただ一つであることはこの式から導き出せるがここでは行わない．
第1基本形式が
$I=E(du^1)^2+G(dv^2)^2$
のとき$R_{1212}(=b_{11}b_{22}-b_{12}^2)$を計算しガウス曲率を計算しよう．
$R_{1212}=-\dfrac{-E_{22}-G_{11}}{2}+\Gamma _{21m}\Gamma _{12}^m-\Gamma _{22m}\Gamma _{11}^m$
である．
ここで,$\Gamma _{ijk},\Gamma _{ij}^k$を代入して計算する(§2.3にある).
$R_{1212}=-\dfrac{E_{22}}{2}+\dfrac{E_2E_2}{4E}+\dfrac{E_2G_2}{4G}$
$-\dfrac{G_{11}}{2}+\dfrac{G_1G_1}{4G}+\dfrac{G_1E_1}{4E}$
である．一方
$\left(\dfrac{(\sqrt{E})_2}{\sqrt{G}}\right)_2 =\dfrac{\dfrac{E_{22}}{2}-\dfrac{E_2E_2}{4E}-\dfrac{E_2G_2}{4G}}{\sqrt{E}\sqrt{G}}$
であるから
$R_{1212}=-\sqrt{EG}\left(\left(\dfrac{(\sqrt{E})_2}{\sqrt{G}}\right)_2 +\left(\dfrac{(\sqrt{G})_1}{\sqrt{E}}\right)_1\right)$
したがって，ガウス曲率$K$は
$K=\dfrac{R_{1212}}{EG}=-\dfrac{\left(\dfrac{(\sqrt{E})_2}{\sqrt{G}}\right)_2 +\left(\dfrac{(\sqrt{G})_1}{\sqrt{E}}\right)_1}{\sqrt{EG}}$
である．


§3.1 曲面上の微分

目次

全体の目次